DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja:

Prezentacja na temat: "DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja:"— Zapis prezentacji:

1

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Semestr/rok szkolny: V /

3 LEONHARD EULER Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich szwajcarski Matematyk i fizyk

4 WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW
W 1752 Euler, wówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego . s - k + w = 2.

5 NASZA PRACA PROJEKTOWA
OTO PRZYGOTOWANE PRZEZ NAS MODELE DO BADAŃ

6 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA GRANIASTOSŁUPÓW
Graniastosłup TO wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, A ściany boczne są równoległobokami. S=n+2 W=2n K=3n S + W- K=(n+2)+2n-3n=2

7 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA OSTROSŁUPÓW
Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem ( podstawa ), a pozostałe ściany (ściany boczne ) są trójkątami o wspólnym wierzchołku. S=n+1 W=n+1 K=2n S + W- K=(n+1)+(n+1)-2n=2

8 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANU WYDRĄŻONEGO?
W PROSTOPADŁOŚCIANIE WYDRĄZYLIŚMY GRANIASTOSŁUP PROSTY O PODSTAWIE TRÓJKATA PROSTOKĄTNEGO. Odkryliśmy, że: W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier udowodnił, ze dla wielościanów dziurami wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”.

9 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA BRYŁ PLATOŃSKICH
ZBUDOWALIŚMY MODEL dwunastościanu foremnego S=12 W=30 K=20 S + W- K= =2

10 O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z WZORU Eulera
Oznaczmy: W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4, K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, S - ilość ścian, S ≥ 4 p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. . Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi. Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

11 ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO S=8 W=12 K=18 S + W- K= =2

12 ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU S=14 W=12 K=24 S + W- K= =2

13 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA
ZBUDOWALIŚMY MODEL TRZYDZIESTOŚCIANU ROMBOWEGO S=30 W=32 K=60 S + W- K= =2

14 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA
ZBUDOWALIŚMY MODEL DWUNASTOŚCIANU ROMBOWEGO S=12 W=14 K=24 S + W- K= =2

15 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW JOHNSONA
ZBUDOWALIŚMY MODEL wydłużonej dwukopuły czworokątnej przekręconej S=26 W=28 K=52 S + W- K= =2

16 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH?
ZBUDOWALIŚMY MODEL graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego gwiaździstego S=12 W=20 K=30 S + W- K= =2

17 SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH?
Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem.

18 GWIAZDA MORAWSKA powstaje w wyniku doklejenia prawidłowych ostrosłupów do ścian wielościanu archimedesowego zwanego sześcio-ośmiościanem rombowym małym – wzór eulera nie zachodzi

19 STELLA OCTANGULA OŚMIOŚCIAN GWIAŹDZISTY
wielościan gwieździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny wydłużony o ostrosłupy doczepione do jego ścian. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 8(stellonych)/24 ściany będące trójkątami równobocznymi W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości

20 BIBLIOGRAFIA http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum
K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO R. Kalina, Matematyka III Sens K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami Encyklopedia szkolna Matematyka

21