Model Konkurujących Gatunków

Prezentacja na temat: "Model Konkurujących Gatunków"— Zapis prezentacji:

1 Model Konkurujących Gatunków

2 Co to jest konkurencja? Konkurencja to jedna z antagonistycznych interakcji międzypopulacyjnych, w której dwie populacje tego samego lub różnych gatunków, zazwyczaj o podobnych wymaganiach środowiskowych rywalizują o tę samą niszę ekologiczną. Dochodzi do współzawodnictwa o ograniczone zasoby środowiska np. pożywienie.

3 Założenia modelu konkurujących gatunków:
Liczba konkurujących osobników jest proporcjonalna do liczebności każdego z tych gatunków, czyli iloczynu Konkurencja zewnątrzgatunkowa może w różnym stopniu wpływać na osobniki różnych gatunków, w tym celu należy uwzględnić strategię jaką stosują osobniki w spotkaniu ze sobą. Jednorodność każdej populacji, zatem wszystkie osobniki danego gatunku zachowują się jednakowo.

4 Strategie stosowane przez osobniki:
Gołębia Jastrzębia Osobniki stosującego ją gatunku ustępują przy spotkaniu z osobnikami , które zachowują się agresywnie. Atakowanie osobników drugiego gatunku i wykazywanie agresji.

5 Wpływ konkurencji na osobniki:
Jeśli oba gatunki stosują strategię to tracą dużo energii przy spotkaniach na walkę, co przekłada się na duży wpływ tej konkurencji. Dla osobników stosujących strategię wpływ konkurencji jest nieco mniejszy. W przypadku strategii jeden z gatunków straci więcej energii niż drugi.

6 Rozważany model konkurujących gatunków ma postać:
Oznaczenia:

7 Znajdźmy rozwiązania dla omawianego modelu:

8 Ostatecznie :

9 Wyznaczmy nasze izokliny:

10 Uwaga. Portrety fazowe zależą od wzajemnego położenia prostych
Uwaga! Portrety fazowe zależą od wzajemnego położenia prostych .Od tego zależy także liczba rozwiązań stacjonarnych w przestrzeni fazowej

11 Uwaga! Wzajemne położenie izoklin zależy od wielkości współczynników

12 Przypadek 1 Prosta znajduje się powyżej (pierwsza ćwiartka układu współrzędnych). Proste te przecinają się w Istnieją trzy rozwiązania stacjonarne o nieujemnych współrzędnych: A, B, C. Występują zarówno rozwiązania niestabilne ( A i C ) jak i stabilne ( B, które przyciąga inne rozwiązania ).

13 Interpretacja przypadku
Zwróćmy uwagę na fakt, że , zatem konkurencja zewnątrzgatunkowa nie wpływa tak bardzo na gatunek , jak na gatunek Gatunek uznawany jest za słabszy i w wyniku czego jest usuwany ze środowiska, natomiast silniejszy przeżywa i w efekcie jego liczebność stabilizuje się na poziomie pojemności środowiska dla tego gatunku.

14 Portret fazowy Rys 1. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

15 Przypadek 2 Analogiczny do przypadku 1. Za silniejszy gatunek uznajemy , który przeżywa, a jako słabszy , eliminowany ze środowiska . Portret fazowy jest symetryczny z portretem dla przypadku wcześniejszego.

16 Przypadek 3 Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce.
Istnieją rozwiązania stacjonarne, które nie są stabilne ( D ) i stabilne lokalnie ( B i C ). Zachowanie rozwiązań zależy od warunków początkowych. Jeśli liczebność początkowa danego gatunku jest duża w stosunku do gatunku konkurencyjnego, to ten gatunek przeżywa.

17 Interpretacja przypadku
Strategia jastrzębia vs. x3 x1

18 Portret fazowy Rys 2. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

19 Przypadek 4 Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Występuje czwarte rozwiązanie stacjonarne ( D) do którego zbiegają wszystkie rozwiązania.

20 Interpretacja przypadku
Strategia gołębia vs.

21 Portret fazowy Rys 3. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

22 Odmianą modelu jest układ zaproponowany przez V. Volterrę :
Wpływ zużycia zasobów środowiska na gatunek Funkcja zużycia zasobów środowiska Liczebność Współczynnik rozrodczości

23 Własności funkcji F: F jest klasy , czyli jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi. F(0,0)=0; F jest ściśle rosnąca ze względu na zmienne, czyli dla i=1,2. Dla dowolnych ustalonych zachodzi:

24 Zbadajmy własności rozwiązań układu:
Założenia: Układ ma nieujemne rozwiązania dla nieujemnych warunków początkowych , które są określone i ograniczone dla każdego t >0.

25

26 Znajdźmy izokliny:

27 Znajdowanie rozwiązań stacjonarnych.

28 Istnieje także czwarte rozwiązanie, które spełnia warunek :

29 Koniec