INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego.

Prezentacja na temat: "INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego."— Zapis prezentacji:

1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres owy autora:

2 UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI
RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

3 Geometria ugięcia osi belki
1. Definicja odkształcenia: z  My My 2. Z rysunku: w z x 3. Z podstawienia 2 do 1 4. Odkształcenie liniowe 5. Hipoteza płaskich przekrojów 

4 Naprężenia normalne i krzywizna osi przy zginaniu
1. Odkształcenie liniowe 2. Z prawa Hooke’a 3. Naprężenie normalne przy zginaniu 4. Z porównania 2 i 3: 5. Krzywizna pręta 

5 Równanie różniczkowe ugiętej osi belki
1. Związek krzywizny i momentu: 2. Wzór na krzywiznę krzywej: 3. Równanie różniczkowe dla wyznaczenia ugięć osi belki w(x)

6 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki
Znakowanie w(x), w’(x) i w’’(x) zależy od wyboru układu osi x i w oraz ich zwrotów: w(x) x w>0, w’<0 w(x) x w>0, w’>0 w(x) x w>0, w’>0 w(x) x w>0, w’<0

7 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki
Niezależnie, znakowanie momentu M(x) wynika z przyjętej umowy (M jest dodatni gdy rozciąga „spody”) M>0 M<0 M<0 M>0

8 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki
Przyjmiemy umowę, że zachowując przyjęte znakowanie momentów, równanie różniczkowe osi belki będziemy zapisywali w postaci: JEŚLI dodatni zwrot osi w będzie zgodny ze zwrotem dodatniego momentu t.j. będzie skierowany w stronę spodów: w(x) x My W przeciwnym przypadku w równaniu należy przyjąć znak +. Przyjęcie dodatniego zwrotu osi x nie ma wpływu na znak w pow. równaniu. Należy jednak pamiętać, że zmiana skrętności układu w,x powoduje zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w(x).

9 Całkowanie równania ugiętej osi belki
Dla belki z jednym przedziałem charakterystycznym wyznaczenie ugięcia osi belki i obrotu przekroju poprzecznego pręta (por. rys.), wymaga dwukrotnego scałkowania równania różniczkowego: Jednokrotne scałkowanie określa nachylenie stycznej do osi ugiętej belki (a więc obrót przekroju poprzecznego) w(x) x w Ponowne scałkowanie daje w wyniku ugięcia belki: Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania konieczne jest określenie dwu warunków brzegowych.

10 Całkowanie równania ugiętej osi belki
Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania: C i D trzeba ustalić dwa warunki brzegowe wynikające z podparcia belki w sposób zapewniający jej geometryczną niezmienność w płaszczyźnie rysunku, np: w=0 A w=0 w’=0 B UWAGA: ponieważ nie uwzględniamy wpływu sil podłużnych na ugięcia, 3 przypadki w wierszu A i 3 przypadki w wierszu B są sobie równoważne (mimo, że niektóre belki są chwiejne lub statyczne niewyznaczalne!)

11 Całkowanie równania ugiętej osi belki
W przypadku gdy równanie momentu nie da się zapisać w sposób analityczny jednym równaniem dla całej belki i musi być zapisywane w przedziałach charakterystycznych, dla każdego z tych przedziałów trzeba zapisać równanie różniczkowe ugięć (oznaczając ugięcia odpowiednim indeksem) i dokonać dwukrotnego całkowania w każdym przedziale. W rezultacie otrzymujemy 2n stałych całkowania (gdzie n oznacza liczbę przedziałów charakterystycznych) i trzeba ułożyć 2n-2 (2 warunki mamy z warunków podparcia belki) dodatkowych warunków „zszycia” na brzegach sąsiednich przedziałów charakterystycznych. W wyniku takiego postępowania otrzymujemy układ 2n algebraicznych równań liniowych dla wyznaczenia 2n stałych całkowania. Procedura ta jest uciążliwa i warta zastosowania tylko wtedy, gdy chcemy mieć równanie linii ugięcia dla całej belki (pozwala to na analityczne wyznaczenie maksymalnych ugięć i miejsca ich występowania.

12 Całkowanie równania ugiętej osi belki
Ilustracja wykorzystania warunków brzegowych i warunków „zszycia” n 1 2 3 4 5 6 w1=w2 w2=w3 w3=w4 w4=w5 w5=w6 w6=0 w1=0 w’2=w’3 w’3=w’4 w’5=w’6 w’6=0 w’1=w’2 Całkowanie w przedziałach Zgodność pochodnych Zgodność przemieszczeń

13 UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI
METODA OBCIĄŻEŃ FIKCYJNYCH (MOHRA)

14 Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne
Zróżniczkujemy dwukrotnie związek wykorzystując związki M-Q-q Pierwsze zróżniczkowanie: Drugie zróżniczkowanie: Dwukrotne scałkowanie wyjściowego związku daje nam pozostałą pochodną w’ i samą wartość ugięć:

15 Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne
? ? Równanie to ‘całkujemy’ wykorzystując definicje fizyczne wyznaczanych wielkości M(x) i Q(X) na podstawie znajomości q(x) i warunków podparcia (brzegowych). Czy nie można tej samej procedury zastosować i tutaj?

16 Statyka belki fikcyjnej a przemieszczenia belki rzeczywistej
STATYKA Przestrzeń fikcyjna UGIĘCIA Przestrzeń rzeczywista J E Ś L I CF= CR , DF=DR T O wR(x)MF(x) , w’R  QF(x)

17 Dobór obciążenia i schematu belki fikcyjnej
Podstawowym warunkiem wykorzystania analogii Mohra jest aby zmienna x w belce fikcyjnej miała taki sam zakres ważności jak w belce rzeczywistej (0 ≤ xR ≤ l, 0 ≤ xF ≤ l). Spełnienie warunku [1/m] oznacza, że jedynym obciążeniem belki fikcyjnej będzie obciążenie ciągłe o wymiarze [Nm/(Nm-2m4)]=[ m-1] rozłożone na belce tak jak przebieg wykresu momentów dla belki rzeczywistej. Wykresy momentów i sił poprzecznych od takiego obciążenia nie mogą więc zawierać nieciągłości (nie ma obciążenia w postaci skupionych momentów czy sił). Spełnienie warunków CF= CR , DF=DR polega na dobraniu podpór belki fikcyjnej tak, aby w charakterystycznych punktach były spełnione związki wR(x)MF(x) , w’R  QF(x) I tak, jeśli w jakimś punkcie belki rzeczywistej wR=0 , to na belce fikcyjnej musi być w tym punkcie MF=0. Podobnie jeśli w’R =0 to i QF =0 itd.

18 Dobór schematów belek fikcyjnych
Przykład 1 Przykład 2 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

19 Dobór schematów belek fikcyjnych
Przykład 3 Przykład 4 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

20 BELKA RZECZYWISTA BELKA FIKCYJNA Zamocowanie Przegub Podpora przegubowa Wolny koniec

21 Wykres momentów (z zastosowaniem SUPERPOZYCJI)

22 Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej
Belka rzeczywista Wykres momentów dla belki rzeczywistej. Obciążenie belki fikcyjnej Korekta zwrotu obc. fikcyjnego Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej Statyka – ale obciążenie skomplikowane!!! Sposób niezwykle pracochłonny!!!

23 Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach
EJ x wA= Pa3/3EJ w’A= Pa2/2EJ w B A a wB= Pa2/2EJ[l-a/3] w’B= Pa2/2EJ l Momenty od obc. fikcyjnego: Pa MAF=wA= Pa/EJ)(1/2)a(2a/3)= Pa3/3EJ MBF=wB= Pa/EJ)(1/2)a[l-a/3]= Pa2/2EJ[l-a/3] Pa/EJ 2a/3 a/3 Pa/EJ)(1/2)a Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pa/EJ)(1/2)a= Pa2/2EJ l-a/3 w Parabola 3-go stopnia Prosta

24 Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach
a = l P EJ x B wB= Pl3/3EJ w’B= Pl2/2EJ w Moment od obc. fikcyjnego: Pl MBF=wB= Pl/EJ)(1/2)l[2l/3]= Pl3/3EJ Pl/EJ l/3 2l/3 Pl/EJ)(1/2)l Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pl/EJ)(1/2)l= Pl2/2EJ w Parabola 3-go stopnia

25 Wzory dla wyznaczania powierzchni i środkow ciężkości obciążeń ciągłych
Parabola n-tego stopnia Powierzchnia: A= ab/(n+1) a Pozioma styczna Położenie środka ciężkości: c= b/(n+2) c b n A c 1 2 3 … ab ab/2 ab/3 ab/4 … b/2 b/3 b/4 b/5 …

26 Ugięcia belek o zmiennej sztywności
Jeśli EJ zmienia się po długości belki tj. EJ(x), to równanie różniczkowe ugięć przyjmuje postać Punkt zmiany sztywności jest punktem charakterystycznym!

27 Przykład analizy ugięć belki o zmiennej sztywności
> EJ2 x EJ l P K w x l wK= Pl3/3EJ Pl Pl Pl/EJ2 {Pl/EJ2} {1-J2/J1} Pl/EJ Pl/EJ1 Pa2/EJ2 {Pa2/EJ2} {1-J2/J1} {Pa2} {1-J2/J1} Pa2/EJ1 EJ2 LUB… a1 Pl/EJ2 EJ2 {P(l-a2)/a1} {1-J2/J1} wK= ? {Pl/EJ2} {1-J2/J1}