Ciążenie powszechne (grawitacja)

Prezentacja na temat: "Ciążenie powszechne (grawitacja)"— Zapis prezentacji:

1 Ciążenie powszechne (grawitacja)
Newton wprowadził swoje słynne prawo ciążenia powszechnego na podstawie praw opracowanych przez Keplera – praw ruchu planet. Przed Newtonem sądzono, iż ruchy ciał niebieskich nie podlegają prawom fizyki, jakie obowiązują na Ziemi. To Newton pierwszy zrozumiał, że jest inaczej.

2 Na podstawie trzech zasad dynamiki wysnuł następujące wnioski:
ponieważ planety obiegające Słońce po krzywych, więc musi na nie działać siła zakrzywiająca tor – siła dośrodkowa (siła przyciągająca ciało do Słońca), źródłem sił przyciągających planety jest Słońce, siła utrzymująca planety na orbitach powinna być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca. Newton pierwszy zwrócił uwagę, iż siła która każe jabłku spadać na Ziemię jest tą samą siłą, która każe planetom „spadać” na Słońce, a Księżycowi obiegać Ziemię po orbicie kołowej. Skoro Ziemia przyciąga każde ciało, to zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, powinno ono również przyciągać Ziemię. Idąc tym tokiem rozumowania Izaak Newton wysnuł wniosek, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie , a siły działające między nimi nazwał siłami grawitacji lub siłami powszechnego ciążenia.

3

4

5 Można obliczyć przyspieszenie Księżyca i stosunek przyspieszenia Księżyca
do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi. Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (ruch jednostajny po okręgu). Wówczas: gdzie RK jest odległością od Ziemi do Księżyca. Ta odległość wynosi 3.86·105 km, a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc a = 2.73·10-3 m/s2

6 Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc:
W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. Stąd stosunek przyspieszeń wynosi: a/g = 1/3590  (1/60)2 W granicach błędu a/g = . Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwiema masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi (odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc:

7 (można porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego
Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi  = 5·103 kg/m3 (można porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. Si = 2.8·103 kg/m3, Fe = 7.9·103 kg/m3). Punktem wyjścia jest równanie: Jeżeli weźmiemy r = RZ to otrzymamy:

8 Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma, gdzie a = g.
Stąd więc Wiemy, że MZ = VZ więc

9 Uwzględniając RZ = 6.37·106 m, otrzymamy G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 , co
jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2. Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat później (wtedy też sformułował rachunek całkowy). Równanie nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to samo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.

10 Siła grawitacji maleje z kwadratem odległości. R – promień ziemi.

11 F = ma Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo?
gdzie MK jest masą Księżyca, a R promieniem orbity po jakiej krąży moduł o masie m. Ponieważ przyspieszenie

12 Więc: Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca R = 1740 km, masę MK = 7.35·1022 kg i G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, otrzymamy T = 6.5·103 s czyli 108 minut.

13 Doświadczenie Cavendisha
Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o średniej wartości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej gęstości to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. Czy można wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?

14 W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych w odległości x
Wówczas siła F = Gm1m2/x2 czyli Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość F = 6.67·10-9 N, tj. 109 razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie) zwykłymi metodami.

15 Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt,
że siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt (rysunek b). Pomiar wykonane metodą Cavendisha dają wartość G = 6.67·10-11 Nm2/kg2.

16 Ważenie Ziemi Mając już godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył MZ z równania: Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np. na rysunku poniżej niech M będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół Słońca np. Ziemi.

17 F = GMm/R2 a = 42R/T Wtedy Ponieważ przyspieszenie
to z równania F = ma otrzymujemy czyli Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne obliczenia można przeprowadzić dla innych planet.

18 Siła grawitacji a ciężar ciała.
W wielu przypadkach przyjmuje się, że ciężar ciała jest równy sile grawitacji. Stwierdzenie to nie do końca jest prawdziwe. Pamiętaj, że Ziemia (tak jak karuzela) jest układem nieinercjalnym. Powodem tego jest jej ruch obrotowy wokół własnej osi. Dlatego też na każde ciał znajdujące się na powierzchni Ziemi działa oprócz sił grawitacji Fg także siła bezwładności Fb. Ciężar ciała jest wypadkową tych sił.

19 Ciężar ciała nie zawsze jest równy sile grawitacji.

20 Na biegunach geograficznych ciężar ciała jest największy i równy sile grawitacji, bowiem tam Fb = 0.
Na równiku ciężar ciała jest najmniejszy Q = Fg – Fb. Jedynie na biegunach i równiku wektor siły ciężkości jest skierowany zgodnie z wektorem siły grawitacji. Ponieważ ruch obrotowy Ziemi jest stosunkowo powolny, więc wartość siły bezwładnej jest w porównaniu z siłą grawitacji bardzo mała. Z tego właśnie powodu przyjmuje się często w przybliżeniu, że wartości sił są jednakowe : Q = Fg.

21 Pole grawitacyjne. Każde ciało o kreślonej masie zmienia wokół siebie właściwości przestrzeni, nadaje jej pewną własność. Mówimy, że ciało to wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne, w którym na inne ciała działa siła. Polem grawitacyjnym nazywamy przestrzeń, w której na każde ciało działa siła grawitacji. Jeżeli ciało o małej masie m (tzw. masa próbna) umieścimy w polu grawitacyjnym Ziemi, to zgodnie z prawem grawitacji zacznie działać na nie siła zwrócona w kierunku Ziemi. Przybliżając ciało do Ziemi stwierdzamy, że wartość rośnie, a jej kierunek i zwrot nie zmienia się.

22

23 Linią sił pola grawitacyjnego nazywamy prostą, wzdłuż której
działa siła. Linii takich jest nieskończenie wiele, bowiem w każdym punkcie przestrzeni wokół ciała wytwarzającego pole (źródła pola) na umieszczone tam masy próbne działają siły grawitacji. Linie te sięgają do każdego punktu Wszechświata (mają swój początek w nieskończoności) i biegną promieniście ku środkowi źródła pola (ku centrum). Takie pole nazywamy polem centralnym (rys. a). W niewielkim obszarze pola grawitacyjnego ziemi linie sił pola grawitacyjnego możemy traktować jako proste równoległe (rys. b). Pole takie nazwiemy polem jednorodnym.

24 Pole grawitacyjne a) centralne, b) jednorodne.

25 Natężenie pola grawitacyjnego
Masa M jest umieszczona w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się, natomiast, masa m. Wektor r opisuje położenie masy m względem masy M, więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami można zapisać w postaci wektorowej

26 Zwróćmy uwagę, że siłę tę można potraktować jako iloczyn masy
m i wektora g(r), przy czym Jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę, np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora g(r)

27 Widać, że wektor g(r) nie zależy od obiektu, na który działa
siła (masy m), ale zależy od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc, masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole. Zwróćmy uwagę, że „rozdzieliliśmy” siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.

28

29

30 Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją.
Jest ono bardzo użyteczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład, gdy mamy do czynienia z wieloma masami, możemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.

31 Pole grawitacyjne wewnątrz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest równe Gm/r2, tj. tak, jakby cała masa była skupiona w środku kuli. Jakie jest jednak pole wewnątrz czaszy?

32 Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie
powierzchni A1 i A2 w punkcie P wewnątrz czaszy (rysunek poniżej). Fragment A1 czaszy jest źródłem siły F1 ~ A1/(r1)2 ciągnącej w lewo. Powierzchnia A2 jest źródłem siły ciągnącej w prawo F2 ~ A2/(r2)2 . Mamy więc

33 Z rozważań geometrycznych widać, że
(pola powierzchni stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych) Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy Tak więc wkłady wnoszone przez A1 i A2 znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. A więc wewnątrz czaszy pole grawitacyjne jest równe zeru.

34 Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości też jest zero,
bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych. Na rysunku poniżej przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M. W punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi, więc, tylko od kuli o promieniu r, czyli a = Gm/r2 lub a = GV/r2

35 Dla kuli V = 4r3/3. Gęstość więc pole w punkcie P wynosi Widać, że pole zmienia się liniowo z r.

36

37

38 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton sformułował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika. Praca Keplera ( ) była wielkim odkryciem i aktem odwagi, zwłaszcza po tym, jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolennika systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został zmuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r.) mimo, że papież był jego przyjacielem. Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości. Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić, że Mars i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładnością. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.

39 Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. Drugie prawo Keplera (prawo równych pól) Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. Trzecie prawo Keplera Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy). Dla orbit kołowych

40 Pierwsze prawo Keplera
Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk Elipsa – tor planety wokół Słońca. Punkty F1 i F2 nazywane ogniskami elipsy mała i duża półoś elipsy Za średnią odległość planety od Słońca w jej ruchu po orbicie przyjmuje się wielką półoś elipsy.

41 Drugie prawo Keplera Promień wodzący planety, czyli linia
łącząca Słońce z planetą w równych odstępach czasu zakreśla równe pola (rys.) lub inaczej: Prędkość polowa planety jest stała.

42 Prędkość polowa i prędkość liniowa w ruchu planety wokół Słońca.
Z drugiego prawa wynika, że w ciągu takiego samego czasu ruchu planety, gdy znajduje się ona bliżej Słońca przebywa dłuższą drogę, niż wtedy, gdy jest od Słońca dalej. Wobec tego prędkość liniowa planety też się zmienia; większa jest w peryhelium z mniejsza w aphelium. Na przykład Ziemia obiega Słońce po elipsie i jej prędkość liniowa zmienia się od 30,0 km/s do 29,3 km/s w zależności od odległości od Słońca.

43 Trzecie prawo Keplera (zostało sformułowane dopiero w dziesięć lat po ogłoszeniu dwóch pierwszych) Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.

44

45

46

47

48