C(r) całka korelacji: – norma badanej wielkości fizycznej

Prezentacja na temat: "C(r) całka korelacji: – norma badanej wielkości fizycznej"— Zapis prezentacji:

1 WYMIAR KORELACYJNY D2 to wymiar uogólniony rzędu drugiego, liczony za pomocą całki korelacji
C(r) całka korelacji: – norma badanej wielkości fizycznej N – analizowana liczba wartości H – funkcja Heaviside’a,

2 Wymiary korelacyjne sejsmiczności indukowanej pracami górniczymi
Dane zawierają Halemba 5 - Wymiary korelacyjne „Czas wystąpienia wstrząsu” D2=0.89; „Log(Energia)” D2=0.86; „XY – rozkład epicentrów” D2=1.7;

3 KWK Halemba

4 Zmienność wymiaru korelacyjnego w czasie liczona z 'XY'
Od: zdarzenie numer: 1 Data: 3 styczeń 1992 , 03:31:00 Do: zdarzenie numer: 450 Data: 6 luty 1993 , 04:23:00 Szerokość okna : 50 zdarzeń. Przesunięcie okna : 25 zdarzeń. Halemba 5

5

6 Odwzorowanie logistyczne
Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą się eksponencjalnie z rozwojem czasu. Rozwój rozwiązań jest przewidywalny jedynie w sensie statystycznym. Warunkiem koniecznym by rozwiązanie było chaotyczne jest by równanie było nieliniowe. „Chaos to losowe zachowanie występujące w układzie deterministycznym, a więc chaos to nieregularne zachowanie całkowicie rządzone przez prawo”. Przykładem rozwiązania chaotycznego jest rozwiązanie odwzorowania logistycznego:

7 Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a
Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a. Jest ono prostą reprezentacją dynamiki populacji jakiegoś gatunku. xn to ilość osobników w roku n, a średnie tempo reprodukcji. Zbadajmy funkcję: f(x) = ax(1-x) Punkty stałe tej zależności: xs = f(xs ) xs = 0 i xs = 1 - 1/a W zależności od zachowania f(x) w otoczeniu punktów stałych punkt ten będzie stabilny lub nie. Rozwiązania będą zbieżne do stabilnych punktów stałych i rozbieżne względem niestabilnych (odwzorowanie będzie dążyć (ewoluować) do tych punktów).

8 Zbadajmy sekwencję iteracji odwzorowania logistycznego dla a=0. 8
Zbadajmy sekwencję iteracji odwzorowania logistycznego dla a=0.8. Przyjmijmy x0 = 0.5 i kolejno przecięcie linią pionową wykresu funkcji wyznacza jej wartość, pozioma linia z punktu przecięcia przecina przekątną pierwszej ćwiartki (prosta o tg=1) i zmienia xn+1 na xn. Pionowa linia przecina parabolę itd. Ciąg iteracji zmierza do stabilnego stałego punktu xs = 0. Dla a = 2.5. Przekątna pierwszej ćwiartki przecina parabolę w obu punktach stacjonarnych: xs = 0 i xs = Punkt xs = 0 jest niestabilny, xs = 0.6 a=0.8 a=2.5

9 Dla a=3 zachodzi bifurkacja
Dla a=3 zachodzi bifurkacja. Oba punkty stałe są niestabilne i iteracje zbiegają się do cyklu granicznego oscylującego miedzy xs1 i xs2. Wartości xs1 i xs2 obliczane są z wzoru: xs2 = a xs1(1- xs1) xs1 = a xs2(1- xs2) Okres oscylacji podwaja się z jednej dla a<3 do dwu iteracji, dla a>3. Iteracje o podwójnym cyklu granicznym można śledzić Cykl graniczny oscyluje miedzy xs1 = i xs2 = Graniczny cykl n=2 zachodzi w przedziale 3<a< Dla a = zachodzi następny rzut bifurkacji, okres znów się podwaja. Iteracje oscylują miedzy xs1 = 0.403, xs2 = 0.835, xs3 = i xs4 = Cykl z n = 4 zachodzi w przedziale < a < Dla dużych wartości a zachodzą cykle graniczne wyższego rzędu: 3 < a < n= < a < n=4 < a < n= < a < n=16 < a < n= < a < n=64 < a < n=

10 Rzut podwajania okresu bifurkacji zachodzi dla ciągu ak, który aproksymacyjne spełnia zależność Feigenbauma: ak = F-k gdzie F = jest stałą Feigenbauma. Aproksymacja jest tym lepsza im wyższe k. Ta zależność wskazuje na fraktalne - niezmiennicze ze względu na skalę, zachowanie dla ciągu podwajania okresu bifurkacji. Relacja Feigenbauma może być zapisana w postaci: a = (Fak+1- ak)/(F-1) Wartości ciągu podwajania okresu mogą być użyte do przewidzenia zachowania chaotycznego w a. Dla wartości a > a wchodzi się w rejon w którym aperiodyczne i periodyczne atraktory są naprzemienne. Dla atraktorów aperiodycznych występuje chaos.

11 Wykładnik Lyapunowa l Zachowanie chaotyczne może być opisane ilościowo w terminologii wykładnika potęgowego Lyapunowa l. Jest on miarą prędkości z jaką rozbiegają się trajektorie w przestrzeni fazowej. Gdy dxn przyrost po n-tej iteracji, dx0 przyrost wartości początkowej definiuje się go: dxn = dx02ln Gdy wykładnik Lyapunowa jest ujemny, rozwiązania są zbieżne i deterministyczne, gdy jest dodatni rozwiązania rozchodzą się potęgowo i pojawia się chaos. Dla odwzorowania logistycznego wykładnik Lyapunowa wynosi

12 Wykres wykładnika Lyapunowa dla odwzorowania logistycznego dla przedziału 3.4 < a < 4.0
Dobrze zilustrowane jest okno zachowania chaotycznego dla przedziału < a < 4.0, gdzie l jest dodatnie. Wykładnik Lyapunowa spada do zera w każdym rzucie bifurkacji.

13 Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego:
xn+1= 4xn (1-xn ) dla x [0,1] można wyrazić analitycznie obierając x0 = sin2pb ( 0<b<1 ) Z podstawienia otrzymujemy: x1 = 4sin2 pb (1 - sin2 pb) = sin2 2pb W n-tej iteracji: xn = sin22npb Przyjmując, że b nie jest liczbą całkowitą wartości xn zmieniają się losowo i otrzymuje się w pełni chaotyczne zachowanie. Iteracje dla a=4 dxn=2sin(2n pb)cos(2n pb)2npdb dx0=2sinpbcospbpdb Stąd: wykładnik Lyapunowa dla tego specyficznego przypadku jest 1 - iteracja jest w pełni chaotyczna.