Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Nazwa szkoły: Zespół Szkół Centrum Kształcenia Rolniczego im. W. Witosa w Boninie Zespół Szkół Centrum Kształcenia Rolniczego im. W. Witosa w Boninie ID grupy: 97/42_MF_G1 ID grupy: 97/42_MF_G1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Geometria trójkąta Geometria trójkąta Semestr/rok szkolny: V semestr 2011 / 2012

3 Co to jest trójkąt??? Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny. Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest i niewspółliniowe punkty płaszczyzny. Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

4 Rodzaje trójkąta Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów. Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary. trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

5 Trójkąty dzielimy na: Rodzaje kątów: ostrokątne, jeśli wszystkie kąty są ostre, ostrokątne, jeśli wszystkie kąty są ostre, prostokątne, jeśli jeden z kątów jest prosty, prostokątne, jeśli jeden z kątów jest prosty, rozwartokątne, jeśli jeden z kątów jest rozwarty. rozwartokątne, jeśli jeden z kątów jest rozwarty. Długości boków trójkąta: różnoboczne, jeśli wszystkie boki są różnej długości, różnoboczne, jeśli wszystkie boki są różnej długości, równoramienne, jeśli co najmniej dwa boki mają tę samą długość, równoramienne, jeśli co najmniej dwa boki mają tę samą długość, równoboczne, jeśli trzy boki mają tę samą długość. równoboczne, jeśli trzy boki mają tę samą długość.

6 Trójkąty dzielone na boki równoboczny równoramienny równoboczny

7 Trójkąty dzielone na Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty. trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

8 Trójkąty dzielone na kąty ostrokątny prostokątnyrozwartokątny

9 Wysokości trójkąta Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O). Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).

10 Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

11 Twierdzenie Talesa Jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to stosunek odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym z ramion kata jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu tego kąta. Jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to stosunek odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym z ramion kata jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu tego kąta. Jeżeli AC || BD, to |OA| |OC| |OA| |OC| |OB| = |OD|, |AB| = |CD|, |OA| |OB| |AC| |BD| |OC| = |OD|, |OA| = |OB|, |BD| |OB| |AC| = |OA|

12 Twierdzenie o dwusiecznej Dwusieczna kąta dzieli podstawę trójkąta proporcjonalnie do długości jego boków Dwusieczna kąta dzieli podstawę trójkąta proporcjonalnie do długości jego boków |AB| |BD| |AC| = |CD

13 Wzory na pole trójkąta P = ( a*h ) / 2 gdzie: a - podstawa trójkąta, h - wysokość trójkąta opuszczona na podstawę a P = ( a*b*sina ) / 2 gdzie: a - jeden bok trójkąta b - drugi bok trójkąta a - kąt pomiędzy tymi dwoma bokami P = ( a*b*c ) / 4R gdzie: a,b,c - boki trójkąta R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie P = ( a*h ) / 2 gdzie: a - podstawa trójkąta, h - wysokość trójkąta opuszczona na podstawę a P = ( a*b*sina ) / 2 gdzie: a - jeden bok trójkąta b - drugi bok trójkąta a - kąt pomiędzy tymi dwoma bokami P = ( a*b*c ) / 4R gdzie: a,b,c - boki trójkąta R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie

14 Cechy przystawania trójkątów I cecha Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

15 II cecha Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

16 III cecha Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

17 Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi. Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt. Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty. Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

18 Literatura http://brasil.cel.agh.edu.pl/~09utbaranski/?x=trojkaty http://brasil.cel.agh.edu.pl/~09utbaranski/?x=trojkaty http://brasil.cel.agh.edu.pl/~09utbaranski/?x=trojkaty http://www.eioba.pl/a/3d/trojkaty-jako-figury- geometryczne-plaskie-i-ich-najwazniejsze-elementy http://www.eioba.pl/a/3d/trojkaty-jako-figury- geometryczne-plaskie-i-ich-najwazniejsze-elementy http://www.eioba.pl/a/3d/trojkaty-jako-figury- geometryczne-plaskie-i-ich-najwazniejsze-elementy http://www.eioba.pl/a/3d/trojkaty-jako-figury- geometryczne-plaskie-i-ich-najwazniejsze-elementy http://matma.eu/geometria/art.php?id=6 http://matma.eu/geometria/art.php?id=6 http://matma.eu/geometria/art.php?id=6 http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t http://matma.prv.pl/trojkaty.php http://matma.prv.pl/trojkaty.php http://matma.prv.pl/trojkaty.php

19 Dziękujemy!!! Dziękujemy!!!