MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r.

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5 sajri.astronomy.cz

Ruch w otoczeniu L4 i L5 Warunek stabilności punktów L4 i L5 : Jest spełniony w Układzie Słonecznym dla wszystkich par Słońce-planeta i planeta-księżyc, poza parą Pluton-Charon (ale Pluton już nie jest planetą) W 1906 r. został odkryty pierwszy obiekt poruszający się wokół L4 układu Jowisz-Słońce – (588) Achilles

Ruch w otoczeniu L4 i L5 (3753) Cruithne – pierwszy obiekt poruszający się wokół punktu równowagi układu Ziemia-Słońce Księżyce Kordylewskiego? Copyright by Paul Wiegert

Ruch w otoczeniu L4 i L5 Symulacje stabilności obiektów wokół punktów równowagi układu Słońce-Ziemia Copyright by Paul Wiegert

Ruch w otoczeniu L4 i L5 W tym wypadku mamy: skąd: Równanie charakterystyczne przyjmuje postać:

Ruch w otoczeniu L4 i L5 Wybraliśmy układ jednostek, w którym ruch średni masy μ2 jest jednostkowy, a okres orbitalny = 2π Ruch cząstki jest złożeniem dwóch ruchów: - krótkookresowego, okres= 2π/|λ1,2| jest zbliżony do okresu orbitalnego masy μ2 - libracyjnego wokół punktu równowagi, okres= 2π/|λ3,4| Amplitudy tych ruchów zależą od stałych αj, βj, które zależą od warunków początkowych Ruch wypadkowy można traktować jako złożenie długookresowego ruchu epicentrum wokół L4 i krótkookresowego ruchu wokół epicentrum

Ruch w otoczeniu L4 i L5 Przykład: odpowiednie wartości własne są równe: Wtedy rozwiązanie ma postać:

Ruch w otoczeniu L4 i L5 Ze względu na nachylenie orbity w stosunku do osi łączącej masy, można dokonać uproszczenia zagadnienia przez obrót układu współrzędnych o 30: Wtedy X(t) i Y(t) z przykładu przyjmują wartości: Są to dwa ruchy po elipsie. Ruch przypomina wcześniej analizowane przybliżenie „guiding center”

Orbity typu kijanki (tadpole) sajri.astronomy.cz

Orbity typu kijanki (tadpole) μ2=0.001 – podobnie jak w przypadku układu Słońce-Jowisz Na prawym wykresie ruch cząstki rozpoczął się nieco dalej od punktu równowagi Co się stanie jeżeli ruch rozpocznie się jeszcze dalej?

Orbity typu podkowy (horseshoe) Kąt jaki zakreśla cząstka może osiągnąć wartości dużo większe od 180

Orbity typu podkowy (horseshoe)

Orbity typu kijanki (tadpole) Janus Prometeusz Copyright by Calvin J. Hamilton

Orbity typu podkowy (horseshoe) planetoida 2002 AA29 porusza się po orbicie typu podkowy w układzie Ziemia-Słońce Copyright by Paul Wiegert

Orbity typu podkowy (horseshoe) planetoida 2002 AA29 Copyright by Paul Wiegert

Orbity typu podkowy (horseshoe) 3753 Cruithine Copyright by Paul Wiegert

Quasi - księżyce Tego rodzaju obiekty mogą zajmować stabilne orbity przez cały czas życia Układu Słonecznego Preferowane są dalsze planety – quasi-księżyce znaleziono w przypadku Urana i Neptuna Copyright by Paul Wiegert

Równania Hilla Ruch cząstki wokół centralnej masy jest przez większość czasu keplerowski. Perturbacje pojawiają się jedynie przy bliskim spotkaniu z drugą masą. Przykładem takiego ruchu są orbity typu podkowy i kijanki. Poza rozwiązywaniem pełnych równań ruchu warto zbadać ruch wokół mniejszej masy. Podstawy tego zagadnienia sformułował Hill (1878)

Równania Hilla Jeżeli różnica mas jest duża możemy przyjąć, że μ1≈1, wtedy równania ruchu płaskiego: przyjmują postać:

Równania Hilla W następnym kroku dokonujemy przesunięcia początku układu współrzędnych tak, że x->1+x i wprowadzamy Δ=r2. Rozpatrujemy ruch w pobliżu masy m2 (tzn. w okolicy punktów L1 i L2), więc x,y oraz Δ są małymi wielkościami. Rozwijając w szereg wyrażenie: i zaniedbując wyższe potęgi μ2, dostajemy: co pozwala przepisać równania ruchu w postaci:

Równania Hilla (14.1a) (14.1b) Są to tzw. równania Hilla, gdzie: a zmodyfikowana stała Jacobiego jest równa: (14.2)

Równania Hilla Z równania 14.1a widzimy, że radialna składowa siły znika kiedy 3Δ3=μ2. To pozwala zdefiniować sferę Hilla jako sferę o promieniu: otaczającą drugą masę. Analogiczny wynik był uzyskany w przypadku wyznaczania położeń punktów L1 i L2 (wykład 13):

Równania Hilla Podstawiając w równaniach 14.1: możemy znaleźć położenie punktów L1 i L2. Z równania 14.1a mamy: a z równania 14.2 dostajemy odpowiednią zmodyfikowaną stałą Jacobiego: jeżeli zapiszemy: (14.3) to orbity typu podkowy są możliwe w obszarze, w którym ζ<34/3. krzywe zerowej prędkości w otoczeniu punktów L1 i L2

Równania Hilla Użyjemy teraz kryterium Tisseranda do wyznaczenia zależności między elementami orbitalnymi przed i po spotkaniu z satelitą. Niech elementy orbitalne przed i po spotkaniu z satelitą będą równe odpowiednio: gdzie wszystkie wielkości oznaczone przez Δ są małe. Z kryterium Tisseranda mamy: co może być rozwinięte do postaci: lub:

Równania Hilla Tą samą zależność można uzyskać z równań Hilla: w przypadku dużych wartości Δ: co może być zapisane jako (przy użyciu 14.2 i 14.3): Używając teraz przybliżenia „guiding centre” możemy zapisać (n=1): wtedy z równań 14.4: (14.4)

Równania Hilla Uzyskane wyrażenia można użyć do przekształcenia równania: do postaci: z którego mamy: gdzie prawa strona jest stała.

Równania Hilla Równania Hilla skalują się z μ21/3. Jeśli podstawimy: to równania ruchu 14.1 przyjmują postać: Trajektorie cząstki otrzymane ze skalowalnej postaci równań Hilla. Masa perturbująca jest w początku układu

Księżyce „pasterskie”

Księżyce „pasterskie” Copyright of Cassini Team

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r.

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r."— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r.

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r."— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres