Streszczenie Założenie o dw ó ch i to r ó wnoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich,

Prezentacja na temat: "Streszczenie Założenie o dw ó ch i to r ó wnoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich,"— Zapis prezentacji:

1 Streszczenie Założenie o dw ó ch i to r ó wnoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich, modelach Isinga lub szkieł spinowych, do opisu szerokiej gamy rzeczywistych system ó w. Jednocześnie w sieciach Boolowskich często używa się dw ó ch wejść do wierzchołka (K=2), co razem daje wyjątkową stabilność nie spotykaną w pozostałych sytuacjach. W tym aspekcie om ó wię podstawowe wyniki szkoły Kauffmana dotyczące rozprzestrzeniania się zaburzenia (damage spreading) w sieciach Boolowskich. Ponadto przedstawię moje argumenty (także symulacyjne) za stosowaniem s>2 i uproszczony algorytm do takich statystycznych badań. Rozważane będą sieci autonomiczne obliczane synchronicznie, r ó żnych typ ó w, w tym także scale-free. Dlaczego 2 równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN gecow@twarda.pan.pl Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007

2 Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN gecow@twarda.pan.pl Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007 Dlaczego dwa równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem

3 Sieć Boolowska = logiczna = Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunkach. c - stan wierzchołka a, b, c = 0 lub 1 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c opisana w JTB w 1969 k zmienne - jako stopień wierzchołka, Kauffman stosuje sieć Random Erdos-Renyi Będziemy rozważać sieć autonomiczną, obliczaną synchronicznie. Dla sieci autonomicznych = K Zakładamy jednakowe prawdopodobieństwo 0 i 1 czyli s=2.

4 Damage w sieci Boolowskiej Mamy 2 identyczne systemy. Jeden z nich zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N d t+1 = 1-((1-d t ) +(1-(1-d t ) )/s) KK quenched model - normalny annealed model - Derrida & Pomeau 1986. Po każdym wyliczeniu nowego stanu pozostawiane są stany ale generowane nowe połączenia i funkcje. S. A. Kauffman, The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Oxford University Press, New York, 1993. s=2

5 Tabela 5.1 state cycle# state cycleHomeostatic Reachability among cycles lengthattractorsstabilityafter perturbation K=N0.5*2 N/2 N/elowhigh K>50.5*2 BN ~Nf(P K )lowhigh K=1(π/2*N) 1/2 expotential in Nlowhigh K=2N 1/2 N 1/2 high low 1-median # of states on state cycle 2-# of state cycle attractors in one net, 3-refers to tendency to return to same state cycle after change of 1 node state. 4-# of other state cycles to which net flows from each state cycle after all possible change of 1 node state. Sieci dla różnych K K=N Dla N=200 atraktor ma 10 stanów...; Każda zniana daje stan losowy. Chaotic behavior in these Boolean networks shows up in 2 major ways: The lengths of state cycles and sensitivity to initial conditions. 30 K>5 P - internal homogenity in Boolean functions = K K=2 Phase transition from chaos to order. Percolation of frozen clusters. 5 do 15% zm.st.1.el. system zmienia atraktor, 70% zamrożone. Dla N=10000 atraktor ma 100 stanów a przestrzeń stanów 10 3000 Tabela 5.2: dla K od 1 do 7 kolejno: 0.5, 0.6875, 0.6367, 0.5982, 0.5699, 0.5497, 0.5352

6 Modyfikacje Sieci Kauffmana Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych. Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunków. a, b, c = 0 lub 1 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c Ja stosuję też: (c,d):=f(a,b) (od 1975r) agregat automatów k = K = 2, 3,... (const.) (c,d):=f(a,b) c ab d Nowość: Iguchi at al. JTB 247, pp 138-151, (2007) użyli zmiennego K dla sieci scale-free => sygnały: a, b, c = 0..(s-1) s=2, 4, 8, 16,... proponuję: Kauffmana ale już nie Boolowska k jako stopień wierzchołka - różne typy sieci, nie tylko Random Erdos-Renyi ale i scale-free, single-scale i inne.

7 współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s wierzchołek jeżeli jeden sygnał wejściowy jest zmieniony przekształca: nowe sygnały wyj. := f(nowe sygnały wej.) zwykle inne niż stare sygnały wyjściowe Tylko dla k=2, s=2 (w=1) zmiana nie rośnie. Dlatego typowe sieci Boolowskie są skrajne i dają inne zjawiska (szczególny porządek) niż zwykle (chaos). s - równoprawdopodobnych wariantów sygnału k - wyjść z wierzchołka Ile średnio jest zmienionych sygnałów wyjściowych?

8 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut. 2 2 2 (s-1) (s+1)s d = w t w = w = 1.5 Damage spreading Dla sieci autonomicznych = K

9 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c dla 600 000 inicjacji d = w t w = w = 1.5 s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci

10 Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1). Taka typowa sieć Boolowska jest skrajna, leży w obszarze przejścia fazowego chaos/porządek, może dawać nadmierną stabilność, dla wszystkich innych k i s oczekujemy chaosu. 1. Do badania obszaru chaotycznego stosuje się K>2 ( lub podwyższone P) ale zawsze tylko s=2. Pokazałem, że K>2 nie może zastąpić s>2 nawet gdy wsp. w jest ten sam, ponieważ daje to inne zachowanie różnych typów sieci: 2. Dlaczego należy badać s>2 dla 600 000 inicjacji k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c s wpływa na dynamikę różnie dla różnych sieci (internal homogenity)

11 Dlaczego powinno być s > 2 ? Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1). Ten przypadek jest wyjątkowy, może dawać porządek zamiast chaosu. 1. K>2 nie może zastąpić s>2 w badaniach zachowania sieci. 2. 3. Teoria informacji Shannona : zip pliku jest zwykle mniejszy. (Komputer jako sieć Boolowska) 4. Dobra alternatywa jest zwykle znacznie mniej prawdopodobna. (w systemach podlegających adaptacji) 3, 4 => Alternatywy zwykle nie są równoprawdopodobne. Ale my lubimy wygodne założenie o równym prawdopodobieństwie wariantów sygnału! => np. dla 1/4 i 3/4 możemy użyć s=4, jeden jest dobry a reszta zła => Bądźcie ostrożni modelując nie fizykę używając s=2 i modeli Isinga lub szkieł spinowych albo sieci Boolowskich...

12 Algorytm Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie. Intuicja: W sieci bez sprzężeń zwrotnych można znaleźć taki stan sieci, że każdy wierzchołek ma stan (wyjście) odpowiadające jego wejściom. Podczas wzrostu sieć utrzymywana jest w zbliżonym stanie. Liczone są jedynie te wierzchołki, które mają zmieniony stan wejść, zakłada się, że brakujące (niezmienione) sygnały wejściowe są takie jak stare. To staranie jest zbędne, wystarczy, że: Wierzchołek do którego dotarła zmiana ma wynik losowy, który z określonym prawdopodobieństwem propaguje się dalej. Powtórne liczenie tych samych wierzchołków musi dać ten sam wynik statystyczny. Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nie liczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

13 k=3 (np.) c:=f(a,b) K=2 (np.) zwykle const. c ab c c współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s Dla K=2: d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana d := dw - d dla agr.aut. 2 2 2 (s-1) (s+1)s d = w t w = w = 1.5 Wygasanie realne i pseudo Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nieliczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tu zakłada się 1 zmieniony sygn.wej. Średnia nie wygasa (wygasanie rzeczywiste)

14 Wygasanie pseudo Różnice: U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nieliczonych, normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie. Tempo wzrostu damage w początkowym odcinku o małej statystyce w środowisku o silnie zróżnicowanym k (i przez to w) jest silnie zróżnicowane.

15 Rozkłady wygasania dla 600 000 inicjacji

16

17 Rozkłady wygasania 67

18 Algorytm i przyczyny różnic w zachowaniu się sieci dla 600 000 inicjacji Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan). d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie.

19