Równania różniczkowe - przegląd

Prezentacja na temat: "Równania różniczkowe - przegląd"— Zapis prezentacji:

1 Równania różniczkowe - przegląd
METODY NUMERYCZNE Wykład 7 Równania różniczkowe - przegląd dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH Met.Numer. wykład

2 Równania różniczkowe - wprowadzenie
Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w: Fizyce (np. równania Maxwell’a) Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego) Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych) Automatyce (np. warunki sterowalności układu) i wielu innych dziedzinach nauki i techniki Met.Numer. wykład

3 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej. M Przykład: Met.Numer. wykład

4 Cząstkowe równania różniczkowe
Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych. Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu: Met.Numer. wykład

5 Cząstkowe równania różniczkowe
Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1 znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x) є R+ x Rn i kładąc dla s є R dostajemy: Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania. Met.Numer. wykład

6 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe
Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe: ma rozwiązanie: Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne Met.Numer. wykład

7 Rozwiązywanie zagadnień początkowych
Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania Met.Numer. wykład 6

8 Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej
Błąd metody Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1 h – krok całkowania Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci: Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej Met.Numer. wykład 6

9 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne
W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego: podstawmy: wówczas: Met.Numer. wykład

10 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne
Zatem: Rozwiązaniem zagadnienia jest więc: Met.Numer. wykład

11 Całka zupełna dla równań rzędu 1
Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci: gdzie: Met.Numer. wykład

12 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe
Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego) Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie. Met.Numer. wykład

13 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe
Staramy się połączyć punkt xєΩ z pewnym punktem x0єГ pewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej: Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s): Met.Numer. wykład

14 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe
Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi: Zakładamy, że: Met.Numer. wykład

15 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe
Otrzymujemy wtedy: Ostatecznie otrzymujemy: Met.Numer. wykład

16 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe
Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej. Met.Numer. wykład

17 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład
Rozpatrzmy układ: Wówczas równania charakterystyk mają postać: Met.Numer. wykład

18 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład
Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie: Met.Numer. wykład

19 Równanie liniowe rzędu 2
Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać: Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać: A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3 Met.Numer. wykład

20 Transformacja Laplace’a
Całką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci: Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą. Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna. Met.Numer. wykład

21 Transformacja Laplace’a c.d.
Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a. Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako: Met.Numer. wykład

22 Transformacja odwrotna Laplace’a
Transformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem: Met.Numer. wykład

23 Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcje
Transformata pochodnej: Transformata całki: Met.Numer. wykład

24 Własności transformacji Laplace’a
Linowość: gdzie a, b, c to współczynniki Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej: Jeśli to Zmiana skali Jeśli to Met.Numer. wykład

25 Transformacja Laplace’a - przykład
Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a: Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy: Met.Numer. wykład

26 Transformacja Laplace’a – przykład c.d.
Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych Met.Numer. wykład

27 Transformacja Laplace’a – przykład c.d.
Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania Uwzględniając że: Rozwiązanie równania wynosi: Met.Numer. wykład

28 Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a
Równanie Poissona Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a Met.Numer. wykład

29 Równanie Poissona Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej: Met.Numer. wykład

30 Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena:
Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena: Met.Numer. wykład

31 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera
Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci: Przykłady: Met.Numer. wykład

32 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera
Dla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0 y Φ krok h x wartość prawdziwa y1, wartość przewidywana Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0) Met.Numer. wykład

33 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera
Po przekształceniu otrzymujemy: Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy: Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako: Met.Numer. wykład

34 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera
Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny: y wartość prawdziwa yi+1, wartość przewidywana yi Φ h krok x xi xi+1 Met.Numer. wykład

35 Metoda Eulera - Przykład
Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

36 Metoda Eulera – Przykład c.d.
Wzór rekurencyjny metody Eulera: Zakładamy krok h = 240 Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład

37 Metoda Eulera – Przykład c.d.
Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = : Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K Czy to prawda? Met.Numer. wykład

38 Metoda Eulera – Przykład c.d.
Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera. czas t(s) dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) Met.Numer. wykład

39 Metoda Eulera – Przykład c.d.
Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 110.32 546.77 614.97 632.77 252.54 82.964 15.566 5.0352 2.2864 Met.Numer. wykład

40 Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Metoda Rungego-Kutty pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci: Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora: Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu Met.Numer. wykład

41 dla metody czwartego rzędu:
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco: dla metody czwartego rzędu: Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego? Met.Numer. wykład

42 Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór:
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie: aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań: zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe Met.Numer. wykład

43 Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Metoda Heun’a Metoda midpoint Metoda Raltson’a Met.Numer. wykład

44 Metoda Rungego - Kutty - Przykład
Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

45 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dla metody Heun’a: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200: Met.Numer. wykład

46 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K Met.Numer. wykład K

47 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 584.27 651.35 649.91 648.21 160.82 9.78 0.58 0.36 0.10 Met.Numer. wykład

48 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Porównanie dotychczas przedstawionych metod: czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi: Rozmiar kroku h Θ(480) Euler Heun Midpoint Ralston 480 240 120 60 30 110.32 546.77 614.97 632.77 584.27 651.35 649.91 648.21 1208.4 976.87 690.20 654.85 649.02 449.78 690.01 667.71 652.25 648.61 Met.Numer. wykład

49 Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór:
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie najczęściej przyjmuje się że: Met.Numer. wykład

50 Metoda Rungego - Kutty - Przykład
Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

51 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład

52 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Met.Numer. wykład

53 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dla i = 1, t1 = 240, Θ1 = 675,65: Met.Numer. wykład

54 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.
Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu. czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 594.91 646.16 647.54 647.57 113.94 8.1319 Met.Numer. wykład

55 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów
Dla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego można dokonać podstawienia: Met.Numer. wykład

56 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów
Otrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań: Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego Met.Numer. wykład

57 Po podstawieniu równanie przybiera postać:
Przykład Rozwiąż równanie: oraz oblicz y(0.75) Podstawiając: Po podstawieniu równanie przybiera postać: Met.Numer. wykład

58 W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań:
Przykład c.d. W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań: Stosując metodę Eulera: Met.Numer. wykład

59 Przykład c.d. Krok 1: Met.Numer. wykład

60 Przykład c.d. Krok 2: Met.Numer. wykład

61 Przykład c.d. Krok 3: Met.Numer. wykład

62 Otrzymane rozwiązanie to:
Przykład c.d. Otrzymane rozwiązanie to: Wartość dokładna to: Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi: Met.Numer. wykład

63 Warunki początkowe i brzegowe
Zależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q: q υ L x q υ L x Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0 Met.Numer. wykład

64 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.
Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe. Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład

65 Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie:
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie: Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50: Met.Numer. wykład

66 Aproksymujemy w punkcie i:
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Aproksymujemy w punkcie i: Met.Numer. wykład

67 Po podstawieniu wartości:
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Po podstawieniu wartości: Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły: Met.Numer. wykład

68 Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2):
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2): Met.Numer. wykład

69 Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4):
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4): Met.Numer. wykład

70 Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako:
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako: Rozwiązanie powyższego kładu równań daje: Met.Numer. wykład

71 Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi:
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi: Rozwiązanie analityczne daje: Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową: Met.Numer. wykład

72 Mikro- i nanobelki w sensorach
Met.Numer. wykład

73 Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnego
Równanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji. W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu ∂V. Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg ∂V: η – wektor normalny do ∂V, dS - miara na powierzchni ∂V Met.Numer. wykład

74 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe
Równanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplace’a – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.: Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy: Met.Numer. wykład

75 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe
Jeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu: Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplace’a: Met.Numer. wykład

76 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe
Jeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie: Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia rn-1 otrzymujemy: Met.Numer. wykład

77 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe
I ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia: Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła: Met.Numer. wykład

78 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe
Rozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję: Met.Numer. wykład

79 Rozkład temperatury w czujnikach
Met.Numer. wykład

80 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta
Badanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny. Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej. Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia: Met.Numer. wykład

81 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta
Rozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem: Gdzie F i G są funkcjami klasy C2(R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy: Met.Numer. wykład

82 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta
Całkując drugie równanie mamy: Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań jest para funkcji: Met.Numer. wykład

83 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta
Stąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem d’Alamberta: Jeśli gєC2(R), hєC1(R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem d’Alamberta Zadanie domowe: wymuszone drgania struny Met.Numer. wykład

84 Rezonans struny Met.Numer. wykład

85 Określenie stabilności wg Łapunowa
Rozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci: Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego? Met.Numer. wykład

86 Określenie stabilności wg Łapunowa
Rozważmy: λ – wartości własne macierzy Met.Numer. wykład

87 Określenie stabilności wg Łapunowa
Otrzymujemy: x – jest to punkt asymptotycznie stabilny Met.Numer. wykład

88 Określenie stabilności wg Łapunowa
Jeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że: x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym Met.Numer. wykład

89 Określenie stabilności wg Łapunowa
Punkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3): Met.Numer. wykład

90 Określenie stabilności wg Łapunowa
Sens definicji Łapunowa ilustruje rysunek: Met.Numer. wykład

91 Określenie stabilności wg Łapunowa
Lokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa Met.Numer. wykład

92 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych
Punkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania: Stabilność w sensie Łapunowa – jeśli startując z warunku początkowego x0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu. Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->∞. Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu. Met.Numer. wykład

93 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych
Twierdzenie Hartmana-Grobmana Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x’=f(x) i liniowe x’=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p. Tw. Łapunowa Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi Stabilny punkt równowagi Niestabilny punkt Met.Numer. wykład

94 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład
Rozważmy układ równań: Szukamy punktów równowagi: Met.Numer. wykład

95 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład
Macierz linearyzacji: Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0): Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny. Met.Numer. wykład

96 Metoda różnic skończonych
Metoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (xi,yi) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y: Met.Numer. wykład

97 Metoda różnic skończonych dla równania Poissona
Podstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy: Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład

98 Metoda różnic skończonych dla równania Poissona
Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(xi,yj). Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi. W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie (xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach: Met.Numer. wykład

99 Metoda różnic skończonych przykład
Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m. Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0oC dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0oC do 100oC. Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla. Met.Numer. wykład

100 Metoda różnic skończonych przykład
Met.Numer. wykład

101 Metoda różnic skończonych przykład
Problem ten opisuje równanie Laplace’a Z warunkami brzegowymi: Met.Numer. wykład

102 Metoda różnic skończonych przykład
Postać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury] Met.Numer. wykład

103 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne
Przypomnijmy równanie paraboliczne: Z warunkami brzegowymi i początkowymi: Met.Numer. wykład

104 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne
Dla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (xi,tj): Met.Numer. wykład

105 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne
Otrzymujemy: Po uwzględnieniu warunku brzegowego: Met.Numer. wykład

106 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne
Schemat jawny Warunek zbieżności schematu jawnego Met.Numer. wykład

107 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne
Schemat niejawny: Schemat niejawny jest zawsze zbieżny, niezależnie od wielkości kroku całkowania Met.Numer. wykład