04-11-16Reinhard Kulessa1 Wykład 12 4.4.1 Środek masy 4.3.2 Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił

Prezentacja na temat: "04-11-16Reinhard Kulessa1 Wykład 12 4.4.1 Środek masy 4.3.2 Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił"— Zapis prezentacji:

1 04-11-16Reinhard Kulessa1 Wykład 12 4.4.1 Środek masy 4.3.2 Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych 4.3.3 Sprężyste zderzenie centralne poruszających się cząstek

2 04-11-16Reinhard Kulessa2 4.3.2 Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką Przypuśćmy, że mamy cząstkę o pędzie m 1 v 1 zderzającą się z cząstką o masie m 2 w ten sposób, że po zderzeniu ma ona pęd m 1 v 1. Zgodnie z wzorem (4.23) cząstka m 1 musiała przekazać cząstce m 2 pęd:

3 04-11-16Reinhard Kulessa3. Zgodnie z wzorem (4.25) możemy wyliczyć stąd energię i pęd cząstki m 2. Ogólnie sytuacja jest następująca; m1m1 m2m2 v1v1 v 1 v 2 1 2 m1m1 A 1 2 p1p1 p 1 p 2 B

4 04-11-16Reinhard Kulessa4 Dla zderzenia centralnego 1 = 0 o lub 180 o. Rozważmy ten przypadek czyli zderzenie centralne z nieruchomą cząstką. Z równań tych otrzymujemy: Po podzieleniu ostatnich równań stronami, otrzymujemy,..

5 04-11-16Reinhard Kulessa5. Ostatecznie otrzymujemy: W zależności od stosunku mas zderzających się cząstek, mamy następujące przypadki: 1.m 1 = m 2 v 1 = 0, v 2 = v 1, 2.m 1 << m 2 v 1 -v 1, v 2 0, 3.m 2 << m 1 v 1 v 1, v 2 2 v 1.

6 04-11-16Reinhard Kulessa6 Powróćmy do rysunku B na str. 15 z poprzedniego wykładu i policzmy maksymalną energię przekazaną masie m 2 w zderzeniu elastycznym dla przypadku m 2 >> m 1. Z zasady zachowania energii (wzór (4.25) ) dla Q = 0 mamy;. Dla m 2 >> m 1, m 1 /m 2 << 1, p 1 p 1. Trzy wektory z poprzedniego równania tworzą trójkąt równoramienny. 4.3.2 Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką c.d. 1 2 p1p1 p 1 p 2 B

7 04-11-16Reinhard Kulessa7 p1p1 p 1 Otrzymujemy więc:. Możemy więc policzyć energię przekazana ciału o masie m 2 ;, gdzie oznacza energię kinetyczną nadlatującej cząstki o masie m 1 przed zderzeniem. Maksymalna energia zostaje przekazana dla zderzenia centralnego z = 180 o.

8 04-11-16Reinhard Kulessa8. 4.3.3 Sprężyste zderzenie centralne cząstek poruszających się Sytuacja tego zderzenia wygląda następująco: m1m1 m2m2 m 2 v1v1 v 2 przed zderzeniem po zderzeniu v2v2 m1m1 v 1

9 04-11-16Reinhard Kulessa9 Zasada zachowania pędu dana jest zgodnie z równaniem (4.23). (4.23b) Zasada \zachowania energii dana jest wzorem: Równanie (4.23b) możemy przekształcić do postaci: (4.23c) Korzystając z r. (4.23a) zapisanego w jednym wymiarze i r. (4.23c) otrzymujemy; (4.23d).. (4.23a)

10 04-11-16Reinhard Kulessa10 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych Rozważmy N ciał, na które poza siłami wewnętrznymi działają również siły z zewnątrz. Masy tych ciał są odpowiednio m 1.........m N. Z punktu widzenia ciała 2 ciało 1 oddala się po zderzeniu z taką prędkością, z jaką zbliżało się przed zderzeniem do ciała 2. Podstawiając równanie (4.23d) do równania (4.23a) otrzymujemy:.(4.23e)

11 04-11-16Reinhard Kulessa11 Siłę wewnętrzną działającą na i-te ciało a pochodzącą od k- tego ciała oznaczmy przez F ik. Na i-te ciało działa więc siła wewnętrzna,.(4.27) Oznaczmy przez F i z siłę zewnętrzną działającą na i-te ciało. Równania ruchu dla N ciał mają następującą postać;. (4.28)

12 04-11-16Reinhard Kulessa12 Po dodaniu tych równań otrzymujemy;. Z zasady akcji i reakcji mamy;, czyli. (4.29) Zmiana pędu układu na który działają siły zewnętrzne w czasie, jest równa sumie działających sił zewnętrznych.

13 04-11-16Reinhard Kulessa13 4.4.1 Środek masy Równanie (4.29) możemy zinterpretować bardziej poglądowo, jeśli wprowadzimy pojęcie środka masy. Jeśli mamy układ N ciał z których każde jest rozmieszczone w miejscu r i, to możemy określić położenie środka masy jako:. (4.30) Jeśli mamy układ dwóch ciał, to zgodnie z powyższym wzorem mamy;, lub.

14 04-11-16Reinhard Kulessa14 Ostatnie równanie możemy napisać następująco:. m1m1 m2m2 x y z r 2S rSrS r2r2 r1r1 S r 1S Wynika stąd, że:, Czyli środek ciężkości leży na linii łączącej dwie masy. Środek ciężkości dzieli linię łączącą dwie masy w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas.

15 04-11-16Reinhard Kulessa15 Jeśli mamy pewien rozkład masy, to musimy w celu określenia środka masy tego rozkładu wykonać następującą operację całkowania;, (4.30a) gdzie określa gęstość i. Ruch środka masy dowolnego układu cząstek możemy opisać bardzo prostymi równaniami. W oparciu o równanie (4.30) mamy:.(4.31)

16 04-11-16Reinhard Kulessa16 M S jest sumaryczną masą układu cząstek skupioną w środku masy,. W wyniku powtórnego różniczkowania równania (4.31) z uwzględnieniem r. (4.29) otrzymujemy.. Układ ciał porusza się tak jak jego środek masy, przy czym wszystkie siły zewnętrzne są przyłączone do środka masy. Jeśli suma sił zewnętrznych jest równa zero, środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub spoczywa. Rozważmy nowy układ współrzędnych z początkiem w środku masy. (4.32)

17 04-11-16Reinhard Kulessa17 Układ środka masy możemy przedstawić następująco: Zgodnie z r. (4.30) mamy,(4.33). Jeśli założymy, że nie działają siły zewnętrzne, to. m1m1 m2m2 r 2S rSrS r2r2 r1r1 r 1S L S

18 04-11-16Reinhard Kulessa18 W nowym układzie prędkość środka masy znika.. W układzie środka masy całkowity pęd układu przed i po zderzeniu będzie równy zeru. Dwie zderzające się masy m 1 i m 2, będą w układzie środka masy miały pędy odpowiednio p 1S i p 2S. Dla pędów tych będzie przed zderzeniem zachodziła relacja;. W czasie zderzenia obydwie cząsteczki mogą zmienić prędkości, a tym samym pędu, zachowana jednak zostanie relacja;.

19 04-11-16Reinhard Kulessa19 Sytuację tą możemy przedstawić na diagramie pędowym. p 1Si p 2Sf p 2Si p 1Sf

20 04-11-16Reinhard Kulessa20 Równania będą miały postać;. Odejmując te równania stronami po podzieleniu przez masy, otrzymujemy;. Oznaczmy (4.34), gdzie nazywamy masą zredukowaną, wtedy.

21 04-11-16Reinhard Kulessa21 Równanie to opisuje nam ruch względny dwóch mas pod wpływem oddziaływania wewnętrznego. Skorzystaliśmy tu z zależności:.(4.36) W oparciu o równanie (4.33) i (4.36) znajdujemy: (4.37). Wiedząc, że w układzie laboratoryjnym (patrz rysunek) otrzymujemy (korzystając z r.(4.30) ),

22 04-11-16Reinhard Kulessa22. Z tych równań, jak również wprost z równania (4.37) otrzymujemy:. (4.38) Dla pędu ruchu względnego otrzymujemy:

23 04-11-16Reinhard Kulessa23 (4.39). Analogicznie na energię kinetyczną otrzymamy;. (4.40)