Trójkąty Katarzyna Bereźnicka

Prezentacja na temat: "Trójkąty Katarzyna Bereźnicka"— Zapis prezentacji:

1 Trójkąty Katarzyna Bereźnicka

2 Nierówność trójkąta Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków. Np.: 6 3 2 2 5 4 3 < 4+2 4 < 3+2 2 < 3+4 2 < 5+6 5 < 2+6 6 < 2+5

3 Suma kątów trójkąta Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi 180°.
β α + β + γ = 180o α γ

4 Podział trójkątów ze względu na kąty
Trójkąt ostrokątny – ma wszystkie kąty ostre (0°-90°). Trójkąt prostokątny – ma jeden kąt prosty (90°). Trójkąt rozwartokątny – ma jeden kąt rozwarty (90°-180°).

5 Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta
W trójkącie prostokątnym: podane wierzchołki tworzą odcinek, który jest średnicą okręgu. Trzeci wierzchołek będzie się znajdował na obwodzie tego okręgu. Drugi przypadek, to sytuacja, gdy trzeci wierzchołek leży na jednej z prosty prostopadłych do odcinka i przechodzących przez jego końce.

6 Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta
W trójkącie ostrokątnym: podobnie jak w poprzednim przypadku, ale trzeci wierzchołek będzie znajdował się poza okręgiem, ale pomiędzy prostymi prostopadłymi do odcinka i przechodzącymi przez jego końce.

7 Położenie trzeciego wierzchołka przy dwóch danych w zależności od rodzaju trójkąta
W trójkącie rozwartokątnym: w tym przypadku wierzchołek znajduje się wewnątrz okręgu. Drugi przypadek to sytuacja, gdy trzeci wierzchołek znajduje się poza prostymi prostopadłymi do odcinka i przechodzącymi przez jego końce.

8 Trójkąt prostokątny Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną. Obydwie przyprostokątne są jednocześnie wysokościami trójkąta. Trzecia wysokość (opuszczona na przeciwprostokątną) dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty, które są do niego podobne. Aby łatwo wyznaczyć trzecią wysokość trójkąta prostokątnego skorzystamy z wzoru na pole trójkąta:

9 Trójkąt prostokątny Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. Symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi. Środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. Trójkąt spełnia Twierdzenie Pitagorasa: W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. a²+b²=c²

10 Podział trójkątów ze względu na boki
Trójkąt różnoboczny – ma każdy bok innej długości. Trójkąt równoramienny – ma przynajmniej dwa boki równej długości. Trójkąt równoboczny - ma wszystkie trzy boki tej samej długości (wszystkie jego kąty też są tej samej miary).

11 Trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Posiada (co najmniej jedną) oś symetrii - przecina ona podstawę w połowie długości i przechodzi przez wierzchołek łączący ramiona. Oś symetrii pokrywa się z wysokością opuszczoną na podstawę. Szczególne przypadki trójkąta równoramiennego: -trójkąt równoboczny - dowolne dwa boki można uznać za ramiona, -równoramienny trójkąt prostokątny - kąt prosty może być jedynie między ramionami.

12 Trójkąt równoboczny Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 60º.
Obwód wynosi: Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi. Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Wysokość ma długość: Pole powierzchni jest równe:

13 Związek między kątami i bokami
Twierdzenie sinusów: W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Twierdzenie cosinusów: W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi: c2 = a2 + b2 - 2abcosγ, b2 = a2 + c2 - 2accosβ, a2 = b2 + c2 - 2bccosα.

14 Wzory na pole trójkąta

15 Zadania Obliczania promienia i długości okręgu wpisanego za pomocą wzoru b i c. a=13 b=14 c=15

16 Zadania Obliczania promienia i długości okręgu opisanego za pomocą wzoru b i d. a=13 b=14 c=15