Wykład Transformacja Lorentza

Prezentacja na temat: "Wykład Transformacja Lorentza"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 18 7.3 Transformacja Lorentza
Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a Transformacja Lorentza Względność równoczesności Transformacja Lorentza Dodawanie prędkości Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda Dylatacja czasu Reinhard Kulessa

2 7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a
W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się światła zakładały istnienie tzw. eteru - czyli ośrodka mającego bardzo szczególne właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość i przenikliwość, przenikającego wszystko i będącego również w próżni. Przy pomiarach prędkości światła trzeba by więc uwzględnić fakt, że Ziemia porusza się względem eteru. Ta prędkość względna powinna mieć wpływ na pomiary prędkości światła, o ile słuszna jest transformacja Galileusza. Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie poruszającym się z prędkością v względem eteru, to dla dwóch różnych kierunków tej prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty na prędkość światła v + c, i -v+c. Reinhard Kulessa

3 Z różnicy tych dwóch wartości możemy wyznaczyć prędkość v.
Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało jako wynik wartość v = 0. Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r. sformułował swoje postulaty dotyczące tzw. szczególnej teorii względności. Prawa natury mają tą sama postać we wszystkich układach inercjalnych, Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch Ziemi względem eteru przy pomocy doświadczenia, które tu przedyskutujemy. Użył on do tego bardzo czułego instrumentu optycznego – interferometru. Reinhard Kulessa

4 l0 S S P O Q Światło ze źródła Q zostaje po soczewce posłane równoległą wiązką na półprzezroczystą płytkę P. Na płytce tej dzieli się i biegnie do luster S i S. Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do lunetki F. Tam obserwuje się obraz interferencyjny w postaci równoległych prążków. Reinhard Kulessa

5 Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy
Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym od różnicy t czasu przelotu obydwu promieni cząstkowych na drodze PSP i PSP. Przy czym PS = PS = l0 . Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy prędkość światła jest wszędzie równa c i t = 0. Jeżeli interferometr porusza się z prędkością v np. w kierunku PS, wtedy powinna wystąpić różnica czasu t . Można to zaobserwować w następujący sposób; Rozważmy układ U, w którym spoczywa eter i układ U’ poruszający się względem eteru w którym spoczywa interferometr. l0 S S P O Q v U W układzie U prędkość światła jest c, a w układzie U’ c-v () i c+v () zgodnie z transformacją Galileusza. W układzie U’ na czas przelotu odcinka PSP otrzymujemy wartość; Reinhard Kulessa

6 . Wyznaczenie prędkości po drodze PSP jest trochę trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w układzie U, w którym jak pamiętamy prędkość światła jest c. l0 S P vt v Widzimy, że; , lub Reinhard Kulessa

7 Całkowita różnica czasu jest równa;
. Całkowita różnica czasu jest równa; Wiadomo, że v<<c, możemy więc obydwa składniki ostatniego równania rozwinąć w szereg. Skorzystamy z szeregów: . Reinhard Kulessa

8 Zaniedbując człony począwszy od kwadratowego, otrzymujemy;
. Wniosek jest taki, że światło biegnące po drodze PSP potrzebuje czas dłuższy o t, niż światło biegnące po drodze PSP. Jeżeli obrócimy interferometr o 900, obydwa lustra S i S  zamienią się rolami, i jeśli tak jak założyliśmy ramiona z lustrami miały jednakową długość, różnica czasów powinna wynosić -t. Reinhard Kulessa

9 Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu
Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych dla dwóch położeń ramion powinna wynosić; . Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu dookoła Słońca i założymy średnią wartość tej prędkości jako 30 km/s, to możemy znaleźć wartość (t); . Reinhard Kulessa

10 Tak małą różnicę czasów przelotu można zmierzyć przy pomocy interferometru. Dla porównania okres drgań fali świetlnej wynosi; . Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują jeszcze mierzalne przesunięcie prążków interferencyjnych. Linia przerywana przedstawia przewidywaną zmianę położenia, a czerwona otrzymaną w doświadczeniu. Różnice były 40 razy mniejsze niż przewidywane. Wniosek jest taki, że nie ma względnego Ruchu Ziemi względem eteru. Czyli, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych. x N S O W N S Reinhard Kulessa

11 Michelson-Morley Data
Over a period of about 50 years, the Michelson-Morley experiment was repeated with growing levels of sophistication. The overall result is a high level of confidence that the wavelength shift is consistent with zero. Shankland, et al., Rev. Mod. Phys. 27, 167 (1955) L (cm) Calcul. Observ. Ratio Michelson, 1881 120 .04 .02 2 Michelson & M. 1887 1100 .40 .01 40 Morley &Miller, 3220 1.13 .015 80 Illingworth, 1927 200 .07 .0004 175 Joos,1930 2100 .75 .002 375 Reinhard Kulessa

12 7.3 Transformacja Lorentza
Względność równoczesności Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina Prawa natury mają ta sama postać we wszystkich układach inercjalnych, Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych, jest zgodna z drugim postulatem Einsteina. Rozważmy następujące doświadczenie; W chwili t = 0 dwa układy U i U’ pokrywają się swoimi początkami O = O’ zachodzi błysk światła. Reinhard Kulessa

13 Układy te poruszają się z pewną prędkością w kierunku x
. O O’ z’z x’x y’y v W obydwu układach prędkość światła wynosi c. Światło rozchodzi się kuliście, tak , że po czasie t pokonuje drogę ct. Mamy więc w układzie U; . (7.1) Równocześnie w układzie U’ mamy; (7.2) . Reinhard Kulessa

14 dla chwili t=t’ czoło fali
x’ y v x y’ z’ P(x,y,z) P(x’,y’,z’) Wynika więc z tego, że dla chwili t=t’ czoło fali promienia świetlnego znajdowałoby się na dwóch różnych kulach o różnych środkach przesuniętych o odcinek OO’ = vt. Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą możemy tylko wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy stosowania pojęcia czasu uniwersalnego i zamiast tego przyjmiemy, że przy przejściu pomiędzy dwoma poruszającymi się prostoliniowo układami współrzędnych następuje nie tylko zależna od czasu zmiana współrzędnych, ale również zależna od położenia zmiana czasu. Reinhard Kulessa

15 Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina
Błyskawica uderza w pociąg w punkach A’ i B’ oraz w szyny w punktach A i B. Światło z A’ osiąga ruchomego obserwatora R. Światło z A i B osiąga nieruchomego obserwatora w punkcie N. Światło z B’ osiąga ruchomego obserwatora R B N A B’ R A’ Reinhard Kulessa

16 Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna
Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna. Zależy ona od ruchu obserwatora. Dla obserwatora N punkty A i A’ pokrywają się w tym samym czasie co punkty B i B’. Dla niego więc długość odcinka torów AB jest równa długości pociągu A’B’. Obserwator ruchomy R widzi jednak rzeczy inaczej. Ponieważ widzi on błyskawicę z przodu pociągu wcześniej niż z tyłu, wydaje mu się, że A i A’ koincydują wcześniej niż B i B’. Przyjmuje on więc, że długość toru AB jest krótsza od długości pociągu A’B’. Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc co do oceny długości jak i czasu. Reinhard Kulessa

17 7.3.2 Transformacja Lorentza
Opierając się na postulatach Einsteina postaramy się znaleźć zależność pomiędzy wartościami położenia i czasu mierzonymi przez jednego obserwatora, z odpowiednimi wartościami mierzonymi przez drugiego obserwatora znajdującego się w ruchu względem pierwszego obserwatora. Jeśli wybierzemy sobie dwa układy współrzędnych U i U’ z dwoma obserwatorami, to z transformacji Galileusza otrzymamy; x x’ U U’ v y y’ (7.3) . t’ bierze pod uwagę możliwość różnych skali czasowych. Reinhard Kulessa

18 Ponieważ może również zmieniać się długość(odległość) wprowadzamy czynnik skalujący  ( niezależny od pozycji i czasu), ale mogący zależeć od prędkości v. (7.4) . Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu równaniach powinno występować to samo , aby nie wyróżniać żadnego z układów. Wprowadziliśmy współczynnik  jako matematyczną możliwość, gdy v  0,   1. Chcemy znaleźć  opierając się na II postulacie Einsteina. Jeśli w czasie pokrywania się początków układów U i U’ włączymy zegary, to pokażą one czas t i t’. Reinhard Kulessa

19 Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0, t = 0, oraz
x’ = 0, t’ = 0) w początku układów zajdzie błysk światła, to ze względu na to, że światło rozchodzi się w każdym z tych układów z prędkością c, mamy; . Wstawiając to do równania (7.4) mamy; . Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie otrzymujemy; . (7.5) Na współczynnik  otrzymujemy wyrażenie; Reinhard Kulessa

20 Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze
. (7.6) Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze (7.6) znak +1. Transformacja położenia i czasu przyjmie postać; (7.8) , Wzory przedstawiają transformacje Lorentza. . Reinhard Kulessa

21 Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu.
Dodawanie prędkości Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym przez przez prędkość w układzie nieruchomym, nie możemy już stosować transformacji Galileusza, gdyż byłoby to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe wyrażenie na dodawanie prędkości wyprowadzimy w oparciu o transformację Lorentza (7.8). Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu. (7.9) Dzieląc te równania stronami otrzymamy szukane zależności. Reinhard Kulessa

22 Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u’ w układzie U’ tak jak na rysunku.
x x’ U U’ v y y’ ux u’x’ , Gdy . . Wtedy , i mamy; . Czyli ostatecznie, Reinhard Kulessa

23 Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że;
. (7.10) Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że; . Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem, otrzymujemy; Reinhard Kulessa

24 (gdzie maksymalna wartość u=c, oraz v=c), otrzymujemy;
(7.11) 1 2 v/c u/c Porównując dodawanie dwóch jednakowych prędkości u’ = v według Galileusza i Einsteina Reinhard Kulessa

25 7.3.4 Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda
Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U’, i zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka. W układzie U mamy x2 – x1 wykonujemy pomiar w chwili t1 = t2, aby móc przyjąć, że x2 – x1 oznacza długość. W układzie U’ mamy odpowiednio x’2-x’1. Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy; (7.12) . Reinhard Kulessa

26 Odpowiednie przedziały czasowe
Dylatacja czasu Umieśćmy w stałym punkcie x’0 układu ruchomego U’ zegar. Układ ten porusza się z prędkością v w kierunku osi x’. W układzie nieruchomym U umieszczamy dwa zsynchronizowane zegary umieszczone w punktach x1 i x2. x x’ U U’ v y y’ x’0 x1 x2 Gdy zegar x’o w U’ mija zegar x1 w U, rejestrujemy czasy t’1 w układzie U’ i t1 w układzie U. Gdy zegar w U’ mija zegar x2 w U, rejestrujemy czasy t’2 w układzie U’ i t2 w układzie U. Odpowiednie przedziały czasowe Wynoszą w układzie U’ t’ = t’2 – t’1 , a w układzie U t = t2 – t1. W oparciu o równanie (7.9) mamy; Reinhard Kulessa

27 Ponieważ w układzie U’ zegar spoczywa, więc x’ = 0, mamy więc .
(7.13) Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w czasie 2 s, mierzonym na zegarze będącym w spoczynku względem mionu. Licząc klasycznie- mion w poruszający się z prędkością c przebywa czasie swego życia drogę ct=3·108 m/s 2·10-6 s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele mionów dociera jednak do Ziemi. Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = c znajdujący się na wysokości 30 km dotrze do powierzchni Ziemi. Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równa czyli doleci. Reinhard Kulessa