Szeregi czasowe Ewolucja stanu układu dynamicznego opisywana jest przez funkcję czasu f(t) lub przez szereg czasowy jego zmiennych dynamicznych. Szeregiem.

Prezentacja na temat: "Szeregi czasowe Ewolucja stanu układu dynamicznego opisywana jest przez funkcję czasu f(t) lub przez szereg czasowy jego zmiennych dynamicznych. Szeregiem."— Zapis prezentacji:

1 Szeregi czasowe Ewolucja stanu układu dynamicznego opisywana jest przez funkcję czasu f(t) lub przez szereg czasowy jego zmiennych dynamicznych. Szeregiem czasowym jest zbiór dyskretnych wartości liczbowych dowolnej wielkości zmiennej w czasie. Ze zmiennej ciągłej szereg dyskretny można otrzymać poprzez próbkowanie lub całkowanie w określonych interwałach czasu t (zazwyczaj w stałych przyrostach czasu). Zbiory danych, niekoniecznie związanych z czasem, mogą być reprezentowane poprzez szeregi „czasowe”. Np. zmiana parametrów ośrodka z głębokością otworu wiertniczego. Szeregi czasowe mogą być scharakteryzowane przez nieciągłości, składową trendu, składowe okresowe i stochastyczne. Trend jest długookresowym wzrostem lub maleniem szeregu. Wiele fizycznych procesów w Naukach o Ziemi wykazuje długookresową korelację - zjawisko Hursta i silną wrażliwość na warunki początkowe wywołane nieliniową dynamiką procesów.

2 Zjawisko Hursta Wprowadźmy szereg Xi, i=1,...,N średnią
i średnią ruchomą (running) definiuje się Zakres definiuje się jako zakres przeskalowany (rescaled range) wykładnik Hursta otrzymuje się ze związku Gdy H= 0.5 szereg jest nieskorelowanym białym szumem, kolejne kroki są niezależne i najlepszą predykcją jest ostatnia wartość mierzona. Gdy H 0.5 proces jest skorelowany z charakterystycznym zachowaniem potęgowym: D = d-H H>0.5 lokalny trend w przedziale kontynuuje się i najlepsza predykcja bazuje na ekstrapolacji lokalnego trendu. H<0.5 lokalny trend odwraca się i najlepsza predykcja bazuje na uśrednieniu w przedziale. A widmo mocy: Dla H = 1 Proces losowy ma widmo typu 1/f i jest nazywany 1/f szumem. W przeciwieństwie do białego szumu f0 czy szumu Browna f-2  

3 Analiza spektralna Analiza widmowa funkcji f(t) jest przedstawieniem jej jako superpozycję składowych okresowych - jest procedurą określania udziałów poszczególnych składowych. Funkcja okresowa przedstawiana jest szeregiem Fouriera - sumą składowych o częstościach będących całkowitymi wielokrotnościami częstości podstawowej - jest rozłożeniem jej na szereg sinusów (lub cosinusów), których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej 1/T. Składowe o wyższych częstotliwościach n/T (n=1,2...) nazwane są harmonicznymi. Okresowa funkcja może być przedstawiona w dziedzinie czasu – wyrażając zależność jej amplitudy od czasu i w dziedzinie częstotliwości – wyrażając amplitudę i fazę składających się na nią funkcji sinus w funkcji częstotliwości.

4 Funkcja nieokresowa ma okres nieskończenie długi
Funkcja nieokresowa ma okres nieskończenie długi. Przez analogię z funkcją okresową może być rozpatrywana jako mająca nieskończenie małą częstotliwość podstawową. Konsekwentnie harmoniki pojawiają się w nieskończenie małych odstępach dając ciągłe widma amplitudowe i fazowe. Aby uzyskać formę analityczną trzeba zcyfrować sygnał. Widmo ciągłe ma nieskończoną liczbę składowych funkcji sinus i aby go opracowywać dzieli się go na pewną liczbę "warstewek" przedziałów częstotliwościowych przypisując każdej warstewce jej średnią częstotliwość oraz amplitudę i fazę proporcjonalną do obszaru paska odpowiedniego widma. To cyfrowe wyrażenie ciągłego widma przez skończoną liczbę dyskretnych składowych częstotliwościowych daje przybliżoną reprezentację w dziedzinie częstotliwościowej funkcji nieokresowej w dziedzinie czasu.   Transformata Fouriera jest reprezentacją funkcji nieokresowej i widmo zawiera kontinuum częstotliwości. Kwadrat modułu transformaty nosi nazwę widma mocy funkcji f(t).