Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera

Prezentacja na temat: "Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera"— Zapis prezentacji:

1 Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera
Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

2 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Macierze - definicja Definicja: Macierzą nazywamy prostokątną tablice utworzoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) aij (i=1,…,m; j=1,…,n), gdzie aij jest wyrazem (lub elementem) macierzy znajdującym się na skrzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy [aij], [ aij]m×n, Am×n lub A i nazywamy macierzą o wymiarze m×n. Jeżeli w macierzy jest m = n, to macierz tą nazywamy kwadratową stopnia n. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

3 Macierze – podstawowe wiadomości
Definicja (równość macierzy): Macierze A= [aij] i B= [bij] nazywamy macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m×n i jeżeli aij = bij dla i=1,…, m oraz j=1,…, n. Definicja (macierz transponowana): Macierz A’, która uzyskana z macierzy A przez zamianę wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności nazywa się macierzą transponowana (względem A) lub macierzą przestawioną. Zachodzi też zależność: (A’)’ = A Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

4 Macierze – podstawowe wiadomości
Definicja (macierz jednostkowa): Macierzą jednostkową oznaczana przez E lub En, gdzie n jest jej stopniem, nazywamy macierz diagonalną o jedynkach na głównej przekątnej. Definicja (macierz zerowa): Macierzą zerową, oznaczaną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

5 Macierze – podstawowe działania
Definicja (suma macierzy): Sumą macierzy A= [aij] i B= [bij] o tym samym wymiarze m×n nazywamy macierz C= [cij] o tymże wymiarze, której elementy są sumami odpowiednich elementów macierzy A i B, mianowicie: C=A+B= [aij] + [bij]= [aij+bij]= [cij] Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

6 Macierze – podstawowe działania
Definicja (mnożenie macierzy przez liczbę): Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B= αA, której każdy element jest iloczynem odpowiedniego elementu macierzy A przez liczbę α. α[aij] =[α aij] Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

7 Macierze – podstawowe działania
Uwaga: Iloczyn macierzy A i macierzy B jest określony wtedy, gdy „długość” wiersza macierzy A jest równa „wysokości” kolumny macierzy B. Definicja (iloczyn macierzy): Iloczynem AB macierzy Amxn=[aij] i macierzy Bnxr=[bjk] nazywamy taką macierz Cmxr=[cik], której wyrazami są liczby: cik=ai1 b1k +ai2 b2k +…+ain bnk Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

8 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Wyznaczniki Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

9 Wyznacznik - definicja
Definicja: Wyznacznikiem det A macierzy kwadratowej A=[aij] nazywamy liczbę gdzie suma jest rozciągnięta na wszystkie możliwe permutacje drugich wskaźników j1, j2, … , jn liczb 1, 2, …,n, przy czym jest ilością inwersji permutacji j1, j2, … , jn. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

10 Wyznacznik - definicja
Obliczanie wyznacznika macierzy z definicji: Dla n=1: Dla n=2: możliwe permutacje: 1, , 1 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

11 Wyznacznik - definicja
Dla n=3: możliwe permutacje: 1, 2, , 3, , 1, , 2, , 3, , 1, 3 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

12 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Schemat Sarrusa Schemat Sarrusa to prosty algorytm na obliczenie wyznacznika: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

13 Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a
Zdefiniujmy pojęcia minoru i dopełnienia algebraicznego: Definicja: Minorem Mik elementu aik wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1, która powstaje z macierzy A po opuszczeniu i-tego wiersza i k-tej kolumny. Definicja: Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

14 Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a
Twierdzenie (Laplace’a): Wyznacznik macierzy A stopnia n jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

15 Własności wyznacznika
Tw.1. Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej: Tw.2. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. Tw.3. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez c, to: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

16 Własności wyznacznika
Tw.4. Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. Tw.5. Wyznacznik nie ulega zmianie, gdy do elementów jednej kolumny (wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną stałą. Tw.6. Przez zmianę między sobą dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika otrzymujemy wyznacznik, którego wartość różni się znakiem od wartości danego wyznacznika Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

17 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

18 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykłady Przykład: Obliczymy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace’a i podstawowych własności wyznacznika. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

19 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykłady Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

20 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Odwracanie macierzy Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

21 Macierz odwrotna - definicja
Definicja: Macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli: gdzie E jest macierzą jednostkową. Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istniej macierz odwrotna do macierzy A. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

22 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Macierz nieosobliwa Definicja: Macierz kwadratową A, dla której detA ≠ 0, nazywamy macierzą nieosobliwą. Twierdzenie: Macierz odwracalna A jest macierzą nieosobliwą Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

23 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Macierz dołączana Macierzą dołączaną AD macierzy kwadratowej A = [ aik ] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A, tzn. gdzie Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu aik. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

24 Wyznaczanie macierzy odwrotnej
Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi równość: gdzie E jest macierzą jednostkową. Twierdzenie: Jeśli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz jest macierzą odwrotną do macierzy A. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

25 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Przykład 1.: Oblicz macierz odwrotną do macierzy Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

26 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Na podstawie wcześniejszych obliczeń tworzymy macierz dołączoną: Zgodnie ze wzorem na macierz odwrotną otrzymujemy: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

27 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Przykład: Oblicz macierz odwrotną do macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych Rozwiązanie: Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy Dostawiamy do macierzy A macierz jednostkową E: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

28 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Stosując przekształcenia elementarne dążymy po lewej stronie do macierzy jednostkowej: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

29 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

30 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Wzory Cramera Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

31 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Układ Cramera Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera, jeśli Macierz nazywamy macierzą układu, detA – wyznacznikiem układu. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

32 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Twierdzenie Cramera Twierdzenie: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem gdzie Dk jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych układu. Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

33 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Przykład: Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie: Obliczamy wszystkie potrzebne nam wyznaczniki: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

34 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Przykład Na podstawie wzorów Cramera obliczamy wartości niewiadomych: Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

35 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Koniec Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011

36 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011
Bibliografia Prof.. Aleksander Romanowski: Algebra Liniowa, 2003 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011