Zagadnienie własne Macierz wektorów własnych V=(v1,v2,...,vn) przekształca zatem macierz A do postaci diagonalnej: W większości zastosowań w chemii i fizyce.

Prezentacja na temat: "Zagadnienie własne Macierz wektorów własnych V=(v1,v2,...,vn) przekształca zatem macierz A do postaci diagonalnej: W większości zastosowań w chemii i fizyce."— Zapis prezentacji:

1 Zagadnienie własne Macierz wektorów własnych V=(v1,v2,...,vn) przekształca zatem macierz A do postaci diagonalnej: W większości zastosowań w chemii i fizyce rozważamy macierze rzeczywiste symetryczne. W takim przypadku macierz znormalizowanych wektorów własnych jest ortonormalna, tj. V-1=VT

2 Twierdzenie Gershgorina o wartościach własnych
Wartości własne dowolnej macierzy (rzeczywistej lub zespolonej) leżą w zbiorze będącym sumą mnogościową kół scentrowanych na odpowiednich elementach diagonalnych i o promieniach równych sumie elementów pozadiagonalnych.

3 Metody numerycznego rozwiązywania zagadnienia własnego
Metoda potęgowa (iteracji wektorów): można ją stosować dla znajdowania wartości własnej o największym module i odpowiadającego jej wektora własnego. Znajdowanie wielomianu charakterystycznego a następnie jego zer (metoda Kryłowa). Metoda Jacobiego (znajdowanie zarówno wartości jak i wektorów własnych macierzy symetrycznych; droga i ma raczej znaczenie historyczne). Metoda rozkładu LR. Metody rozkładu QR. Metoda Householdera; Metoda Givensa; Metoda ortogonalizacji Schmidta. Metody QR i LR umożliwiają znalezienie albo tylko samych wartości własnych albo wartości i wektorów własnych. Ich zastosowanie jest zwykle poprzedzone są sprowadzeniem macierzy do postaci Hessenberga.

4 Metoda potęgowa (iteracji wektorów)
Wybieramy przybliżenie początkowe wektora własnego odpowiadającego wartości własnej o największym module. Kolejne przybliżenie wektora własnego obliczamy z wzoru: Jeżeli xi(p+1)/xi(p) różnią się o mniej niż zadana dokładność dla każdego i, kończymy iterację. Wtedy x(p) jest szukanym wektorem własnym a wielkość jest przybliżeniem wartości własnej o największym module. W ten sposób można też znaleźć kolejne wartości i wektory własne. Po znalezieniu pierwszego wektora własnego tworzymy wektor do niego ortogonalny i prowadzimy ortogonalizując za każdym razem otrzymany wektor do pierwszego wektora własnego. Przykładowo, dla drugiego wektora własnego:

5 Dowód zbieżności metody iteracji potęgowej dla największej co do modułu wartości własnej
Wektor x(0) można zapisać jako kombinację liniową wektorów własnych: Ponieważ x(p) otrzymuje się z x(0) przez p-krotne lewostronne mnożenie przez A oraz Avi=lvi mamy: Jeżeli l1 jest wartością własną największą co do modułu to mamy:

6 Metoda Jacobiego Macierz symetryczną A sprowadzamy do postaci diagonalnej przy pomocy iterowania transformacji jej dwuwymiarowych “klatek” macierzami obrotów, które zerują pozadiagonalne elementy “klatek”. k-ta kolumna l-ta kolumna k-ty wiersz l-ty wiesz

7

8 Do transformacji najlepiej wybrać taką parę indeksów k i l, że odpowiedni element pozadiagonalny macierzy A(p) ma największy modł. Iteracja Jacobiego kończy się gdy wszystkie elementy pozadiagonalne macierzy A(p) są mniejsze co do modułu niż zadana dokładność. Metoda Jacobiego daje również macierz wektorów własnych, która jest iloczynem kolejnych (ortonornalnych) macierzy S

9 Metoda LR (przekształcenie podobieństwa) Ciąg macierzy A(p) dąży do w ogólności do macierzy trójkątnej górnej a jeżeli macierz A jest symetryczna to do macierzy diagonalnej, której elementami diagonalnymi są wartości własne macierzy A. Do przekształcenia LR wykorzystujemy algorytm eliminacji Gaussa.

10 Metoda QR (macierze Q są ortonormalne)

11 Przekształcenie macierzy do postaci Hessenberga
Jeżeli A jest macierzą symetryczną to macierz Hessenberga B ma postać trójdiagonalną. Macierz B jest podobna do macierzy A, zatem ma te same wartości własne co macierz A, natomiast jej wektory y własne są związane z wektorami własnymi macierzy A zależnością y=C-1x. Kolejne iloczyny R(p)Q(p) w procedurze iteracyjnej mają postać Hessenberga co powoduje znaczną oszczędność rachunków. Oszczędność jest jeszcze większa w przypadku gdy A jest macierzą symetryczną.

12 Metoda Givensa Macierz A przekształcamy przy pomocy ioczynu elementarnych macierzy Givensa. Macierz G(j) jest konstruowana w taki sposób aby dla danego wektora z=[z1,z2,…,zk]T zachodziło Gz=a||z||[1,0,…,0]T. i-ty wiersz j-ta kolumna

13

14 Macierz G(1)=G1(2)G1(3)…G1(n) sprowadza pierwszą kolumnę macierzy A do postaci a(1)||a1(2)||[1,0,…,0]T. Kolejne przekształcenie macierzy A(2)=G(1)A macierzą G(2)=G2(1)G2(2)…G2(n-1) zeruje wszystkie elementy drugiej kolumny macierz A(2) oprócz pierwszych dwóch, itp.

15 Metoda Householdera