Georg Cantor i jego zbiór

Prezentacja na temat: "Georg Cantor i jego zbiór"— Zapis prezentacji:

1 Georg Cantor i jego zbiór
Made by Arkadiusz Gnat 

2 Georg Cantor WIELKIM Matematykiem był!!!
Żył na przełomie XIX-XX w. Syn Duńczyka i katolickiej Żydówki. Niemiecki uczony urodzony w ZSRR który wprowadził Hebrajski znak χ . Twórca teorii mnogości. Prekursor Topologii. Otworzył drogę rozwojowi logiki matematycznej i filozoficznych podstaw matematyki. Badania nad nieskończonością w matematyce doprowadziły go do utożsamienia Boga z absolutną nieskończonością (i śmierci w szpitalu dla psychicznie chorych ;-) )

3 Zbiór Cantora W roku 1883 Georg Cantor zaproponował prostą konstrukcję, w wyniku której otrzymuje się zbiór nazwany jego imieniem.

4 Konstrukcja Zbioru Cantora
Zbiór Cantora tworzymy posługując się odcinkiem |AB| długości 1, czyli zbiorem liczb rzeczywistych z przedziału [0,1]. A B 1

5 Odcinek długości jeden dzielimy na 3 równe części.
Środkową cześć podzielonego odcinka usuwamy, co daje nam dwa odcinki długości 1/3|AB|.

6 Podobnie postępujemy z pozostałymi dwoma odcinkami,
dzieląc je na 3 równe części i usuwając środkową część.

7 Powtarzając kroki od 1 do 3 k-razy,
otrzymamy 2k-1 odcinków o długości 1/3k

8 W mierze Lesbegue’a (C)=0
(…)

9 Jeżeli to Tak utworzony zbiór Cantora ma miarę zero. c. k. d.

10 C zwarty w p. Euklidesowej
A - zwarty  A – domknięty i A - ograniczony C - domknięty, bo C=[0,1]\A gdzie [0,1] - domknięty A – otwarty jako suma nieskończona zbiorów otwartych b)  C - ograniczony, bo

11 System trójkowy Sposób zapisu liczb w systemie trójkowych przedstawia
poniższy diagram:

12 C - nieprzeliczalny Pokażemy, że C ~ [0,1]
1) Zbiór Cantora to zbiór takich x : 2) Przedział [0,1] to zbiór takich x :

13 Zapisując liczby z [0,1] w systemie trójkowym i wyrzucając z tych liczb te które mają „jedynkę” na kolejnych miejscach po kropce otrzymujemy zbiór Cantora, który ma tyle samo elementów co cały odcinek [0,1]. Żeby to zobaczyć, dla każdego elementu ze zbioru Cantora bierzemy jego rozwiniecie trójkowe, zastępując każdą „dwójkę” przez „jedynkę” i tak powstałe rozwiniecie interpretujemy jako rozwiniecie dwójkowe. W ten sposób otrzymujemy każdy element [01].

14 Wymiar samopodobieństwa
Jeśli przedmiot w całej wielkości zawiera N samopodobnych kopii siebie wielkości s, to jego wymiar samopodobieństwa wyrażony jest przez równanie: Co można przekształcić do postaci: i dla Zbioru Cantora wynosi 0,630929

15 FRAKTALE Fraktal jest figurą geometryczną o złożonej strukturze, nie będąca krzywą, powierzchnią ani bryłą w rozumieniu klasycznej matematyki; charakteryzuje ją ułamkowy wymiar (stąd nazwa fraktal - ang. 'fraction' ułamek). Zbiory samopodobne z ułamkowym wymiarem samopodobieństwa są fraktalami (choć nie każdy fraktal musi mieć ułamkowy wymiar samopodobieństwa, a i samopodobieństwo nie musi być tak dokładne). Tak więc zbiór Cantora jest fraktalem - o czym oczywiście Georg Cantor nie wiedział. To jeden z najprostszych fraktali.

16 Benoit Mandelbrot Fraktale zostały wprowadzone do matematyki w latach siedemdziesiątych XX wieku przez amerykańskiego matematyka i informatyka, polsko-żydowskiego pochodzenia Benoita Mandelbrota.

17 Dywan Sierpińskiego W 1916 Wacław Sierpiński rozszerzył
zbiór Cantora na dwa. Ten fraktal nazywany jest często Dywanem Sierpińskiego 

18 Trójkąt Sierpińskiego
Analogicznie można postąpić z trójkątem, dzieląc go na 4 mniejsze.

19 Gąbka Mengera Trójwymiarowe uogólnienie dywanu Sierpińskiego

20 Na temat zbioru Cantora to już niestety wszystko 
Na zakończenie zapraszam jeszcze do obejrzenia kilku zdjęć fraktali, które wg mnie w niesamowity sposób obrazują piękno i MAGIĘ wspaniałego świata Matematyki  „Fraktalem jest wszystko...” Benoit Madelbrot

21

22

23

24

25

26

27

28

29