Dynamika bryły sztywnej

Prezentacja na temat: "Dynamika bryły sztywnej"— Zapis prezentacji:

1 Dynamika bryły sztywnej
Materiały uzupełniające

2 Dynamika ciała sztywnego
Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy Przemieszczenie x Prędkość Przyspieszenie Masa M Siła Praca Energia kinetyczna Przemieszczenie kątowe θ Prędkość kątowa Przyspieszenie kątowe Moment bezwładności I Moment siły Praca Energia kinetyczna

3 Dynamika ciała sztywnego c.d.
Ruch obrotowy Ruch prostoliniowy Moc Pęd Moc Moment pędu

4 Wielkości wymienione w poprzedniej tabeli: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, przemieszczenie kątowe, prędkość i przyspieszenie kątowe, moment siły, moment pędu są - wektorami. Masa, moment bezwładności, energia kinetyczna, praca – są skalarami. Dynamika ruchu obrotowego nie wprowadza nowych pojęć, jej parametry θ, ω, α odpowiadają parametrom x, v i a ruchu postępowego.

5 Odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment 𝛕 siły F, działającej na punkt materialny:

6 Odpowiednikiem pędu jest moment L pędu :
r θ

7 Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z F
Dynamika ciała sztywnego zajmuje się ruchem układu punktów materialnych tworzących ciało sztywne, które może się obracać wokół osi pod wpływem przyłożonej siły. Położenie punktu P względem osi obrotu, w którym przyłożona jest siła, definiuje wektor r. Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z F y r P x

8 Moment bezwładności I W dynamice ruchu obrotowego (obrót ciała sztywnego) masę ciała zastępujemy układem elementów masy mi rozłożonych w przestrzeni, odległych o ri od wybranej osi obrotu – zastępujemy sumą iloczynów pomnożonych przez kwadrat odległości. Moment bezwładności definiujemy następująco:

9 Przykład 1 Mierząc energie poziomów rotacyjnych cząsteczki fluorowodoru HF stwierdzono, że jej moment bezwładności I względem środka masy 0 wynosi 1.37•10-47 kg•m2. Określić odległość r między dwoma atomami H i F, jeżeli odpowiednie masy wynoszą: mH = 1.67 • kg mF = 3.17 • kg mF mH rF rH

10 Moment bezwładności Położenie środka masy, korzystne jest umieszczenie w punkcie o współrzędnej równej zero. Odległość atomów H i F

11 Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi
Rozwiązując otrzymujemy:

12 Przykład 2 Obliczyć energię kinetyczną E ruchu obrotowego pokazanego na rysunku łożyska kulkowego, którego wewnętrzny wałek o promieniu r i długości h obraca się z prędkością kątową ω, a n kulek toczy się bez poślizgu. Wszystkie elementy łożyska wykonane są z materiału o gęstości ρ. Promień każdej kulki wynosi a. r a Chwilowa oś obrotu kulki o promieniu a

13 Energia kinetyczna wewnętrznego wałka o momencie bezwładności I0
Prędkość liniowa kulki i walca są równe w punkcie styku. prędkość kątowa kulki Energię kinetyczną kulki liczymy względem chwilowej osi obrotu, promień obrotu r + 2a

14 Moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu Ik i energia Ek

15 Całkowita energia kinetyczna łożyska
Efektywny moment bezwładności łożyska

16 Przykład 3 Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu siły ciężkości wewnątrz walca o promieniu R. znaleźć równanie ruchu walca wychylonego w chwili początkowej z położenia równowagi o kąt φ0. Kiedy to o trzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać? O R O’ a φ

17 Środek małego walca porusza się względem osi obrotu O, po torze będącym wycinkiem kołowym o promieniu R – a z chwilową prędkością kątową ω1 i z prędkością liniową v. Mały walec względem osi O’ porusza się z prędkością kątową ω2 .

18 Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi O i względem osi O’. I – moment bezwładności względem osi O, I0 – względem osi)’

19 Całkowita energia kinetyczna wynosi:
Energia potencjalna:

20 Na tej podstawie można napisać

21 Otrzymujemy równanie ruchu, trudne do rozwiązania
jeżeli Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego