Rodzaje liczb.

Prezentacja na temat: "Rodzaje liczb."— Zapis prezentacji:

1 Rodzaje liczb

2 Podstawowe rodzaje liczb
Liczby naturalne Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby niewymierne Liczby rzeczywiste

3 Pozostałe rodzaje liczb
Liczby parzyste i nieparzyste Liczby przeciwne Liczby odwrotne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe Liczby algebraiczne Liczby przestępne

4 Liczby naturalne Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie:1,2,3,4,5,6,... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N. Możemy zapisać, że : N={1,2,3,4,5,6,...} Jeżeli zakładamy, że zero również jest liczbą naturalną to zapiszemy : N={0,1,2,3,4,5,...} Czasami dla zbioru liczb naturalnych dodatnich stosujemy oznaczenie N +. N+={1,2,3,4,5,6,...} Ten sam zbiór możemy również zapisać wykorzystując symbol liczb całkowitych: Z+={1,2,3,4,5,6,...} PS. Czasami przyjmuje się, że do liczb naturalnych należy również liczba zero.

5 Liczby całkowite Do liczb całkowitych zaliczamy liczby naturalne oraz ich ujemne odpowiedniki, a także liczbę zero. Możemy zatem zapisać, że liczby całkowite to:...−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem Z.Z={...−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Czasami używa się zbioru liczb całkowitych dodatnich :Z+={1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} oraz ujemnych : Z −={...−6,−5,−4,−3,−2,−1}

6 Liczby wymierne Liczba wymierna - to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego. gdzie: p - to dowolna liczba całkowita q - to liczba całkowita różna od 0 Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Formalnie zbiór liczb wymiernych można zapisać w taki sposób: Q={pq:p,q∈Z∧q≠0}

7 Uwaga! Nie każdy pierwiastek jest liczbą niewymierną, np.:9√=3=31
Liczby niewymierne liczba niewymierna - to taka liczba, której nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego. Liczby niewymierne tworzą wraz z liczbami wymiernymi zbiór liczb rzeczywistych. Przykład 1.  Liczbami niewymiernymi są np.: 2√, 3√, 5√, 17−−√, 2√3, π Żadnej z tych liczb nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Uwaga! Nie każdy pierwiastek jest liczbą niewymierną, np.:9√=3=31

8 Liczby rzeczywiste Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Przykład 1. Liczbami rzeczywistymi są np.:0, 1, −3, 56, 2√, π

9 Liczby parzyste i nieparzyste
Liczba parzysta - to taka liczba całkowita, którą można podzielić przez 2. Liczba nieparzysta - to taka liczba całkowita, której nie można podzielić przez 2 (przy dzieleniu przez dwa daje resztę 1).

10 Liczby przeciwne Liczby przeciwne - to dwie liczby, których suma wynosi zero.

11 Liczby odwrotne Liczby odwrotne - to dwie liczby, których iloczyn jest równy 1.

12 Liczby pierwsze Liczba pierwsza - to taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą.

13 Liczby złożone Każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn mniejszych liczb naturalnych. Mówiąc inaczej - liczba naturalna jest złożona, jeżeli można ją podzielić bez reszty przez inną liczbę naturalną, większą od 1. Przykłady: Liczba 6 jest złożona, ponieważ dzieli się przez 2 i przez 3. Oto jej rozkład na iloczyn czynników: 6=2⋅3

14 Liczby doskonałe Liczba doskonała - to taka liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich swoich podzielników, mniejszych od tej liczby. Przykład 3. Liczba 496 jest doskonała, ponieważ: =496 Liczby 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 to jedyne podzielnik liczby 496 mniejsze od 496.

15 Liczby algebraiczne Liczba algebraiczna - to liczba rzeczywista (lub ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Stopień takiego wielomianu jest jednocześnie stopniem danej liczby algebraicznej. Przykład 1. Liczba 10 jest algebraiczna, ponieważ jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x−10. Stopień tej liczby algebraicznej jest równy 1 (ponieważ wielomian W(x) ma stopień 1).

16 Liczby przestępne Liczba przestępna - to taka liczba, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomian o współczynnikach wymiernych. Inaczej mówiąc jest to liczba nie algebraiczna. Okazuje się, że nie tak łatwo jest udowodnić, że jakaś liczba jest przestępna. Szczególnie dużo problemów sprawiły na tym polu ludziom liczby π i e.

17 Dziękujemy za uwagę Gabriela Gransicka Patryk Szarmach Kacper Guzik