Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa

Prezentacja na temat: "Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa
Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Dynamika cieczy Równanie ciągłości Prawo Bernoulie’ego Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego Reinhard Kulessa

2 Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa
Ciecze są substancjami, które nie podlegają odkształceniu postaci. Jeśli chcemy ciecz odkształcić, to warstwy cieczy ślizgają się jedna po drugiej. Ta właściwość pozwala cieczy płynąc i zmieniać kształt. Mechanika cieczy zajmuje się właściwościami cieczy na poziomie makroskopowym. Wielkościami mierzonymi są ciśnienie,temperatura i objętość. Element objętości cieczy jest wielkością makroskopową i nie ma nic wspólnego z pojedyncza cząsteczką. Statyka cieczy zajmuje się przypadkami, kiedy środek masy każdego elementu objętości cieczy posiada zerową prędkość i przyśpieszenie. Taka ciecz znajduje się w spoczynku lub inaczej mówiąc w równowadze hydrostatycznej. Reinhard Kulessa

3 Jedną z najważniejszych właściwości cieczy znajdujących się w równowadze hydrostatycznej formułuje Prawo Archimedesa. Ciało zanurzone w cieczy doznaje wyporu, który jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało. C – gęstość cieczy - gęstość ciała V – objętość ciała FC = Vg FW= CVS g W związku z istnieniem prawa Archimedesa możliwe jest pływanie ciał. Dla równowagi mamy; W=CVSg mg = Vg } { V VS , czyli CVSg= Vg .

4 9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością
Na każdy metr kwadratowy powierzchni Ziemi działa siła 105 N (11 ton). Jest to ciężar powietrza nad Ziemią. Ciężar powietrza dzielony przez powierzchnię na którą powietrze działa nazywamy ciśnieniem atmosferycznym. Również zanurzając się w cieczy doznaje się coraz większego ciśnienia. S dz pS (p+dp)S dFC z dz Reinhard Kulessa

5 Dla równowagi hydrostatycznej;
Z drugiej strony . Dla równowagi hydrostatycznej; Otrzymujemy więc, . . (9.1) Z równania tego możemy odczytać, że jeśli zmieni się ciśnienie na powierzchni cieczy, to zmieni się ono o tyle samo na każdej głębokości. Reinhard Kulessa

6 Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego
9.3 Dynamika cieczy Aby omówić dynamikę cieczy możemy oprzeć się na tym co powiedzieliśmy o ruchu środka masy. Każdy makroskopowy element objętości cieczy możemy traktować jako cząstkę o danym środku ciężkości. Prędkość u tej cieczy jest opisany przez prędkość środka masy „cząstek” cieczy. Prędkość cieczy może zmieniać się zarówno ze zmianą położenia, jak i z upływem czasu, co w ogólności możemy napisać jako; Musimy również zaznaczyć, że siły wewnętrzne na wskutek III zasady dynamiki Newtona znoszą się. Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego przypadku tzw. cieczy bezwirowych Reinhard Kulessa

7 Ograniczymy się również do cieczy nielepkich.
Są to ciecze, które zachowują się tak jak ciecz w lewej części rysunku. Brak rotacji przepływ rotacja Ograniczymy się również do cieczy nielepkich. Rozróżnimy gazy i ciecze pod względem zdolności do ich kompresji. Ograniczymy się do cieczy nieściśliwych. Reinhard Kulessa

8 Następnym warunkiem, który rozważana ciecz musi spełniać
będzie jej laminarny przepływ. Oznacza to, że pojedyncze warstwy cieczy przesuwają się po sobie nie mieszając się. Definiujemy sobie również linie prądu , które w każdym miejscu są równoległe do prędkości cieczy. A B C D vA vB vC Prędkość będziemy ogólnie zapisywać tak jak zrobiliśmy to na stronie 6. Reinhard Kulessa

9 Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla
Linie prądu nigdy się nie przecinają, gdyż w przeciwnym przypadku prędkości z nimi związane miałyby w punkcie przecięcia różne kierunki. Oznaczałoby to, że prędkość w jednym punkcie ma dwie różne wartości. v1 v2 Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla której rot v = 0. Reinhard Kulessa

10 Rozważmy następującą sytuację.
Równanie ciągłości Rozważmy następującą sytuację. S1 S2 v1t v2t v1 v2 W czasie t przez przekroje S1 i S2 przepływają przepływają odpowiednio masy; . Reinhard Kulessa

11 Ze względu na to, że w zamkniętej przekrojami S1 i S2 objętości masa musi być dla nieściśliwej cieczy stała. Tyle samo samo masy musi wpływać co wypływać przez każdy z przekrojów, czyli m1 = m2 . Wynika stąd, że (9.2) . Możemy również podejść równania ciągłości rozważając procesy transportu, w naszym przypadku masy. Wprowadźmy pojęcie strumienia gęstości masy j jako stosunek ilości masy przepływającej na jednostkę czasu przez powierzchnię S; . (9.3) W przypadku przez nas omawianym istnieje potencjał prędkości . Prędkość cieczy definiujemy jako; Reinhard Kulessa

12 . (9.4) 2 1 > 2 1 masa m v grad  Równanie ciągłości możemy podać rozważając strumień gęstości masy przepływający przez zamkniętą powierzchnię. , Gdzie dS jest wektorem reprezentującym element powierzchni prostopadłym do tej powierzchni. Jeżeli wewnątrz powierzchni nie mamy dodatkowego źródła masy, Reinhard Kulessa

13 W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać,
wtedy dm/dt =0. W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać, , gdzie dV jest elementem objętości. Otrzymujemy więc bezpośrednio, ze względu na to że =const, . (9.5) Reinhard Kulessa

14 Rozważmy sytuację na rysunku.
Prawo Bernoulie’ego Z równania ciągłości wynika, że każdy element objętości przesuwając się z lewa na prawo doznaje pewnego przyśpieszenia. Zgodnie z II prawem Newtona źródłem tego przyśpieszenia musi być pewna siła. Co to jest za siła? Rozważmy sytuację na rysunku. x x+dx p(x) p(x+dx) dV F(x)=p(x)·S F(x+dx)=p(x+dx)·S S p(x) oznacza ciśnienie hydrostatyczne. Wypadkowa siła w kierunku x (w prawo) wynosi; Reinhard Kulessa

15 Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą.
Znak minus oznacza, że siła jest skierowana w stronę malejącego ciśnienia. Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą. Siłę uzyskaliśmy więc przez zróżniczkowanie ciśnienia, analogicznie jak wyliczyliśmy ją poprzednio z energii potencjalnej. Ciśnienie ma wymiar energii na jednostkę objętości. Możemy dla elementu masy m napisać równanie ruchu Newtona; . Reinhard Kulessa

16 Poprzednie równanie możemy zapisać jako;
(9.6) . Równanie (9.6) przedstawia Prawo Pascala. W\czasie przesuwania się elementu masy dm = dV z odległości x1 do x2 siła Fx wykonuje na tym elemencie prace . Zgodnie z zasadą zachowania energii praca ta zwiększa energię kinetyczną z wartości do wartości , czyli . Reinhard Kulessa

17 W oparciu o równanie (9.1) możemy napisać;
Oznacza to, że; . (9.7) Równanie (9.7) określa prawo Bernoulie’ego. 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawa Bernoulie’ego A). Przykładem może być działanie skrzydła samolotu. p1,v1 p2,v2 Reinhard Kulessa

18 Ze względu na różnicę ciśnień pomiędzy górną a dolną powierzchnią skrzydła powstaje siła nośna skierowana ku górze. . Średnią wartość prędkości nad skrzydłem i pod skrzydłem możemy przyjąć jako prędkość samolotu v. Wtedy siła F jest dana prawem Kutta-Joukowskiego: . Reinhard Kulessa

19 B).Rurka Pitot’a – pomiar prędkości dynamicznej
patm+ pdyn Rurka pitot’a mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem całkowitym a statycznym. C). Rurka Prandtla – pomiar prędkości dynamicznej pdyn Reinhard Kulessa

20 D). Działanie spryskiwacza
pow. E).Efekt Magnusa F v  Poprzednio badaliśmy również opór stawiany przez ciecz formułując Prawo Stokesa. Pamiętamy również definicję liczby Reynoldsa. Wielkość siły F na jednostkę długości cylindra o promieniu R jest równa . Reinhard Kulessa