Minimalne drzewa rozpinające

Prezentacja na temat: "Minimalne drzewa rozpinające"— Zapis prezentacji:

1 Minimalne drzewa rozpinające
Podgraf T spójnego grafu G nazywa się jego drzewem rozpinającym, jeśli T jest acykliczny i łączy wszystkie wierzchołki G. Jeśli krawędziom przypisane są wagi, i suma wag krawędzi T jest minimalna, T nazywamy minimalnym drzewem rozpinającym. 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 Przykład minimalnego drzewa rozpinającego

2 Minimalne drzewa rozpinające (algorytm ogólny)
Podczas wykonywania algorytmu jest utrzymywany zbiór A – podzbiór minimalnego drzewa rozpinającego. W każdym kroku algorytmu jest wyznaczana krawędź, którą można dodać do A bez naruszenia tego niezmiennika. Taką krawędź nazywamy krawędzią bezpieczną. Generic-MST A :=  while A nie tworzy drzewa rozpinającego do znajdź krawędź (u, v), która jest bezpieczna dla A A := A  {(u, v)} return A

3 Przekroje Przekrojem (S, V-S) grafu nieskierowanego nazywamy podział V na zbiory S i V-S. Krawędź (u, v)  E krzyżuje się z przekrojem (S, V-S), jeśli jeden z jej końców należy do S, a drugi do V-S. Przekrój uwzględnia zbiór krawędzi A, jeśli żadna z krawędzi A nie krzyżuje się z tym przekrojem. Krawędź krzyżująca się z przekrojem jest krawędzią lekką, jeśli jej waga jest najmniejsza sposród wszystkich wag krawędzi krzyżujących się z tym przekrojem.

4 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 u v x y

5 Twerdzenie o bezpiecznej krawędzi
Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym z funkcją wagową w i o wartościach rzeczywistych określoną na E. Niech A będzie podzbiorem E zawartym w pewnym minimalnym drzewie rozpinającym grafu G, niech (S, V-S) będzie dowolnym przekrojem G uwzględniającym A i niech (u, v) będzie krawędzią lekką krzyżującą się z (S, V-S). Wtedy krawędź (u, v) jest bezpieczna dla A.

6 Algorytm Kruskala MST-Kruskal(G, w) 1 A := 
2 for każdy wierzchołek vV[G] 3 do Make-Set(v) 4 posortuj krawędzie z E niemalejąco względem wag w 5 for każda krawędź (u,v)  E, w kolejności niemalejących wag 6 do if Find-Set(u)  Find-Set(v) 7 then A := A  {(u,v)} 8 Union(u,v) 9 return A

7 Algorytm Kruskala (przykład)
4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 4 8 7 9 10 11 2 6 1 2 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6

8 Algorytm Prima MST-Prim(G, w, r) 1 Q := V[G] 2 for każdy uQ
3 do key[u] :=  4 key[r] := 0 5  [r] := NIL 6 while Q   7 do u := Extract-Min(Q) 8 for każdy v  Adj[u] 9 do if vQ i w(u,v) < key[v] then  [v] := u key[v] := w(u,v)

9 Algorytm Prima (przykład)
8 7 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 4 9 14 10 2 1 11 7 8 6 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 2 1 4 8 7 9 10 11 6 4 8 7 9 14 10 2 1 11 6 8 7 4 9 14 10 11 2 7 8 6 1 2