Paradoksy i sofizmaty dr inż. Tomasz Martyn Instytut Informatyki Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa, 9.10.2012.

Prezentacja na temat: "Paradoksy i sofizmaty dr inż. Tomasz Martyn Instytut Informatyki Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa, 9.10.2012."— Zapis prezentacji:

1 Paradoksy i sofizmaty dr inż. Tomasz Martyn Instytut Informatyki Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa, r.

2 Paradoks a sofizmat Paradoks – twierdzenie prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sofizmat – rozumowanie świadomie błędne, mające na celu oszukanie słuchacza.

3 Sofizmat 1. Arytmetyczny
Twierdzenie. 1=−1. Dowód (przy wykorzystaniu liczb zespolonych): −1 = −1 1 −1 = −1 1 1 −1 = −1 1 1 ⋅ 1 = −1⋅ −1 1= 𝑖 2 1=−1 Długi w dobrym stanie tanio sprzedam Q.E.D.

4 Sofizmat 2. Arytmetyczny
Twierdzenie. 0=1. Dowód (całkowanie przez części): 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝐹 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 = ( ln 𝑥 )′ 𝑑𝑥 ln 𝑥 = ln 𝑥 ⋅ 1 ln 𝑥 − ln 𝑥 ln 𝑥 ′ 𝑑𝑥 =1− ln 𝑥 ⋅ −1 ln 𝑥 2 ⋅ 1 𝑥 𝑑𝑥 =1+ 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 Nic nie ma!!! Q.E.D.

5 Sofizmat 3. „Wszyscy ludzie są tego samego wzrostu”
Twierdzenie. Każdy niepusty, skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Dowód (indukcja): 1) Każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby jednakowego wzrostu. 2) Załóżmy teraz, że dowolny 𝑛-elementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu. Niech { 𝑜 1 ,…, 𝑜 𝑛+1 } będzie dowolnym (𝑛+1)-elementowym zbiorem ludzi. Wtedy zbiór 𝑜 1 ,…, 𝑜 𝑛 zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu; analogicznie zbiór 𝑜 2 ,…, 𝑜 𝑛+1 . Zatem osoba 𝑜 𝑛+1 jest tego samego wzrostu co osoba 𝑜 1 . Q.E.D.

6 Sofizmat 4. „Warto wnosić bomby na pokład samolotu pasażerskiego”
Wypożyczalnia bomb pokładowych Prawdopodobieństwo, że w samolocie pasażerskim jest bomba wynosi 1: Prawdopodobieństwo, że w samolocie są 2 bomby wynosi więc 1: Zatem najlepiej, dla dobra swojego i pasażerów, wnieść na pokład własną bombę, bowiem swojej nie odpalimy, a prawdopodobieństwo, że na pokładzie jest jeszcze jedna jest astronomicznie małe. Q.E.D.

7 Sofizmat 5. Geometryczny „60 = 58 = 59”
(nowojorski psychiatra L. Vosburgh Lyons) 60 cm2 58 cm2 59 cm2

8 Paradoks 1. Paradoks kłamcy
Jako Kreteńczykowi, uczciwość nakazuje mi Państwa ostrzec, że wszyscy Kreteńczycy to kłamcy. Epimenides (VI w. p.n.e.): Eubulides (IV w. p.n.e.): „To, co teraz mówię, jest kłamstwem.” Czyli: Z: zdanie Z jest fałszywe

9 Paradoks 2. Antynomia Russella
„Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami.” Czy cyrulik goli się sam? Z = { X: X  X }. Czy ZZ ? Jeśli ZZ, to Z spełnia warunek należenia do Z, więc ZZ. Jeśli ZZ, to Z nie spełnia warunku należenia do Z, więc ZZ. Zatem ZZ  ZZ

10 Paradoks 2. Antynomia Russella (cd.)
Niestety na golenie będzie musiał Pan jeszcze trochę poczekać... Właśnie ktoś udowodnił, że w rzeczywistości cyrulik nigdy nie istniał. A może istnieje „trzecia możliwość logiczna”? Może, na przykład, cyrulik jest kobietą...

11 Paradoks 3. Dodatkowa wartość logiczna?
Z: zdanie Z jest fałszywe lub zdanie Z nie ma wartości logicznej Jeśli Z prawdziwe, to Z fałszywe lub nie ma wartości logicznej Zatem antynomia: Z prawdziwe  Z nie jest prawdziwe Jeśli Z fałszywe, to Z prawdziwe i ma wartość logiczną. Zatem antynomia: Z fałszywe  Z prawdziwe Jeśli Z nie ma wartości logicznej, to Z nie jest fałszywe.

12 Paradoks 4. Paradoks Banacha-Tarskiego
Aksjomat wyboru: Dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych, można skonstruować zbiór (tzw. selektor) zawierający dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru tej rodziny. Paradoks Banacha-Tarskiego: Istnieje rozkład kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na skończoną liczbę rozłącznych części, z których można złożyć, korzystając jedynie z obrotów i translacji, dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Delfijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy? Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie ołtarz Apolla, zachowując jego kształt sześcianu. Banach i Tarski: A czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

13 Dziękuję za uwagę