Trysekcja Paskala 1/2 Konchoidy okręgu, a więc krzywe,

Prezentacja na temat: "Trysekcja Paskala 1/2 Konchoidy okręgu, a więc krzywe,"— Zapis prezentacji:

1 Trysekcja Paskala 1/2 Konchoidy okręgu, a więc krzywe,
które w układzie Or współrzędnych biegunowych opisuje równanie r = a·{1+b·cos()}, nazywamy ślimakami Paskala (ang. limaçon of Pascal). Ślimaki Paskala Ich odkrywcą jest Étienne Pascal ( ), z wykształcenia prawnik. Jego synowi Błażejowi ( ) świat zawdzięcza mi.in. traktat filozoficzny Myśli (Pensées, 1660), prawo o rozchodzeniu się ciśnienia (1653), trójkąt współczynników dwumiennych (1653) i prototyp maszyny liczącej zwanej paskaliną (1645), którą skontruował, by ułatwić ojcu obliczanie podatków. Nazwę krzywym nadał, w roku 1650, Gilles de Roberval ( ). W Traité des indivisibles Roberval rozwinął metody całkowania, obliczył całkę oznaczoną funkcji sinus i długość łuku cykloidy. Szczególnymi przypadkami ślimaków Paskala są dla b=0: okrąg o promieniu równym a, dla b=1; kardioida (nazwę jej nadał de Casti- llon w r.1741), która jest zarazem szcze- gólnym przypadkiem cykloidy, dla b=2: trysektrysa Paskala – krzywa, za po- mocą której można dokonać podziału kąta na trzy równe części. Przyrząd kreślarski Paskala do dzielenia kąta na 3 równe części (Centro Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica, Modena )

2 Trysekcja Paskala 2/2 k1. Rysujemy ślimak Pascala o równaniu
r = cos(θ), a więc odcinający na osi Ox punkty O = (0,0), A = (3,0} i B = (1,0). k2. Od odcinka AB w górę odkładamy kąt <180º. k3. Punkt, w którym ukośne ramię tego kąta przecina ślimaka, nazywamy literą C. Konstrukcja k4. Łączymy punkt C z punktem O. k5. Kąt  = OCB jest 1/3 danego, tj.  = 3. u1. Oznaczmy  =  BOC oraz rzut punktu C = (x,y) na oś Ox literą D. u2. Na mocy oznaczeń: tg = y/x, tg = y/(x1), czyli y = tg·x, y = tg·(x1). u3. Dlatego x = tg /{tgtg} = sin·cos/sin(), y = tg·tg/{tgtg} = sin·sin/sin(). Uzasadnienie konstrukcji u4. Zatem x2 + y2 = sin2 /sin2() = {sin/sin()}2, gdyż  = 180°{180°(+)} = +. u5. Ponieważ punkt C = (x,y) leży na ślimaku, więc r2 = x2 + y2 = {1 + 2·cos}2. u6. Z u4 i u5 wynika sin(+)/sin = 1+2cos = 1+2·{12sin2}, czyli sin() = sin·{3 4sin2). Stąd  = 3.