Metody nieinkluzyjne: Metoda iteracji prostej.

Prezentacja na temat: "Metody nieinkluzyjne: Metoda iteracji prostej."— Zapis prezentacji:

1 Metody numerycznego znajdowania miejsc zerowych funkcji jednej zmiennej
Metody nieinkluzyjne: Metoda iteracji prostej. Metoda stycznych (Newtona). Metoda siecznych Metody inkluzyjne: Metoda połowienia (bisekcji). Metoda fałszywej linii (regula falsi). Metoda Pegaza. Metody znajdowania zer wielomianów

2 y x x* jest pierwiastkiem pojedynczym
x* jest pierwiastkiem wielokrotnym rzędu n Pierwiastek wielokrotny nieparzystego rzędu y Pierwiastek wielokrotny parzystego rzędu Pierwiastek pojedynczy x* x* x* x

3 Twierdzenia. 1. Niech fÎCn[a,b]. Wtedy x*Î[a,b] jest pierwiastkiem n- krotnym f wtedy i tylko wtedy gdy f(x*)=f’(x*)=...=f(n-1)(x*)=0 i f(n)(x*)¹0. 2. Jeżeli x* jest pierwiastkiem n-krotnym f i f jest odpowiednio wysokiej klasy to x* jest pierwiastkiem pojedynczym funkcji g(x)=f(x)/f’(x). 3. Jeżeli f jest ciągła w [a,b] i f(a)f(b)<0 to f ma przynajmniej jeden pierwiastek w [a,b] (twierdzenie Bolzano).

4 Ogólny schemat metod iteracyjnego znajdowania zer funkcji
Przekształcamy równanie f(x)=0 do postaci x=f(x) poprzez podstawienie f(x)=x-g(x)f(x) gdzie g jest funkcją ciągłą i g¹0. Punkt x* taki, że równanie jest spełnione nazywa się punktem stałym. Często postać x=f(x) równania jest jego postacią „naturalną”; wtedy mówimy o metodzie iteracji prostej (przykład z mechaniki kwantowej: SCF). 2. Tworzymy ciąg kolejnych przybliżeń x(0),x(1),...,x(p),... (w założeniu zbieżny do x*) taki, że x(p+1)=f(x(p)) gdzie x(0) jest przybliżeniem początkowym. Taka procedura jest nazywana procedurą iteracyjną a funkcja f funkcją iteracyjną. 3. Procedurę iteracyjną kończymy jeżeli kolejne przybliżenia x* różnią się odpowiednio mało (zbieżność) lub wykonaliśmy maksymalną zadaną liczbę kroków (brak zbieżności).

5 Twierdzenie o istnieniu punktu stałego:
Równania x=f(x) posiada przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale I=[a,b], jeżeli f jest funkcją ciągłą w I, f(x)ÎI dla wszystkich x ÎI. Twierdzenie o jednoznaczności punktu stałego: Równanie x=f(x) posiada co najwyżej jedno rozwiązanie w przedziale I jeżeli pierwsza pochodna f jest w tym przedziale ograniczona w sensie Lipschitza, tj. istnieje taka stała L, że dla każdego x1 i x2 z przedziału I mamy |f’(x1)-f’(x2)|£L|x1-x2|, 0<L<1 Jeżeli f spełnia warunki zawarte w obu twierdzeniach, to równanie x=f(x) ma jedno i tylko jedno rozwiązania w I (istnienie i jednoznaczność).

6 y y x x y y x x Zbieżność jednostajna (0<f’(x)<1) x(2) x(1) x(0)
Rozbieżność (|f’(x)|>1) Zbieżność oscylacyjna (0>f’(x)>-1) y y x(2) x(0) x(1) x x(0) x(2) x(1) x

7 Metoda iteracyjna ma rząd zbieżności r, jeżeli
Numeryczne szacowanie rzędu zbieżności dla odpowiednio dużych p. Metoda iteracji prostej jest na ogół rzędu pierwszego.

8 Metoda Newtona (metoda Newtona-Raphsona, metoda stycznych)
x(0) x(1) x(2) x Metoda Newtona jest zawsze zbieżna dla funkcji wypukłych i monotonicznych (f’(x)¹0 i f’’’(x)>0 dla każdego x) Metoda Newtona jest zbieżna kwadratowo dla pierwiastków pojedynczych a liniowo dla pierwiastków wielokrotnych.

9 Tłumiona metoda Newtona (pewniejsza zbieżność)
k jest najmniejszą liczbą całkowitą nieujemną taką, że Zmodyfikowana metoda Newtona do znajdowania pierwiastków wielokrotnych jeżeli znamy rząd pierwiastka (r). jeżeli nie znamy rzędu pierwiastka. W tym przypadku oryginalne równanie f(x)=0 zastępujemy równaniem f(x)/f’(x)=0.

10 Metoda siecznych (nazywana również metodą regula falsi)
x(2) x(0) x(1) x Rząd zbieżności metody siecznych wynosi Metoda siecznych nie musi być zawsze zbieżna. Dla pierwiastków wielokrotnych f(x) zastępujemy przez

11 Metoda fałszywej linii (regula falsi) (nazywana również uproszczoną metodą regula falsi)
Start z x(0) i x(1) takich, że f(x(0))f(x(1))<0 (funkcja ma różne znaki). Do obliczenia następnego x stosujemy zmodyfikowany wzór metody siecznych gdzie q jest największą liczbą całkowitą nie większą niż p-2 taką, że f(x(p))f(x(q))<0 (tj. funkcja ma różne znaki w x(p) i x(q) a zatem pierwiastek musi zawierać się w przedziale [x(p),x(q)] jeżeli funkcja jest ciągła Metoda ma gwarantowaną zbieżność dla funkcji ciągłych ale jej rząd w ogólności wynosi 1 (wolna zbieżność).

12 Metoda Pegaza – ilustracja graficzna
y f(1)+f(2) f(2) f(1) x(0) x(2) x(1) x f*(0) f(0)

13 Metoda Pegaza - algorytm
Startujemy jak w metodzie fałszywej linii z takich x(0) i x(1), że f(x(0))f(x(1))<0. Obliczamy punkt x(2) zgodnie z algorytmem metody siecznych. Jeżeli |f(x(2))|<e, kończymy proces iteracyjny. Jeżeli f(x(1))f(x(2))<0 (pierwiastek leży pomiędzy x(1) i x(2)) wstawiamy x(0)=x(1) i x(1)=x(2) i przechodzimy do następnego kroku. Jeżeli f(x(0))f(x(2))<0 (pierwiastek leży pomiędzy x(0) i x(2)) zastępujemy we wzorze metody siecznych f(0) przez f*(0)=f(0)f(2)/(f(1)+f(2)), wyliczamy x(2) jeszcze raz i wstawiamy x(1)=x(2). Sprawdzamy, czy |x(2)-x(1)|<e. Jeżeli tak, to za rozwiązanie przyjmujemy x(1), jeżeli f(x(1))<f(x(2)) a x(2) w przeciwnym przypadku. Rząd zbieżności metody Pegaza wynosi

14 Metoda połowienia (bisekcji)
y x(0) x(2) x(1) x Startujemy z takich x(0) i x(1), że f(x(0))f(x(1))<0. Obliczamy x(2)=(x(0)+x(1))/2. Jeżeli |f(x(2))|<e kończymy proces iteracyjny. Jeżeli f(x(0))f(x(2))<0 wstawiamy x(1)=x(2), w przeciwnym przypadku x(0)=x(1), x(1)=x(2). Metoda bisekcji jest rzędu pierwszego.

15 Inne metody znajdowania zer
Metoda Andersona-Björcka (rząd zbieżności od do 1.710, inkluzyjna) – jak metoda Pegaza ale z inną formułą obliczania f*(0); f*(0)=f(0)(1-f(2)/f(1)) jeżeli 1-f(2)/f(2)>0 i f(0)/2 w przeciwnym przypadku. Metoda Kinga (rząd zbieżności od do 1.732, inkluzyjna) – w odróżnieniu od metody Pegaza po każdej iteracji metody siecznych następuje iteracja z modyfikacją f(0). Metoda Andersona-Björcka-Kinga (rząd zbieżności od do 1.732, inkluzyjna) – formuła Andersona-Björcka obliczania f*(0) ze schematem iteracyjnym Kinga. Metoda Illinois (rząd zbieżności 1.442, inkluzyjna) – jak metoda Pegaza ale f*(0)=f(0)/2.

16 Znajdowanie wszystkich pierwiastków równań algebraicznych (wielomianów)
Metoda Mullera Lokalizujemy pierwiastek o najmniejszym module (x*1). Po znalezieniu jego przybliżonej wartości dzielimy wielomian przez (x-x*1), ignorujemy resztę z dzielenia a następnie szukamy następnego pierwiastka aż do rzędu n. Po znalezieniu przybliżeń wszystkich pierwiastków porządkujemy je od nowa od wartości najmniejszej do największej i powtarzamy cykl (procedura Wilkinsona). Przybliżenia poszczególnych pierwiastków poprawiamy stosując jakąkolwiek metodę szybko zbieżną (np. Newtona).

17 Do efektywnego znajdowania dobrych przybliżeń pierwiastków bardzo dobrze nadaje się metoda iteracji Mullera, w której wielomian interpoluje się odcinkami paraboli. Pozwala to na lokalizację zarówno pierwiastków rzeczywistych jak i zespolonych.