Układ równań stopnia I z dwoma niewiadomymi

Prezentacja na temat: "Układ równań stopnia I z dwoma niewiadomymi"— Zapis prezentacji:

1 Układ równań stopnia I z dwoma niewiadomymi
ax+by+c=0 Gdzie a,b,c sa dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a lub b jest różną od 0, a (x,y) – są zmiennymi, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Przykład równań z dwiema niewiadomymi 2x+3y+4=0 x+y=0 (x-2y)\ =-1

2 Definicja: Każdą parę liczb (m,n), która spełnia równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do równania m za x oraz n za y daje równość prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tego równania.                 Przykład: Dane jest równanie: x-y+1=0. Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają to równanie. Są to dla przykładu: (1,2), (3,4), (0,1), (-5, -4) itd.

3 Interpretacja geometryczna:
Prosta w układzie współrzędnych jest interpretacją geometryczną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Jest to dość oczywiste. Wystarczy spojrzeć na postać funkcji liniowej, której wykresem jest prosta. Analizując powyższy przykład równania wszystkie pary liczb, które stanowią jego rozwiązanie układają się w układzie współrzędnych na prostej o równaniu: y=x+1.

4 Przykład: Rozwiązać równanie: .
Powyższe równanie można rozwiązać graficznie. Przekształćmy je do postaci funkcji liniowej.                           Rozwiązaniem danego równania jest zbiór wszystkich par liczb (x,y) stanowiących współrzędne punktów prostej o równaniu:. Wykres równania

5 UKŁAD NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA
Analogicznie do układów równań możemy rozpatrywać układy nierówności. Na przykład: (Podano tutaj przykładowe znaki nierówności.) Jeżeli obie nierówności w układzie nierówności są nierównościami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

6 Definicja Zbiór wszystkich par liczb (x,y), które spełniają jednocześnie obie nierówności nazywamy rozwiązaniem układu tych nierówności.

7 Oto przykład układu nierówności:           
Para liczb (3,4) jest jednym z rozwiązań powyższego układu nierówności. Możemy to sprawdzić, podstawiając te liczby do obu nieówności.            Rozwiązać układ nierówności to znaczy znaleźć wszystkie rozwiązania tego układu nierówności, albo wykazać, że jest nim zbiór pusty. Zbiór rozwiązań układu nierówności jest iloczynem rozwiązań (częścią wspólną) wszystkich zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności układu.

8 Układy nierówności najłatwiej rozwiązać graficznie
Układy nierówności najłatwiej rozwiązać graficznie. Wystarczy wykreślić wykresy obu nierówności i zakreskować część wspólną obu zbiorów rozwiązań, tak jak to zrobiono dla poniższego przykładu.                 Rozwiążemy graficznie układ nierówności            Wyznaczmy y z obu nierówności:                    (Wykreślamy w układzie współrzędnych proste o równaniach: y=-x oraz y=x-1 i zaznaczamy obszary rozwiązań obu nierówności (na żółto y>-x i na niebiesko y>x-1). Rozwiązanie układu tych nierówności reprezentuje obszar będący częścią wspólną wcześniej zaznaczonych obszarów (zielonkawy kolor) .)

9 Podsumowanie: Rozwiązaniami układu równań stopnia I z dwoma niewiadomymi są para liczb prosta lub brak rozwiązania Rozwiązaniami układów nierówności są zbiory liczb spełniające założenia interpretując to graficznie rozwiązaniem może być fragment płaszczyzny