UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO

Prezentacja na temat: "UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO"— Zapis prezentacji:

1 UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO
Przypomnijmy, dla płynu doskonałego równanie Bernoulliego ma postać (1) gdzie

2 Podczas przepływu płynu lepkiego (rzeczywistego)
(2) Wskutek strat hydraulicznych (3) lub (4) gdzie: - Dhs jest na drodze 1-2.

3 Podstawiając równania (2) do (4) otrzymamy uogólnione równanie Bernoulliego
(5) Mnożąc równanie (5) stronami przez g otrzymamy inną postać uogólnionego równania Bernoulliego (6)

4 Rys.1. Interpretacja graficzna uogólnionego równania Bernoulliego

5 Współczynnik Coriolisa zdefiniowany jest wzorem
Występujące we wzorze (6) współczynniki a1 i a2, nazywane współczynnikami Coriolisa, korygują sposób wyznaczania energii kinetycznej cieczy za pomocą średnich prędkości przepływu (7) Współczynnik Coriolisa zdefiniowany jest wzorem (8) Strumień energii kinetycznej obliczanej za pomocą średniej prędkości przepływu wynosi (9)

6 Energia kinetyczna rzeczywista strugi elementarnej
(10) czyli: (10a) Podstawiając (9) i (10a) do (8) współczynnik Coriolisa wyraża się wzorem (11)

7 Po podstawieniu (12) do (11) otrzymamy
Dla przepływu laminarnego osiowo-symetrycznego rozkład prędkości ma postać (12) Po podstawieniu (12) do (11) otrzymamy (13)

8 Dla przepływów turbulentnych
Rzeczywistą energię kinetyczną strugi można wyznaczyć jako (13a) Czyli w przypadku przepływu laminarnego rzeczywista energia kinetyczna strugi jest dwa razy większa od energii wyznaczonej na podstawie prędkości średniej, natomiast dla przepływów turbulentnych rzeczywista energia kinetyczna zbliżona do wyznaczonej na podstawie prędkości średniej.

9 Rodzaje strat hydraulicznych:
Straty liniowe powstające na prostych odcinkach przewodu o stałej średnicy d i długości l - 2. Straty miejscowe powstające na przeszkodach lokalnych typu zawory, kolanka, nagła zmiana pola przekroju, itp. -

10 LINIOWE STRATY HYDRAULICZNE
Wysokość strat liniowych obliczamy ze wzoru (14) lub liniowa strata ciśnienia: (14a) l - współczynnik strat liniowych (bezwymiarowy). (14b)

11 W ogólnym przypadku współczynnik l jest funkcją liczby Reynoldsa i chropowatości przewodu
Przepływ laminarny Z prawa Hagena-Poiseuille’a strata ciśnienia w rurze o wymiarach l, d (15) Po porównaniu wzorów Darcy-Weisbacha (14) i (15) otrzymamy (16) (17)

12 Przepływ turbulentny W ruchu turbulentnym l=f(Re, e).
Chropowatość bezwzględna: a) naturalna, b) sztuczna

13 Bezwzględny współczynnik chropowatości dla wybranych materiałów:
Stan powierzchni k, mm Rury walcowane: miedź, mosiądz, brąz gładkie 0,0015÷0,100 aluminium 0,015÷0,06 Rury stalowe walcowane nowe 0,02÷0,10 nieznacznie skorodowane 0,4 z większymi osadami kamienia ~ 3,0 Rury żeliwne 0,25÷1,0 z osadami 1,0÷1,5 Rury betonowe średnia gładkość 2,5 Współczynnik chropowatości bezwzględnej może przyjmować wartości od k=0,005 mm dla przewodów szklanych do k=9mm dla przewodów betonowych chropowatych.

14 k<dlam k>dlam Jeśli k<dlam to rury są hydraulicznie gładkie, współczynnik strat liniowych zależy wówczas tylko od Re.

15 Rekr<Re < 105 Rekr<Re < 106 Formuła Blasiusa
(18) Formuła Schillera Rekr<Re < 106 (19)

16 Wykres Colebrooka-White’a

17 Formuła Colebrooka-Whita (w strefie kwadratowej zależności oporów)
(20) Formuła Nikuradsego (w strefie kwadratowej zależności oporów) (21) Re > Regr

18 Wykres Nikuradsego Strefy przepływu: 1) przepływu laminarnego (Re), ) rur hydraulicznie gładkich (Re), 3) częściowego wpływu chropowatości (Re, ), ) kwadratowej zależności oporów od przepływu ().

19 Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.
- w przepływie laminarnym Re < Rekr i

20 Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.
- w strefie kwadratowej zależności oporów Re>Regr i

21 MIEJSCOWE STRATY HYDRAULICZNE
Wysokość miejscowych strat hydraulicznych / miejscową stratę ciśnienia obliczamy ze wzoru: (22a) (22b) w którym: υ – średnia prędkość przepływu za przeszkodą, z wyjątkiem szczególnych przypadków, wyraźnie zaznaczonych np. wlot do zbiornika; ς – współczynnik oporu miejscowego zależny od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa. Przy dużych liczbach Re, zwykle dla Re>104, współczynnik ς nie zależy od Re.

22 Nagłe rozszerzenie przewodu
gdzie:

23 Wylot ze zbiornika a) o ostrych krawędziach b) o zaokrąglonych krawędziach

24 Wlot do zbiornika

25 Nagłe zmniejszenie średnicy przewodu

26 Kolano gięte

27 Zasuwa 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 ς 30 22 12 5,3 2,8 1,5 0,8 0,3 0,1

28 Zawór motylkowy 10 20 30 40 50 60 70 80 rad 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6 118 751 ∞ 90

29 Kurek gazowy 10 20 30 40 50 55 67 rad 0,31 1,84 6,15 20,7 95 275 ∞

30 Zawór grzybkowy normalny
D, mm 20 40 80 100 150 200 250 300 8,0 4,9 4,0 4,1 4,4 4,7 5,1 5,4

31 Wzór Bordy-Carnota

32 Na podstawie równania ilości ruchu otrzymamy:
skąd po przekształceniu: Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1 – 1 i 2 – 2 otrzymamy: Po porównaniu obu powyższych równań:

33 stąd: Wzór ten nosi nazwę wzoru Bordy-Carnota. Z równania ciągłości A1u1=A2u2 wyznaczamy u1 i po podstawieniu