1.

Prezentacja na temat: "1."— Zapis prezentacji:

1 1

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Katolickie Liceum Ogólnokształcące w Szczecinie, Zespół Szkół Nr 2 im. Przyjaźni Polsko-Norweskiej w Ostrzeszowie ID grupy:97/11_MF_G1, 97/9_MF_G1 Opiekun:Łukasz Bożykowski, Robert Miguła Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: IV,V semestr/ 2011/2012 2

3 Różne własności liczb naturalnych

4 Liczby doskonałe Liczba doskonała, to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe zostały wynalezione przez pitagorejczyków. To oni podali pierwsze cztery kolejne liczby doskonałe: 6, 28, 496, (np. 6=1+2+3; 28= ). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych. Nie wiadomo również, czy istnieje choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). Podał on regułę odnajdowania parzystych liczb doskonałych: N = 2k-1(2k-1), gdzie (2k-1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego)

5 Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tysięcy cyfr.
Liczbami doskonałymi są również liczby: ( ); ( ). Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tysięcy cyfr. Ciekawostka: Liczba doskonała: ( ) ma cyfr, a odkryto ją 1 czerwca 1999 roku. Liczba: ( ) także jest doskonała. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ( ) liczy ona cyfr! Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

6 Liczby zaprzyjaźnione
Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi, jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A. Takimi liczbami "przyjaciółkami" są liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i Istotnie, 220= , a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284= , a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele.

7 Poniższa tabela podaje 11 przykładów par liczb zaprzyjaźnionych:
Ciekawostka: Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już takich par aż !

8 Liczby bliźniacze Ciekawostka:
Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". Ciekawostka: Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para: ,

9 Liczby czworacze Liczbami czworaczymi nazywamy takie pary liczb bliźniaczych, które tworzą czwórkę liczb pierwszych opierające się na wzorach p, p+2, p+6, p+8. Do takich czwórek należą liczby: 11,13,17,19 a także liczby: 191,193,197,199.

10 Liczby pierwsze Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynniki pierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużym praktycznym znaczeniu w arytmetyce. Carl Friedrich Gauss Iloczyn liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną, są więc liczby naturalne, będące iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Są także liczby naturalne większe od jedności, które nie są iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Takie właśnie liczby nazywamy pierwsze. Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych. Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, Nasuwa się pytanie, czy liczba naturalna jest pierwsza, czy też nie jest liczbą pierwszą.

11 Liczby złożone Jeśli liczba naturalna większa od 1 nie jest pierwszą, to jest iloczynem dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych. Liczby takie nazywamy liczbami złożonymi. Liczby złożone to liczby naturalne, które posiadają więcej niż dwa dzielniki. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... Liczby 0 i 1 nie należą ani do liczb pierwszych ani do złożonych. Dawniej uznawano liczbę 1 za pierwszą, jest ona jednak tak różna od właściwych liczb pierwszych, że dziś lokuje się ją w odrębnej klasie, nosi nazwę jedności.

12 Liczby półpierwsze Liczba rozkładająca się na iloczyn dokładnie dwóch liczb pierwszych (na dokładnie dwa czynniki pierwsze). Liczby półpierwsze odgrywają znaczącą rolę w kryptografii, bowiem liczba czynników pierwszych ma bezpośredni związek ze złożonością obliczeniową faktoryzacji. Interesującą własnością takich liczb jest następujące stwierdzenie: liczby półpierwsze występują maksymalnie po trzy obok siebie. Wynika to z podzielności przez 4. Nie może być 4 kolejnych liczb półpierwszych, bo jedna z nich byłaby podzielna przez 4, a więc podzielna przez 2 i przez dwa, zatem musiałaby być równa 4. Ale 4 nie należy do żadnej czwórki kolejnych liczb półpierwszych, bo 3 i 5 nie są półpierwsze.

13 Przykłady liczb półpierwszych
Oto trójki kolejnych liczb półpierwszych mniejszych niż 1000: (33,34,35) (85,86,87) (93,94,95) (121,122,123) (141,142,143) (201,202,203) (213,214,215) (217,218,219) (301,302,303) (393,394,395) (445,446,447) (633,634,635) (697,698,699) (841,842,843) (921,922,923)

14 Liczba Smith'a Liczba naturalna niebędąca liczbą pierwszą (liczba złożona), której suma cyfr (w systemie dziesiętnym) jest równa sumie cyfr wszystkich liczb występujących w jej rozkładzie na czynniki pierwsze. Na przykład 202 jest liczbą Smitha, ponieważ = 4, a po rozkładzie na czynniki pierwsze 202 = 2 · 101, a więc suma cyfr wynosi =4. Kolejnymi liczbami Smitha są: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, Pojęcie liczby Smitha wprowadził Albert Wilansky w roku 1982. W 1987 roku Wayne McDaniel udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb Smitha.

15 Liczba wesoła Jest liczbą naturalną zdefiniowaną w następujący sposób: obliczamy sumę kwadratów cyfr składających się na liczbę. Powtarzamy tę operację dla kolejnych wyników tak długo, aż uzyskamy liczbę 1 lub wyniki zaczną się powtarzać. Jeżeli w wyniku procesu otrzymaliśmy 1, pierwotna liczba jest liczbą wesołą. W przeciwnym przypadku jest liczbą niewesołą. Przykładowo 7 jest liczbą wesołą ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń:

16 Własności liczb wesołych
Jeśli liczba jest wesoła to wszystkie liczby otrzymane podczas powyższego procesu również są wesołe. Jeśli dokonamy permutacji cyfr liczby wesołej lub dodamy do niej dowolną ilość zer, otrzymana liczba również będzie liczbą wesołą. Wesołe liczby pierwsze to liczby, które jednocześnie są wesołe i pierwsze. Wesołość liczby opiera się na jej zapisie w systemie dziesiętnym. W innych systemach inne liczby są wesołe. W systemie dwójkowym wszystkie liczby są wesołe.

17 Liczba automorficzna Jako liczby automorficzne określa się liczby, które podniesione do kwadratu zawierają w końcówce samą siebie. Dwa proste przykłady: 76 x 76 = 5776 625 x 625 =

18 Przykłady liczb automorficznych
Inne przykłady liczb automorficznych: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, , , , , , , , , , , , , , , , , ... Liczby te zawierają same siebie tworząc dwie nieokresowe niecykliczne 'liczby nieskończone':

19 Liczba Cullen'a W matematyce liczbami Cullena nazywamy liczby naturalne postaci: n · 2n + 1 (oznaczane przez Cn). Jako pierwszy liczby te badał James Cullen w 1905 roku. Wykazano, że istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Cullena. Jedyne odkryte dotychczas liczby pierwsze Cullena to liczby Cn dla n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, , , , , , Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Cullena. W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n =

20 Liczba pseudopierwsza
to liczba naturalna, która spełnia niektóre własności charakteryzujące liczby pierwsze, ale sama nie jest liczbą pierwszą. Liczby pseudopierwsze można kategoryzować ze względu na własności jakie spełniają. Najbardziej istotną kategorią są liczby pseudopierwsze Fermata, które spełniają warunki małego twierdzenia Fermata: ap jest podzielne przez p dla pewnego a. Jeśli p nie jest pierwsza, to jest nazywana wtedy pseudopierwszą przy podstawie a. Najmniejszą liczbą pseudopierwszą przy podstawie 2 jest 341. Nie jest to liczba pierwsza, bo 341 = 11 • 31, ale spełnia warunki twierdzenia: 2340=1 (mod 341).

21 Liczby pseudopierwsze w praktyce
Rzadkość występowania takich liczb ma znaczenie praktyczne. Przykładowo algorytmy kryptografii asymetrycznej takie jak RSA wymagają szybkiego znajdywania kilkusetcyfrowych liczb pierwszych. Standardowo generuje się w nich losową liczbę nieparzystą i testuje czy jest pierwsza. Ponieważ deterministyczne sprawdzanie tego trwałoby długo, korzysta się zwykle z probabilistycznych testów takich jak test pierwszości Fermata.

22 Liczby względnie pierwsze
Liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się liczbami względnie pierwszymi. Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa.

23 Przykłady Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i nie są, gdyż obie są podzielne przez 3. Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą. Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

24 Liczby przestępne Liczby przestępne to liczby zespolone nie będące algebraicznymi. Najbardziej znanymi przykładami liczb przestępnych są π oraz e.

25 Postulaty Peano Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki, które definiują zbiór liczb naturalnych: - istnieje liczba naturalna 0, - każda liczba naturalna ma swój następnik, - zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, - różne liczby naturalne mają różne następniki, - jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

26