Wykład Drgania wymuszone oscylatora Przypadek rezonansu

Prezentacja na temat: "Wykład Drgania wymuszone oscylatora Przypadek rezonansu"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 23 10.4 Drgania wymuszone oscylatora 10.4.1 Przypadek rezonansu
Przesunięcie fazowe Średnia moc absorbowana przez oscylator Składanie ruchów harmonicznych Ruchy wzdłuż jednej prostej Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych Oscylatory sprzężone Reinhard Kulessa

2 10.4 Drgania wymuszone oscylatora
Oscylator wykonuje drgania wymuszone, jeżeli istnieje zewnętrzna siła F(t) przyłożona do niego. (10.9) . Załóżmy, że siła wymuszająca jest siłą periodyczną taką, że . Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 2

3 Będziemy szukali rozwiązania w postaci ;
W stanie równowagi drgania oscylatora harmonicznego następują z częstością wymuszającą, a nie z częstością własną 0 . Będziemy szukali rozwiązania w postaci ; . (10.10) W ostatnim równaniu  jest fazą pomiędzy przemieszczeniem a siłą wymuszającą drgania.  informuje nas o kącie, z jakim przemieszczenie wyprzedza maksimum siły. F(t) x(t) t Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 3

4 Równanie (10.9) przyjmuje wtedy postać
Stosując tożsamości trygonometryczne na sinus i cosinus sumy kątów, oraz przegrupowując otrzymane równanie, otrzymamy, . Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 4

5 Ażeby to równanie było spełnione muszą być spełnione dwa warunki.
1. Otrzymujemy stąd: . (10.11) Otrzymujemy również wyrażenia; . Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 5

6 Z wyrażenia tego uzyskujemy wyrażenie na amplitudę x0.
2. . (10.12) Z wyrażenia tego uzyskujemy wyrażenie na amplitudę x0. . (10.13) Możemy więc podać już ogólne rozwiązanie dla drgań wymuszonych oscylatora harmonicznego: . (10.14) Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 6

7 Dla częstości  = 0 amplituda jest maksymalna.
Zjawisko rezonansu Równanie (10.13) pokazuje nam, że amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości siły wymuszającej. Zależność tą pokazuje poniższy rysunek. 0/02  0 x0() xmax0/0 0>>1 Dla częstości  = 0 amplituda jest maksymalna. Reinhard Kulessa

8 Zobaczmy w jaki sposób zmienia się krzywa rezonansowa dla różnych parametrów tłumienia
0  x0() r 1 2 3 1< 2 < 3 Reinhard Kulessa

9 jest niezależne od częstości wymuszającej.
Dla bardzo małych częstości wymuszających  << 0 wychylenie oscylatora jest niezależne od częstości wymuszającej. . Równanie to przedstawia znane nam już Prawo Hooke’a. Dla  >> 0 amplituda drgań spada do zera. Dla wzrastającej częstości amplituda rośnie wraz z częstością (patrz wzór (10.13)) i osiąga maksimum dla częstości rezonansowej r . Przy czym . Reinhard Kulessa

10 Przesunięcie fazowe Rozważmy w oparciu o równanie (10.12) jak zmienia się z częstością drgań oscylatora kąt fazowy . -900 -1800   0 0 = 100 0 = 1 Kąt ten jest zawsze ujemny, co oznacza, że wychylenie jest zawsze opóźnione w stosunku do siły wymuszającej. Dla częstości równej 0 przesunięcie to wynosi 900. Dla dużych częstości wychylenie może być przeciwne do siły wymuszającej, czyli 1800. Reinhard Kulessa

11 10.4.3 Średnia moc absorbowana przez oscylator
Średnią absorbowaną moc możemy policzyć, jeśli znamy pracę wykonaną w jednostce czasu. Korzystając z relacji trygonometrycznych możemy poprzednie równanie doprowadzić do postaci: . Możemy więc wyliczyć moc wyśredniowaną po czasie jako; . Reinhard Kulessa

12 W oparciu o wzory (10.11) i (10.12) otrzymujemy,
Pierwsze dwie składowe funkcji podcałkowej zawierają odpowiednio funkcje sin(2t) i cos(2t) dadzą średnią wartość równą zero. Po wycałkowaniu pozostaje więc tylko; . W oparciu o wzory (10.11) i (10.12) otrzymujemy, . (10.15) Widzimy więc, że absorbowana przez oscylator moc ma również maksimum dla swojej częstości rezonansowej. Reinhard Kulessa

13 linii rezonansowej decyduje o ostrości tej linii.
 0 P() 2=1/ Lmaks=1/2m02 Lmaks/2 Krzywa rezonansowa średniej absorbowanej mocy spada do zera po obu stronach częstości rezonansowej. Szerokość linii rezonansowej decyduje o ostrości tej linii. Półszerokość krzywej rezonansowej jest równa odwrotności czasu relaksacji. Zachodzi również; . Reinhard Kulessa

14 Reinhard Kulessa

15 Reinhard Kulessa

16 10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej
Najprostszym przykładem dodawania ruchów harmonicznych jest dodawanie ruchów odbywających się wzdłuż jednej prostej. Możemy wtedy zastosować zasadę superpozycji. Otóż jeżeli x1(t) opisuje ruch ciała pod działaniem siły F1(t), a x2(t) opisuje ruch pod wpływem siły F2(t), wtedy x1(t) + x2(t) opisuje ruch pod wpływem sumy sił F1(t) + F2(t). . Reinhard Kulessa

17 Możliwości składania ruchów jest wiele.
Dodajmy dwa ruchy harmoniczne wzdłuż jednej prostej różniące się częstością, tak, że 2 > 1. . Otrzymamy wtedy; . (10.16) Widzimy, że amplituda drgań (nawias kwadratowy) zależy od różnicy częstości. Dla częstości różniących się nieznacznie będziemy mieli do czynienia z dudnieniem. Reinhard Kulessa

18 Górna część rysunku przedstawia dudnienia przy nakładaniu się dwóch drgań o częstościach 1/2 = 9/8, a dolna dla stosunku 1/2 = 9/3 . DUDN Reinhard Kulessa

19 Superpozycja dwóch drgań harmonicznych nie jest drganiem harmonicznym.
x(t) x(t)=x1(t)+x2(t) x1(t) x2(t) Reinhard Kulessa

20 10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych
Rozważmy dwa drgania prostopadłe o jednakowych częstościach. . Drugie równanie możemy przekształcić do postaci; . Z pierwszego równania znajdujemy, że; Możemy więc równanie na y(t) napisać w postaci; Reinhard Kulessa

21 Położenie osi elipsy pozwala wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego  .
Podnosząc ostatnie równanie do kwadratu otrzymujemy ogólne równanie elipsy. (10.17) . y x y(0) Położenie osi elipsy pozwala wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego  . . Reinhard Kulessa

22 1.  = 00 , linia prosta o dodatnim nachyleniu,
Dla różnic faz  = 00 ,  = 900 i  = 1800, występują szczególne przypadki. 1.  = 00 , linia prosta o dodatnim nachyleniu, . 2.  = 900 , elipsa o osi głównej równoległej do osi y, a w przypadku gdy x0 = y0 otrzymujemy okrąg ze środkiem w początku układu. 3.  = 1800 , prosta o ujemnym nachyleniu, . Reinhard Kulessa

23 otrzymujemy figury Lissajous .
Dla stosunku częstości dodawanych drgań, które w ogólnym przypadku może być równe; , otrzymujemy figury Lissajous . Reinhard Kulessa

24 Reinhard Kulessa

25 Wprowadźmy oznaczenia: Co odpowiada odpowiednio:
Oscylatory sprzężone Równanie ruchu możemy napisać następująco: x y Wprowadźmy oznaczenia: Co odpowiada odpowiednio: APLET Reinhard Kulessa

26 Dodajmy i odejmijmy równania stronami
i skorzystajmy z wprowadzonych oznaczeń: Dostajemy dwa równania opisujące drgania normalne Reinhard Kulessa

27 Przedyskutujmy otrzymane dwa rozwiązania na częstość;
oraz . 1. Rozwiązanie  = 0 Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy, że x0 = y0 . Obydwa oscylatory drgają więc w tej samej fazie . Sprzęgająca je sprężyna nie jest napięta. 2. Rozwiązanie 2 = 02 + C/m Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy x0 = -y0 . Oscylatory drgają w przeciwfazie. Sprzęgająca je sprężyna jest maksymalnie obciążona. Powoduje to wzrost częstości  względem 0. Sprzężone oscylatory mogą więc drgać w fazie i przeciwfazie. Innych możliwości nie ma. Obydwa rodzaje drgań mogą jednak wystąpić równocześnie. Reinhard Kulessa