11. Różniczkowanie funkcji złożonej

Prezentacja na temat: "11. Różniczkowanie funkcji złożonej"— Zapis prezentacji:

1 11. Różniczkowanie funkcji złożonej
Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi niezależnymi, lecz funkcjami innej zmiennej niezależnej (zmiennych niezależnych) Rozpatrzmy najpierw przypadki szczególne: Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t Funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od jednej zmiennej t Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v a potem przypadek ogólny funkcji n zmiennych z=f(x1,..., xn), której wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od m innych zmiennych u1,..., um Ad 1. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t) Niech Pochodna zupełna

2 Ad 2. Funkcja n zmiennych z=f(x1,. , xn), wszystkie zmienne x1,
Ad 2. Funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od jednej zmiennej t czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t) Niech Pochodna zupełna Ad 3. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v Niech Pochodne cząstkowe

3 Przypadek ogólny: funkcja n zmiennych z=f(x1,
Przypadek ogólny: funkcja n zmiennych z=f(x1,..., xn), której wszystkie zmienne x1,..., xn zależą od m innych zmiennych u1,..., um Niech Pochodne cząstkowe

4 12. Różniczkowanie funkcji uwikłanej
Def. 69 (funkcji uwikłanej) Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych F(x, y) określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja y=f(x) taka, że w pewnym zbiorze F[x, f(x)]=0, to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y)=0. Przykład: Funkcja jest funkcją uwikłaną, określoną w przedziale <-1; 1> równaniem, bo dla każdego –1<x<1 spełniony jest warunek Uwaga: nie jest jedyną funkcją uwikłaną, określoną równaniem Funkcji takich jest nieskończenie wiele, np. Może się też zdarzyć, że równanie F(x, y)=0 nie określa żadnej funkcji, np. Inna definicja funkcji uwikłanej: Funkcję y=f(x) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych x i y wyrażona jest równaniem F(x, y)=0. Nie zawsze da się rozwiązać to równanie względem y i wyrazić tę zależność wzorem y=f(x) czyli w postaci jawnej.

5 Tw. 57 – o pochodnej funkcji uwikłanej
Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to istnieje pochodna Można zatem liczyć pochodną funkcji uwikłanej bez konieczności jej rozwikłania!!! Dowód: Tw. 57 można zatem zapisać także jako Ponieważ y=f(x), to licząc pochodną zupełną (jak w dowodzie) otrzymamy: skąd można wyliczyć drugą pochodną y’’ Podobnie liczymy pochodne wyższych rzędów

6 Funkcja uwikłana dwóch zmiennych
Def. 69a (funkcji uwikłanej dwóch zmiennych) Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych F(x, y, z) określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja z=f(x, y) taka, że w pewnym zbiorze F[x, y, f(x, y)]=0, to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y, z)=0. Inna definicja funkcji uwikłanej dwóch zmiennych: Funkcję z=f(x, y) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych z, x i y wyrażona jest równaniem F(x, y, z)=0. Tw. 57a – o pochodnej funkcji uwikłanej dwóch zmiennych Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to pochodne cząstkowe i można obliczyć ze wzorów

7 Układ dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej
Def. 69a (układu dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej) Niech będą dane dwie funkcje trzech zmiennych F1(x, y, z) i F2(x, y, z). Jeżeli istnieją funkcje y=f1(x) i z=f2(x) takie, że F1[x, f1(x), f2(x)]= i F2[x, f1(x), f2(x)]=0 , to nazywamy je funkcjami uwikłanymi określonymi równaniami F1(x, y, z)=0 i F2(x, y, z)=0 . Pochodne y’=dy/dx i z’=dz/dx można obliczyć w sposób analogiczny jak poprzednio z układu Podobnie różniczkując n razy można policzyć pochodne y(n) i z(n)

8 13. Ekstrema warunkowe Gdy zmienne w funkcji wielu zmiennych są zmiennymi niezależnymi, mówimy o ekstremach bezwarunkowych. Jeżeli zmienne te są ze sobą powiązane, mówimy o ekstremach warunkowych. Najprostsza sytuacja: dana funkcja dwóch zmiennych z=f(x, y) powiązanych równaniem g(x, y)=0 zwanym równaniem więzów. Jak znaleźć ekstremum funkcji z=f(x, y) przy warunku g(x, y)=0? Gdyby można było rozwikłać równanie g(x, y)=0 i wyznaczyć z niego y=h(x), to po wstawieniu do z=f(x, y)=f(x, h(x)) otrzymuje się funkcję jednej zmiennej. Ale rozwikłanie równania g(x, y)=0 bywa bardzo trudne, a czasem niemożliwe. Dlatego do znalezienia ekstremum warunkowego stosuje się metodę mnożników nieoznaczonych Lagrange’a i rozpatruje tzw. funkcję Lagrange’a (lagrangian) L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y)

9 Tw. 58 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych
Warunkiem koniecznym na to, by w punkcie (x0, y0) istniało ekstremum funkcji z=f(x, y) przy założeniu, że g(x0, y0)=0 jest, aby istniała taka liczba λ0 ,że punkt (x0, y0, λ0) stanowi rozwiązanie układu równań Jeżeli ponadto wyróżnik jest dodatni, to mamy maksimum, a gdy ujemny – minimum. Uwaga: ponieważ war. konieczny można zapisać jako Przykład: Znaleźć najmniejszą odległość punktu (a, b) na płaszczyźnie od prostej Ax+By+C=0 Kwadrat odległości danego punktu (a, b) od dowolnego punktu (x, y) to d2=(x-a)2+(y-b)2 Najmniejsza odległość to minimum funkcji f(x, y) =(x-a)2+(y-b)2 z dodatkowym warunkiem, że punkt (x, y) leży na danej płaszczyźnie czyli przy warunku g(x, y)= Ax+By+C=0 L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y) =(x-a)2+(y-b)2 + λ(Ax+By+C)

10 Znaleźć ekstrema funkcji n zmiennych z=f(x1,..., xn)
Przypadek ogólny poszukiwanie ekstremów funkcji n zmiennych powiązanych m równaniami więzów Znaleźć ekstrema funkcji n zmiennych z=f(x1,..., xn) powiązanych m równaniami gk(x1,..., xn)=0, k=1, 2, ... , m. Lagrangian L(x1,..., xn, λ1,..., λm )= f(x1,..., xn)+λ1g1 (x1,..., xn)+λ2g2 (x1,..., xn) λmgm (x1,..., xn) Tw. 59 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji n zmiennych Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych lagrangianu Albo inaczej:

11 14. Zastosowania w ekonomii
14.1. Elastyczność cząstkowa dla funkcji dwóch zmiennych Elastyczność cząstkowa względem zmiennej x Elastyczność cząstkowa względem zmiennej y Elastyczność Exf(x0, y0) mówi, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie lub zmaleje wartość funkcji f(x, y), jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% licząc od x0 Przykład: Popyt q na pewne dobro zależy od ceny tego dobra p1 i ceny innego dobra (substytucyjnego) p2 q=f(p1, p2 ) Elastyczność cząstkowa Ep1(q) popytu q względem ceny tego dobra oznacza w przybliżeniu procentowy wzrost (lub spadek) popytu na to dobro, gdy jego cena wzrasta a 1%, a cena p2 pozostaje bez zmiany. Np. niech q=25-2p1 + p2 Np. dla p1=3 i p2 =1 mamy Ep1(q)=-0,3 i Ep2(q)=0,05 czyli gdy cena naszego dobra wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie dobra substytucyjnego, to popyt na nasze dobro maleje o 0,3%, a gdy cena dobra substytucyjnego wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie naszego dobra, to popyt na nasze dobro rośnie o 0,05%

12 14.2. Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych
dla funkcji n zmiennych 14.2. Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych Przypomnienie: Krańcowy wynik zxk procesu gospodarczego z= f(x1,..., xn) (koszt, przychód, zysk itp.) to przybliżony dodatkowy wynik przy zwiększeniu pewnego czynnika xk (produkcja, cena) o jedną jednostkę od ustalonego poziomu. Krańcowy wynik xk-czynnikowy Przykład: firma produkuje cztery towary w ilości x, y, u i v sztuk. Koszt produkcji tych towarów wynosi C(x, y, u, v) koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru pierwszego przy poziomie produkcji x koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru drugiego przy poziomie produkcji y itp. Niech C(x, y, u, v)= 2,5x2+2y2+4u2+3v i niech aktualna produkcja wynosi odpowiednio 100, 50, 75 i 40 sztuk Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji dodatkowej (sto pierwszej) jednostki towaru pierwszego wyniesie 500, dodatkowej (pięćdziesiątej pierwszej) jednostki towaru drugiego – 200, dodatkowej (siedemdziesiątej szóstej) jednostki towaru trzeciego – 600, a dodatkowej (czterdziestej pierwszej) jednostki towaru czwartego – 120.