Wykład Równanie ciągłości Prawo Bernoulie’ego

Prezentacja na temat: "Wykład Równanie ciągłości Prawo Bernoulie’ego"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 21 9.3.1 Równanie ciągłości 9.3.2 Prawo Bernoulie’ego
Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego Reinhard Kulessa

2 Rozważmy następującą sytuację.
Równanie ciągłości Rozważmy następującą sytuację. S1 S2 v1t v2t v1 v2 W czasie t przez przekroje S1 i S2 przepływają przepływają odpowiednio masy; . Reinhard Kulessa

3 Ze względu na to, że w zamkniętej przekrojami S1 i S2 objętości, masa musi być dla nieściśliwej cieczy stała, tyle samo masy musi wpływać co wypływać przez każdy z przekrojów, czyli m1 = m2 . Wynika stąd, że (9.2) . Możemy również podejść do równania ciągłości rozważając procesy transportu, w naszym przypadku masy. Wprowadźmy pojęcie strumienia gęstości masy j jako stosunek ilości masy przepływającej na jednostkę czasu przez powierzchnię S; . (9.3) W przypadku przez nas omawianym istnieje potencjał prędkości . Prędkość cieczy definiujemy jako; Reinhard Kulessa

4 . (9.4) 2 1 > 2 1 masa m v grad  Równanie ciągłości możemy podać rozważając strumień gęstości masy przepływający przez zamkniętą powierzchnię. , Gdzie dS jest wektorem reprezentującym element powierzchni prostopadłym do tej powierzchni. Jeżeli wewnątrz powierzchni nie mamy dodatkowego źródła masy, Reinhard Kulessa

5 W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać,
wtedy dm/dt =0. W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać, , gdzie dV jest elementem objętości. Otrzymujemy więc bezpośrednio, ze względu na to że =const, . (9.5) Jest to inna postać równania ciągłości. Reinhard Kulessa

6 Rozważmy sytuację na rysunku.
Prawo Bernoulie’ego Z równania ciągłości wynika, że każdy element objętości przesuwając się z lewa na prawo doznaje pewnego przyśpieszenia. Zgodnie z II prawem Newtona źródłem tego przyśpieszenia musi być pewna siła. Co to jest za siła? Rozważmy sytuację na rysunku. x x+dx p(x) p(x+dx) dV F(x)=p(x)·S F(x+dx)=p(x+dx)·S S p(x) oznacza ciśnienie hydrostatyczne. Wypadkowa siła w kierunku x (w prawo) wynosi; Reinhard Kulessa

7 Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą.
Znak minus oznacza, że siła jest skierowana w stronę malejącego ciśnienia. Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą. Siłę uzyskaliśmy więc przez zróżniczkowanie ciśnienia, analogicznie jak wyliczyliśmy ją poprzednio z energii potencjalnej. Ciśnienie ma wymiar energii na jednostkę objętości. Możemy dla elementu masy m napisać równanie ruchu Newtona; . Reinhard Kulessa

8 Poprzednie równanie możemy zapisać jako;
(9.6) . Równanie (9.6) przedstawia Prawo Pascala. W czasie przesuwania się elementu masy dm = dV z odległości x1 do x2 siła Fx wykonuje na tym elemencie prace . Zgodnie z zasadą zachowania energii praca ta zwiększa energię kinetyczną z wartości do wartości , czyli . Reinhard Kulessa

9 W oparciu o równanie (9.1) możemy napisać;
Oznacza to, że; . (9.7) Równanie (9.7) określa prawo Bernoulie’ego. 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawa Bernoulie’ego A). Przykładem może być działanie skrzydła samolotu. p1,v1 p2,v2 Reinhard Kulessa

10 Ze względu na różnicę ciśnień pomiędzy górną a dolną powierzchnią skrzydła powstaje siła nośna skierowana ku górze. . Średnią wartość prędkości nad skrzydłem i pod skrzydłem możemy przyjąć jako prędkość samolotu v. Wtedy siła F jest dana prawem Kutta-Joukowskiego: . Reinhard Kulessa

11 B).Rurka Pitot’a – pomiar prędkości dynamicznej
patm+ pdyn Rurka pitot’a mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem całkowitym a statycznym. C). Rurka Prandtla – pomiar prędkości dynamicznej pdyn Reinhard Kulessa

12 D). Działanie spryskiwacza
pow. E).Efekt Magnusa F v  Poprzednio badaliśmy również opór stawiany przez ciecz formułując Prawo Stokesa. Pamiętamy również definicję liczby Reynoldsa. Wielkość siły F na jednostkę długości cylindra o promieniu R jest równa . Reinhard Kulessa