Modele (hipotezy) zagnieżdżone

Prezentacja na temat: "Modele (hipotezy) zagnieżdżone"— Zapis prezentacji:

1 Modele (hipotezy) zagnieżdżone
Porównywanie modeli Modele (hipotezy) zagnieżdżone Model o mniejszej liczbie parametrów jest szczególnym przypadkiem modelu o większej liczbie parametrów

2 Stosujemy test F, porównując wariancję odpowiadającą dopasowaniu rozszerzenia modelu 1 (uboższego) do reziduów z modelu 1 z wariancją z modelu 2 (bogatszego). Uwaga! Nie można przy pomocy tego testu porównywać wariancji z modelu 1 z wariancją z modelu 2 bo modele te zawierają część wspólną.

3 Modele (hipotezy) niezagnieżdżone
Nie istnieje transformacja odwzorowująca jeden z porównywalnych modeli w drugi. Modele te mogą zawierać taką samą lub różną liczbę parametrów. W takim przypadku nie można używać “zwykłej” statystyki F do oceny, który z modeli lepiej pasuje do danych doświadczalnych. Można utworzyć model rozszerzony a następnie porównać z nim przy pomocy testu F każdy z modeli cząstkowych. Często jednak okazuje się, że żaden z modeli nie jest odróżnialny od modelu rozszerzonego.

4 Sposób bardziej ogólny
Minimalizujemy F traktując parametry obu modeli (p i q) oraz l jako parametry minimalizacji. Następnie korzystamy z testów statystycznych (np. testu Studenta) aby określić przedział ufności l; kłopot powstaje jeżeli l wychodzi statystycznie różne od 0 albo 1.

5 Zasada największej wiarygodności (Maximum Likelihood Principle)
Mamy próbę (x1,x2,...,xn) f(x,l): funkcja określająca rozkład gęstości prawdopodobieństwa, gdzie l jest zestawem parametrów rozkładu. Zasada największej wiarygodności: najlepsze l maksymalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia próby. Ta zasada jest podstawą wszystkich metod estymowania parametrów rozkładu prawdopodobieństwa (a zatem i modelu matematycznego) z próby danych.

6 Ponieważ poszczególne elementy próby są niezależne
iloraz wiarygodności funkcja wiarygodności

7 Właściwości asymptotyczne funkcji wiarygodności
Dla dużych prób

8 Przypadek wielowymiarowy

9 Dla dużych prób rozkład parametrów staje się rozkładem normalnym z macierzą wariancji-kowariancji B.
Jeżeli jednak liczebność próby jest ograniczona to odchylenia od normalności rozkładu mogą być znaczne.

10 Przykład zastosowania zasady największej wiarygodności: obliczanie wartości średniej przy założeniu, że rozkład prawdopodobieństwa jest rozkładem normalnym

11 Test ilorazu wiarygodności Coxa
LF – wartość funkcji wiarygodności dla hipotezy HF LG – wartość ilorazu wiarygodności dla hipotezy HG.

12 Jeżeli hipoteza Hf jest prawdziwa, to zmienna Tf ma rozkład normalny z wartością średnią 0 i wariancją daną powyższym wzorem. W przeciwnym przypadku Tf jest istotnie mniejsze od 0. Uwaga! W przypadku gdy funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa odpowiada regresji jej logarytm jest minus sumą kwadratów odchyleń!

13 Przypadek regresji

14 Wariancja Tn

15 Literatura na temat testu Coxa
Podstawowe sformułowanie dla przypadków ogólnych: D.R. Cox, Tests of separate families of hypotheses. Proc. 4th Berkeley Symp. 1, (1961). D.R. Cox, Further results of separate families of hypotheses. J. Royal Stat. Soc. B, 24, (1962). Porównywanie różnych modeli regresji liniowej: G.R. Fisher, Tests for two separate regressions, J. Econom., 21, (1983) Porównywanie różnych modeli regresji nieliniowej: V. Aguirre-Torres, R. Gallant, The null and non-null asymptotic distribution of the Cox test for multivariate nonlinear regression. J. Econometrics, 21, 5-33 (1983).

16 Programy na zaliczenie
Program regresji liniowej y=ax+b w przypadku gdy obie zmienne są obarczone błędem. Program obliczający poziom ufności w teście Coxa porównywania dwóch niezagnieżdżonych modeli regresji (liniowej lub nieliniowej). Program dopasowujący sumę gaussianów do widma absorpcyjnego metodą regresji nieliniowej.