Kardioida w optyce 1/9 Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca.

Prezentacja na temat: "Kardioida w optyce 1/9 Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca."— Zapis prezentacji:

1 Kardioida w optyce 1/9 Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca. Jednak to nie im przysługuje, wywiedziona z greckiego słowa kardi = serce, nazwa kardioida. Słowo kardioida po raz pierwszy użył, w r.1741, Johann Castillon w odniesieniu do krzywej, która jest zarówno pewną konchoidą okręgu jak i pewną epicykloidą (mianowicie zakreślaną przez punkt okręgu toczącego się po zewnętrznej stronie okręgu mającego taki sam promień). Szczególny ślimak Paskala, szczególna epicykloida Konchoidy okręgu to krzywe, które badał Étienne Pascal ( ), ojciec Błażeja. Gilles Roberval nazwał je ślimakami Paskala. Cykloidy - krzywe powstające w wyniku toczenia okręgu po prostej - budziły zainteresowanie już Arystotelesa ( p.n.e.). Cykloidami i ich uogólnieniami zajmowali się potem m.in.. Johann Kepler ( ), Bonaventura Cavalieri ( ) i Christopher Wren, który - w r pierwszy wyliczył długość łuku cykloidy. W r.1674 kardioidę badał – poszukując optymalnego profilu dla przekładni zębowych – duński astronom Ole Christensen Roemer, nota bene autor terminu epicykloida W r.1708 jej długość wyliczył Phillippe de la Hire. My przyjrzymy się, jak kardioida pojawia się w pewnym zadaniu z optyki.

2 Kardioida w optyce 2/9 Tak jak to widać na fotografii obok,
odpowiednie oświetlnie zarysowało na powierzchni płynu nietuzinkowy kształt. Pokażemy, że (pomijając tu dość już słabe efekty wyższego stopnia, tj. odbicia rzędu 2 i wyższe, oraz przymykając oko na silną ingerencję lampy błyskowej i dalekie od ideal- nego umieszczenie źródła odbijanych promienie) ów kształt to kardioida. fot. Piotr Kuświk Kardioida sfotografowana w kubku z kawą z mlekiem p1. Z początku układu współrzędnych zatoczmy okrąg o dowolnym promieniu a. Ma on równanie x2 + y2 = a2. p2. Z punktu A = (– a, 0) wysyłamy promień nachylony do osi Ox pod kątem kątem α . p3. Promień dociera do okręgu w punkcie, który oznaczamy przez B. Tu się odbija i podąża w kierunku punktu C. Napiszemy równania promieni padającego i odbitego oraz wykażemy, że obwiednią rodziny promieni odbitych jest właśnie kardioida.

3 Kardioida w optyce 3/9 p4. Promień padający ma równanie
y = tg(α)·(x+a). p5. Zatem współrzędne punktu B wyznaczymy z układu równań y = tg(α)·(x+a), x2 + y2 = a2. Otrzymujemy x2 +{tgα·(x+a)}2 = r2 , tj. {1+tg2α}·x2 + 2a·tg2α·x + {1–tg2α}·a2 = 0. Równanie promieni padającego p6. Równanie to ma dwa zera: x = –a oraz x = a·{tg2α–1}/{tg2α+1} = a·cos(2α). Pierwsze (tzn. x = – a) wyznacza punkt A, drugie jest odciętą punktu B. p7. Wstawiając tę odciętą do równania okręgu natychmiast otrzymujemy rzędną punktu B. I w ten sposób wiemy już, że B = (a·cos(2α), a·sin(2α)). Znamy już równanie promienia wysyłanego z punkty A i współrzędne punktu B, w którym dobiega on do półokręgu. Teraz czas na równanie promienia odbitego.

4 Kardioida w optyce 4/9 p8. Połączmy punkt B ze środkiem O okręgu.
Ponieważ |AO| = |OB.|, więc otrzymany trójkąt AOB jest równoramienny i dlatego kąt przy wierzchołku B jest równy α. Równanie promieni odbitego p9. Trzeci kąt w AOB jest równy 180°–, w konsekwencji czego odcinek OB jest nachylony do osi Ox pod kątem 2. p10. CBO = OBA =  (wszak kąt odbicia jest równy kątowi padania), więc odcinek BC jest nachylony do osi Ox pod kątem 180°–{180°–(2+)} = 3. p11. Leży zatem odcinek BC na prostej o równaniu y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}. p12. Powyższe równanie nie obejmuje jednego przypadku – gdy α = 60º (wtedy promień BC biegnie równolegle do osi Ox). Nie jest on wykluczony przy przedstawieniu wektorowym prostej BC: x(t) = a·cos(2α) + cos(3α)·t, y(t) = a ·sin(2α) + sin(3α)·t. Powyższe równanie opisuje rodzinę promieni odbitych. Aby przejrzyście wyrysować przedstawicieli tej rodziny (uzyskujemy ich dla konkretnych wartości kąta α (-90º,90º)), należy wyznaczyć współrzędne punktów C (tutaj promień odbity dobiega do okręgu) i D (tutaj przecina oś poziomą Ox).

5 Kardioida w optyce 5/9 Wiemy już (p11), że każdy promień odbity leży na prostej o równaniu cos(3)·{y–a·sin(2α)} = sin(3)·(x–a·cos(2α)}. Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów stwierdzamy, że każda z tych prostych spełnia równanie F(a,x,y,α) =0, gdzie F(a,x,y,α) = a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y. F(a,x,y,α) =0 jest równaniem rodziny tych prostych (a kąt α identyfikuje jej członków, reprezentantów) . Zmieniając kąt  w zakresie od – 90º do 90º uzyskujemy rodzinę promieni odbitych wysłanych z punktu A = (–a, 0) i odbitych od wnętrza okręgu. Na rysunku obok pokazane są proste, na których leży 45 reprezentantów tej rodziny (dla  = –88º, –86º,..., 84º, 86º, 88º). Kardioida rysuje się jako obwiednia rodziny promieni Widać, że wyznaczają one pewną krzywą. Jest ona styczna do każdej reprezentantki rodziny F(a,x,y,α) =0. Krzywą o takiej własności nazywa się obwiednią rodziny F(a,x,y,α) =0. Rysunek uzyskano w programie DERIVE 5 (Texas Instruments) w wyniku poleceniawizualizacji uproszczenia napisu VECTOR(proOd1(,x,y),,-88°,88°,2°) przedtem zdefiniowawszy rodzinę promieni odbitych (dla a=1) proOd1(,x,y):=SIN()-SIN(3)·x+COS(3)·y=0.

6 Kardioida w optyce 6/9 Dowodzi się, że jeśli rodzina krzywych zadana wzorem (x,y,)=0 ma obwiednię, a funkcja  jest dostatecznie gładka, to jest ta obwiednia określona układem złożonym z równań (x,y,) = 0, D  (x,y,) = 0, gdzie D oznacza różniczkowanie względem parametru  rodziny. W naszym zadaniu mamy więc układ a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y = 0 a·cos(α) +3cos(3α)·x +3sin(3α)·y = 0 czyli sin(3α)·x – cos(3α)·y = –a·sin(α) cos(3α)·x + sin(3α)·y = a·cos(α)/3. Równanie obwiedni rodziny promieni odbitych Po obustronnym podniesieniu każdego z równań do kwadratu i dodaniu stronami uzyskujemy związek (x – 1/3)2 + y2 =2/3·(1 –cosα)}2. Stąd wyznaczamy wartość cosα i wstawiamy ją do któregoś z wyjściowych równań. Żmudne przekształcenia, mające na celu eliminację parametru α, prowadzą w końcu do równania (z2 + y2)2 – 2b·z·(z2 + y2) – b2·y2) = 0, gdzie z=x–1/3, b=2a/3. Zamiast eliminować parametr α można układ rozwiązać ze względu na x i y. Otrzymujemy wtedy przedstawienie parametryczne kardioidy: x = {2cosα – cos(2α)}/3, y = {2sinα – sin(2α)}/3.

7 Kardioida w optyce 7/9 p13. Współrzędne punktu C uzyskujemy tworząc układ x2 + y2 = a2 x = a·cos(2α) + cos(3α)·t, y = a·sin(2α) + sin(3α)·t złożony z równania okręgu i pary równań opisujących wektorowo prostą BC (przy tym kąta α = 60º nie rozpatrujemy, gdyż dlań BC jest równoległe do osi Ox). Współrzędne punktów C i D Pierwsze z trzech powyższych równań przyjmuje postać {r·cos(2α) + cos(3α)·t}2 +{r·sin(2α) + sin(3α)·t}2 = r2. Jego rozwiązaniami są t = 0 i t = –2r·cos. Pierwsze z nich daje punkt B, drugie – poszukiwane współrzędne punktu C: x = r·cos(2α) + cos(3α)·{–2r·cos)} = –r·cos(4α), y = r·sin(2α) + sin(3α)·{– 2r·cos)} = –r·sin(4α). p14. Odciętą punkt D uzyskujemy wstawiając do równania prostej BC, tzn. do równania y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}, wartość y = 0 (jako że D leży na osi Ox). Stąd, nadal przy założeniu, iż α  60, otrzymujemy D = ( r·cos(2α)·{1–tg(2α)·tg(3α)}, 0).

8 Kardioida w optyce 8/9 "_kardiOp.MTH kardioida jako obwiednia promieni odbitych (A.Marlewski )" [CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word] promienPadajacy(r,alpha,t):=[-r,0]+[COS(alpha),SIN(alpha)]*t punktB(r,alpha):=r*[COS(2*alpha),SIN(2*alpha)] promienOdbity(r,alpha,t):=punktB(r,alpha)+[COS(3*alpha),SIN(3*alpha)]*t punktD(r,alpha):=IF(alpha/=pi/3,promienOdbity(r,alpha,-r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)),r/2*[1,SQRT(3)]) punktC(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,-2*r*COS(alpha)) punktD(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)) wezWedlugWiekszejRzednej(P,Q):=IF(P SUB 2>Q SUB 2,P,Q) punktE(r,alpha):=wezWedlugWiekszejRzednej (punktC(r,alpha),punktD(r,alpha)) "Definicja promienia padajacego i odbitego (konczacego sie na okregu lub osi Ox):" odAdoE(r,alpha):=[[-r,0],punktB(r,alpha), punktE(r,alpha)] "Rownanie okregu o srodku w [0,0] i promieniu 3, nastepnie Plot:" x^2+y^2=3^2 "Simplify Approximate, otrzymana macierz Plot:" VECTOR(odAdoE(3,alpha),alpha,2*deg,89*deg,3*deg) "Definicja wektorowa kardioidy:" para_kardioida(C,a,t):=C+2*a*[COS(t),SIN(t)] -a*[COS(2*t),SIN(2*t)] "Simplify Basic, nastepnie Plot (od -Pi do Pi):" para_kardioida([0,0],1,t) Uzyskanie ilustracji w systemie DERIVE 5 (Texas Instrs)

9 Kardioida w optyce 9/9 Pierwsi, którzy zauważyli, że cykloida jest
katakaustyką okręgu (czyli obwiednią rodziny promieni świetlnych odbitych, których źródło leży na okręgu) byli – w r Jacob Bernoulli i jego ojciec Johann. Wiemy dlaczego widać kardioidę. Czas zatem na kawę ! Zarys kardioidy w kubku napełnionym kawą (fot. Piotr Kuświk)