PLAN WYKŁADÓW Elementy analizy wektorowej

Prezentacja na temat: "PLAN WYKŁADÓW Elementy analizy wektorowej"— Zapis prezentacji:

1 PLAN WYKŁADÓW Elementy analizy wektorowej
Wiadomości podstawowe o polu elektromagnetycznym Równania podstawowe opisujące pole elektromagnetyczne i ich interpretacja Metody obliczania pól elektromagnetycznych Pole elektrostatyczne Dielektryki w stałym polu elektrycznym Środowiska przewodzące w stałym lub wolnozmiennym polu elektrycznym Pole przepływowe Pole magnetostatyczne Ferromagnetyki w polu magnetycznym Zmienne pole elektromagnetyczne Pole harmoniczne w przewodnikach i dielektrykach Właściwości energetyczne pola elektromagnetycznego Ekranowanie od pól elektromagnetycznych Przesył energii elektrycznej, falowody Pola sprzężone Dynamiczne działanie pola elektromagnetycznego (w procesach technologicznych Zagadnienie kompatybilności elektromagnetycznej

2 PRZEGLĄD RACHUNKU WEKTOROWEGO
UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH (KARTEZJAŃSKICH) Rys Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych). (a) Trzy wzajemnie prostopadłe płaszcz wyznaczają kartezjański układ odniesienia (x, y, z). (b) Położenie punktu w przestrzeni względem początku obranego układu odniesienia określają współrzędne tego punktu, tzn. jego odległości od początku układu mierzone wzdłuż osi x, y oraz z. (c) Infinitezymalne elementy objętości i powierzchni

3 UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH WALCOWYCH
Rys Układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych). (a) Przecięcie płaszczyzn stałego z oraz  z powierzchnią walcową o stałym promieniu r wyznacza cylindryczny układ odniesienia (r, , z). (b) kierunek wektorów jednostkowych (wersorów) ir oraz i zależy od kąta . (c) Infinitezymalne elementy objętości i powierzchni

4 UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH SFERYCZNYCH
Rys Układ współrzędnych sferycznych kulistych a) przecięcie płaszczyzny stałego kąta  z powierzchnią stożkową o stałym kącie  i powierzchnią kulistą o stałym promieniu r wyznacza sferyczny układ odniesienia (r, , ) b) Infinitezymalne elementy objętości i powierzchni

5 Tabela Infinitezymalne elementy długości, powierzchni i objętości w trzech podstawowych układach odniesienia. Każdemu elementowi powierzchni przypisano indeks odpowiadający współrzędnej prostopadłej do tego elementu Współrzędne prostokątne Współrzędne cylindryczne Współrzędne sferyczne

6 Wielkości wektorowe Pojęcia podstawowe W naukach fizycznych spotyka się dwa podstawowe rodzaje wielkości fizycznych, a mianowicie: skalary i wektory. Skalarem (wielkością skalarną) nazywamy wielkość fizyczną, która jest jednoznacznie określona przez jedną liczbę. Przykładami skalarów są: objętość, masa, ładunek elektryczny itp. Wektorem (wielkością wektorową) nazywamy wielkość fizyczną, która oprócz wartości (miary) ma kierunek i zwrot. Kierunek wektora określa prosta w prze­strzeni, a jego zwrot - jedna z dwóch możliwości poruszania się po tej prostej. Przykładami wektorów są: prędkość, siła itp. Wektory o początku umiejscowionym w określonym punkcie przestrzeni nazywamy wektorami związanymi. Wektorami swobodnymi nazywamy wektory, których początek może być przyjęty zupełnie dowolnie. Wektory oznaczone będą za pomocą tłustej czcionki (np. A). W przestrzeni trójwymiarowej wektor określony jest przez trzy składowe. Wobec tego mówi się, że wektor jest uporządkowanym zbiorem trzech liczb, przedstawiających składowe. Składowe wektora zależą od zastosowanego układu współrzędnych. Wektorem jednostkowym nazywamy wektor o wartości liczbowej (mierze) równej jedności. Wektory jednostkowe mające kierunek styczny do linii współrzędnych i zwrot zgodny ze wzrostem odpowiedniej współrzędnej, nazywamy wersorami.

7 Funkcja wektorowa. Pole wektorowe
Przypuśćmy, że w każdym punkcie obszaru V określony jest wektor A, wobec tego jest on funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z, czyli A(x, y,z). W ogólnym przypadku wektor A może zależeć jeszcze od czasu t. Otrzymuje s w ten sposób , funkcję wektorową A(x, y, z, t), która jest równoważna trzem funkcjom skalarnym: Ax(x, y, z, t), Ay(x, y, z, t) oraz Az(x, y, z, t), przedstawiającym poszczególne składowe wektora. Funkcja wektorowa określona w pewny obszarze przedstawia pole wektorowe w tym obszarze. Funkcję wektorową A(x, y, z, t) będziemy często oznaczać A(P, t), gdzie P jest punktem o współrzędnych x, y, z. Linią pola wektorowego lub krótko linią pola nazywamy krzywą, której styczna ma kierunek wektora pola w tym punkcie. Polem równomiernym nazywamy pole, w którym wektor pola jest stały, czyli ma stałą wartość liczbową (miarę) oraz stały kierunek i zwrot. Linie pola równomiernego są prostymi równoległymi.

8 MNOŻENIE WEKTORA PRZEZ SKALAR DODAWANIE ORAZ ODEJMOWAME WEKTORÓW
Pomnożenie wektora przez dodatni skalar nie powoduje zmiany jego kierunku ani zwrotu, lecz jedynie zmianę jego długości. Natomiast wskutek pomnożenia wektora przez ujemny skalar zwrot wektora zostaje zamieniony na przeciwny (3) DODAWANIE ORAZ ODEJMOWAME WEKTORÓW Sumą dwóch wektorów jest wektor o składowych będących sumą odpowiedz składowych obu wektorów. Różnicą dwóch wektorów jest wektor o składowych będąc; różnicą odpowiednich składowych obu wektorów. Dodając lub odejmując wektor B o postaci (4) do wektora A, patrz (1), otrzymujemy w wyniku nowy wektor C (5) Geometrycznie, suma dwóch wektorów jest reprezentowana przez przekątną równoległoboku utworzonego przez oba wektory A oraz B i skierowaną w sposób pokazany na rys. 1.5a. Różnicę dwóch wektorów otrzymuje się po uprzednim narysowaniu wektora - B i wykreśleniu przekątnej równoległoboku utworzonego przez wektory A oraz -B. Sumę dwóch wektorów można również wyznaczać umieszczając koniec jednego z tych; wektorów w punkcie będącym początkiem drugiego (patrz rys. 1.5b).

9 Rys Wyznaczanie sumy i różnicy dwóch wektorów: (a) metodą równoległoboku (polegającą na wykreślaniu przekątnej równoległoboku utworzonego przez dodawane lub odejmowane wektory) oraz (b) metodą wieloboku (polegającą na umieszczaniu końca jednego wektora w początku drugiego) Odjęcie wektora jest równoważne dodaniu tego wektora, ale wziętego z przeciwnym znakiem. Odjęcie wektora jest równoważne dodaniu tego wektora, ale wziętego z przeciwnym znakiem.

10 ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest następująco zdefiniowany skalar: (6) gdzie  jest mniejszym z kątów pomiędzy mnożonymi skalarnie wektorami. Czynnik Acos jest składową wektora A pokrywającą się z kierunkiem wektora B (patrz rys. 1.7). Iloczyn skalarny znajduje jedno ze swoich licznych zastosowań przy obliczaniu infinitezymalnej pracy dW potrzebnej do przesunięcia siłą F dowolnego ciała materialnego o nie skończenie mały wektor przemieszczenia dl. Pracę wykonuje jedynie składowa siły l równoległa do wektora przemieszczenia (7)

11 Iloczyn skalarny osiąga wartość maksymalną, gdy mnożone przez siebie skalarnie wektory są współliniowe (kolinearne), gdyż wówczas  = 0. Iloczyn skalarny wektorów wzajemnie prostopadłych ( = /2) jest równy zeru. Z powyższych własności wynika, ż iloczyn skalarny różnych ortogonalnych wektorów jednostkowych zaczepionych w tym samym punkcie wynosi zero, natomiast pomnożenie skalarne wektora jednostkowego przez samego siebie daje w wyniku jedność. A zatem mnożąc skalarnie dowolny wektor przez samego siebie, otrzymujemy kwadrat długości tego wektora: (8) Widzimy więc, że iloczyn skalarny wektorów można przedstawić również w postaci (9) Z wyrażeń (6) oraz (9) wynika, że iloczyn skalarny jest przemienny (10) Porównując wzory (6) i (9) możemy wyznaczyć kąt między tymi wektorami (11) Relacje analogiczne do (9) obowiązują również po zastąpieniu (x, y, z) przez (r,  , z) lub (r, , ), odpowiednio w walcowym i sferycznym układzie współrzędnych

12 gdzie  jest kątem zawartym pomiędzy wektorami A i B
ILOCZYN WEKTOROWY Iloczynem wektorowym A x B wektora A przez B nazywamy wektor prostopadły do obu wektorów A oraz B i zwrócony w kierunku wskazywanym przez kciuk prawej dłoni ustawionej w sposób pokazany na rys Długość takiego wektora wynosi (12) gdzie  jest kątem zawartym pomiędzy wektorami A i B Rys (a) Iloczynem wektorowym dwóch wektorów jest wektor prostopadły do obu tych wektorów i skierowany zgodnie z regułą trzech palców prawej dłoni. (b) Odwrócenie kolejności czynników iloczynu wektorowego powoduje zamianę jego zwrotu na Geometrycznie wartość wyrażenia (12) odpowiada polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach A oraz B jako na sąsiednich bokach. Zmiana kolejności czynników iloczynu wektorowego powodu zamianę jego znaku na przeciwny: (13) Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych ( = 0) jest równy zeru, a zatem mnożąc wektorowo dowolny wektor przez samego siebie otrzymujemy w wyniku zero. Iloczyn wektorowy osiąga maksimum dla wektorów prostopadłych ( = /2).

13 Wersory prostokątnego układu współrzędnych spełniają następujące zależności:
(14) Powyższe związki umożliwiają proste zdefiniowanie prawoskrętnego układu współrzędnych jako takiego, w którym zachodzi ' (15) Analogiczne zależności spełnione są również przez prawoskrętny walcowy i sferyczny układ współrzędnych (16) Związki (14) umożliwiają zapisanie iloczynu wektorowego wektorów A i B jako (17) co daje się w zwarty sposób przedstawić w postaci następującego wyznacznika: (18)

14 Cykliczna i uporządkowani permutacja x, y, z umożliwia szybkie i łatwe odtworzenie wyrażeń (17) i (18). Jeśli wyobrazimy sobie, że xyz symbolizuje tydzień złożony z trzech dni, w którym po ostatnim dniu tygodnia, tzn. z, następuje pierwszy dzień tygodnia, tzn. x, to upływ dni w takim "kalendarzu" można zapisać jako: xyz x yzx y zxy z..., (19) gdzie wszystkie trzy możliwe parzyste permutacje zostały podkreślone. Te właśnie permutacje xyz występujące jako wskaźniki dolne w wyrażeniu (18) mają znak dodatni, natomiast nieparzyste permutacje, w których elementy xyz nie występują sekwencyjnie, a więc xzy, yxz, zyx (20) mają znak ujemny. W wyrażeniach (14)-(20) stosowaliśmy współrzędne kartezjańskie, ale wyniki byłyby takie same, gdybyśmy sekwencyjnie zastąpili x, y, z współrzędnymi walcowymi (r, , z) lub sferycznymi (r, , ).

15 GRADIENT I OPERATOR NABLA
W wielu zagadnieniach fizycznych często badamy własności pola skalarnego f(x, y, z) w otoczeniu pewnego wybranego punktu. Różniczka funkcji df przy infinitezymalnym przejściu z punktu o współrzędnych (x, y, z) do punktu o współrzędnych (x+dx, y+dy, z+dz) jest równa (1) Określając wektor infinitezymalnego przemieszczenia jako (2) możemy zapisać (1) w postaci iloczynu skalarnego (3) gdzie znajdująca się w nawiasach pochodna przestrzenna pola skalarnego zdefiniowana jest jako gradient pola f: (4) Wprowadzony powyżej symbol  reprezentuje wektorowy operator różniczkowy zwany operatorem nabla (lub Hamiltona), oznaczany niekiedy, zwłaszcza w literaturze angielsko języcznej, również jako "del" (zapis  czytamy więc jako „nabla ). Ten symboliczny wektor zdefiniowany jest zatem następująco (5)

16 Operator nabla sam w sobie nie ma żadnego znaczenia, jednakże podziałanie nim na funkcję skalarną w sposób odpowiadający formalnemu pomnożeniu tych wielkości przez siebie jest równoważne wykonaniu operacji wyznaczenia gradientu tejże funkcji. Wkrótce przekonamy się, że formalne utworzenie iloczynów skalarnych i wektorowych operatora nabla z dowolnym wektorem również określa pewne przydatne operacje rachunku wektorowego. Korzystając z powyższych definicji, możemy wzór (3) na różniczkę zupełną funkcji f zapisać w następującej postaci: (6) gdzie  jest kątem pomiędzy f a wektorem położenia dl. Funkcja f osiąga maksimum; gdy wektor dl jest współliniowy z wektorem f, wtedy bowiem  = 0. Widzimy więc, że gradient przyjmuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji f. Wektory styczne do linii stałych wartości funkcji f tworzą z gradientem kąt  = /2, a zatem z definicji df = 0.

17 WSPÓŁRZĘDNE KRZYWOLINIOWE
a) Współrzędne walcowe Gradientem funkcji skalarnej f w dowolnym układzie odniesienia jest taka funkcja wektorowa, która pomnożona skalarnie przez dl daje w wyniku df W układzie współrzędnych walcowych różniczka zupełna funkcji f(r, , z) wyrażona jest wzorem: (7) Wektor infinitezymalnego przemieszczenia jest równy (8) a zatem wyrażenie na gradient we współrzędnych cylindrycznych ma postać (9)

18 b) Współrzędne sferyczne
Analogicznie rzecz się ma w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie wektor przemieszczenia wynosi (10) a różniczka zupełna funkcji skalarnej f(r, , ) (11) Podstawiając (10) do (11), otrzymujemy wyrażenie na gradient w sferycznym układzie odniesienia (12)

19 CAŁKA KRZYWOLINIOWA W paragrafie uzasadnialiśmy przydatność wprowadzenia operacji obliczania iloczynu skalarnego na przykładzie definicji pracy elementarnej, której wartość zależy wyłącznie od składowej siły F skierowanej zgodnie z kierunkiem wektora infinitezymalneg przemieszczenia dl ciała materialnego, z którego przesunięciem wiąże się wykonywam praca. Całkowitą pracę potrzebną do przesunięcia ciała materialnego wzdłuż dowolnie krzywej obliczamy sumując elementarne prace wykonane na każdym z niewielkich odcinków, z których składa się droga przebyta przez ciało (patrz rys. 1.1 l). Rys Całkowita praca wykonana podczas przesuwania ciała materialnego wzdłuż dowolnej drogi jest w przybliżeniu równa sumie prac cząstkowych potrzebnych do przesunięcia tego ciała o niewielkie wektor dl łączące kolejne punkty leżące na tej drodze. Przejście z długością wektorów dl do zera powoduje zamianę sumowania w całkowanie wzdłuż krzywej, dzięki czemu wynik jest już wynikiem dokładnym a nie, jak poprzednio, przybliżonym

20 Jeśli podzielimy tę drogę na N niewielkich przesunięć dl1, d12,
Jeśli podzielimy tę drogę na N niewielkich przesunięć dl1, d12, ..., dln, to wykonana praca jest w przybliżeniu równa (13) Dokładny wynik otrzymujemy przechodząc z N do nieskończoności, gdyż w miarę nieograniczonego wzrostu N każde przesunięcie dln staje się nieskończenie małe (14) W szczególności scałkujemy funkcję (3) wzdłuż przedstawionej na rys. 1.12a krzywej łączącej punkty a i b (15)

21 Rys Całka składowej gradientu dowolnej funkcji obliczana wzdłuż dowolnego konturu zależy wyłącznie od współrzędnych początkowego i końcowego punktu drogi całkowania, a nie od jej kształtu. (a) Wszystkie przedstawione kontury całkowania zaczynają się i kończą w tych samych punktach a oraz b, a zatem wartość całki krzywoliniowej f liczonej kolejno wzdłuż tych konturów jest taka sama. (b) Całka krzywoliniowa gradientu dowolnej funkcji po dowolnej krzywej zamkniętej (a = b) jest równa zeru. (c) Wartości całki krzywoliniowej gradientu funkcji z przykładu (1.5) liczonej od początkowego punktu układu odniesienia do punktu P są dla wszystkich dróg całkowania identyczne Ponieważ df jest różniczką zupełną, więc jej całka krzywoliniowa zależy wyłącznie od końcowych punktów (a nie od kształtu) drogi całkowania. A zatem wartości całek krzywoliniowych f obliczonych wzdłuż wszystkich przedstawionych na rys krzywych łączących ze sobą punkty a oraz b są identyczne, niezależnie od postaci funkcji f. Jeżeli rozpatrywany kontur jest krzywą zamkniętą, tzn. a = b, tak jak to pokazano na rys. 1.12b, to całka (15) jest równa zeru (16) gdzie posłużyliśmy się symbolem całki okrężnej , by zaznaczyć, że droga całkowania jest krzywą zamkniętą. Całka krzywoliniowa gradientu dowolnej funkcji po krzywej zamkniętej jest zawsze równa zeru.

22 STRUMIEŃ I DYWERGENCJA
Jeżeli dokonując pomiaru całkowitej masy cieczy wpływającej do objętości przedstawionej na rys stwierdzimy, że jest ona mniejsza od masy cieczy wypływającej, to domyślamy się, że we wnętrzu tej objętości musi znajdować się dodatkowe źródło cieczy. Jeżeli natomiast masa wypływająca, jest mniejsza od masy wpływającej, to 'wewnątrz rozpatrywanej objętości znajduje się upust (źródło ujemne), przez który uchodzi część cieczy. Gdy we wnętrzu rozważanej objętości nie ma źródeł dodatnich ani ujemnych, wtedy masa cieczy wpływającej jest dokładnie równa masie cieczy wypływającej, a linie przepływu są ciągłe. Linie przepływu zaczynają się u źródła dodatniego a kończą u źródła ujemnego. Rys Wartość wypadkowego strumienia przepływającego przez zamkniętą powierzchnię informuje o ewentualnej obecności wewnątrz otoczonej tą powierzchnią objętości źródeł dodatnich lub ujemnych

23 STRUMIEŃ Poprzez analogię do opisanego wyżej zjawiska przepływu cieczy wprowadzimy teraz pojęcie strumienia  wektora A przez zamkniętą powierzchnię (1) Infinitezymalny element powierzchniowy dS jest wektorem o długości liczbowo równej polu powierzchni elementarnego płata powierzchni, a kierunku oraz zwrocie jednostkowego wektora normalnego n skierowanego na zewnątrz powierzchni S (patrz rys. 1.14). Rys Strumień wektora A przepływający przez zamkniętą powierzchnię S jest równy całce powierzchniowej składowej wektora A prostopadłej do powierzchni S. Zwrot infinitezymalnego wektorowego elementu powierzchniowego dS jest taki sam jak zwrot jednostkowego wektora normalnego n

24 Jedynie składowa wektora A prostopadła do powierzchni S wnosi przyczynek do strumienia, ponieważ składowa styczna A powoduje wyłącznie przemieszczanie wektora A wzdłuż powierzchni a nie poprzez nią. Gdy wektor A ma składową współliniową z wektorem dS i skierowaną na zewnątrz powierzchni S, wtedy wnosi on dodatni przyczynek do strumienia. Jeśli natomiast składowa normalna wektora A skierowana jest do wnętrza objętości, to przyczynek do strumienia jest ujemny. Jeśli wewnątrz objętości V otoczonej powierzchnią S nie występuje żadne źródło wektora A, to całkowity strumień wpływający do objętości V jest równy strumieniowi wypływającemu, a zatem wypadkowy strumień jest równy zeru. Znajdujące się we wnętrz objętości V dodatnie źródło wektora A powoduje, że strumień wypływający jest więksi od wpływającego, wskutek czego sumaryczny strumień jest dodatni ( > 0). Natomiast; obecność ujemnego źródła powoduje, że strumień wpływający jest mniejszy od wypływającego, wówczas sumaryczny strumień jest ujemny ( < 0). Z powyższego wynika, że zarówno znak jak i wartość sumarycznego strumienia zależy od wielkości pola wektorowego przechodzącego przez rozważaną powierzchnię oraz od występowania dodatnich i ujemnych źródeł pola wektorowego wewnątrz objętości otoczonej tą powierzchnią.

25 DYWERGENCJA O zależności pomiędzy szybkością zmiany pola wektorowego a jego źródłami możemy dowiedzieć się więcej po zastosowaniu wyrażenia (1) do elementarnej objętości, którą dla uproszczenia rozumowania uznamy za prostopadłościenną (patrz rys. 1.15). Rys Infinitezymalny prostopadłościenny element objętości stosowany do zdefiniowania dywergencji wektora we współrzędnych kartezjańskich

26 Rozpatrywany element objętości składa się z trzech par płaskich powierzchni bocznych prostopadłych do odpowiednich osi układu odniesienia, a zatem ze wzoru (1) wynika, że strumień przez te powierzchnie wynosi (2) gdzie powierzchnie oznaczone cyframi primowanymi znajdują się w infinitezymalnej odległości od powierzchni oznaczonych cyframi nieprimowanymi. Pojawienie się znaku minus we wzorze (2) wynika z faktu, że skierowane na zewnątrz normalne do powierzchni primowanych mają zwrot przeciwny w stosunku do zwrotu osi układu odniesienia. Z uwagi na nieskończenie małe wymiary rozpatrywanych powierzchni składowe wektora A są wzdłuż każdej z powierzchni w przybliżeniu stałe; a zatem całki powierzchniowe w wyrażeniu (2) są zwykłymi iloczynami składowej wektora A prostopadłej do powierzchni przez pole tej powierzchni. Tak więc rozpatrywany strumień sprowadza się do (3)

27 Wyrażenie (3) zapisaliśmy w powyższej postaci dlatego, że przy przejściu z objętością prostopadłościanu do zera każdy wyraz w nawiasach staje się pochodną cząstkową (4) gdzie jest objętością otoczoną powierzchnią S. Współczynnik stojący przed V we wzorze (4) jest skalarem i nosi nazwę dywergencji (lub rozbieżności) wektora A. Rozpoznajemy w nim iloczyn skalarny wprowadzonego w § operatora nabla i wektora A (5)

28 WSPÓŁRZĘDNE KRZYWOLINIOWE
Wyznaczanie dywergencji interesującego nas wektora we współrzędnych walcowych i sferycznych nie sprowadza się do prostego obliczenia iloczynu skalarnego operatora nabla i tego wektora, gdyż kierunki wersorów w tych układach są funkcjami współrzędnych. Wskutek tego pochodne wersorów wnoszą niezerowe przyczynki do dywergencji. Najdogodniej jest więc posługiwać się uogólnioną, niezależną od układu odniesienia, definicją dywergencji, która wynika z równań (1)  (5) i ma następującą postać: (6) a) Współrzędne walcowe W celu obliczenia sumarycznego strumienia w układzie współrzędnych walcowych korzystamy z niewielkiej objętości pokazanej na rys. 1.16a (7) Również i w tym przypadku, z uwagi na infinitezymalne wymiary rozważanej objętości możemy traktować ją jako dobre przybliżenie prostopadłościanu oraz przyjąć, że wzdłuż każdej z jej ścianek składowe wektora A są w przybliżeniu stałe.

29 Wyprowadzając w wyrażeniu (7) objętość przed nawias otrzymujemy
(8) Przejście z długościami krawędzi prostopadłościanu do zera powoduje, że wyrażenie w nawiasach stają się pochodnymi cząstkowymi, natomiast (8) jest już dokładnym, a nie przybliżonym wzorem. A zatem dywergencja wektora A we współrzędnych walcowych ma następującą postać: (9)

30 b) Współrzędne sferyczne
Postępując analogicznie ze sferycznym elementem objętości (patrz rys. 1.16b), otrzymujemy wyrażenie na sumaryczny strumień przepływający przez powierzchnie tego elementu (10) A zatem dywergencja wektora A we współrzędnych sferycznych wyraża się następująco: (11)

31 TWIERDZENIE GAUSSA Rys Niezerowe przyczynki do strumienia wektora pochodzą jedynie od elementów powierzchniowych tworzących zewnętrzną powierzchnię otaczającą rozpatrywaną objętość. (a) We wnętrzu objętości strumień wypływający z jednego infinitezymalnego elementu objętościowego wplywa natychmiast do sąsiedniego elementu, gdzie (b) zewnętrzne normalne do wspólnej powierzchni rozdzielającej oba elementy mają przeciwne zwroty Na rysunku 1.17b widzimy, że strumień przechodzący przez każdą z zewnętrznych powierzchni sąsiadujących ze sobą objętości elementarnych wypływając z jednej objętości (wnosząc dodatni przyczynek do sumarycznego strumienia wpływa natychmiast do sąsiedniej objętości (dając ujemny przyczynek do sumarycznego strumienia). Wypadkowy strumień przechodzący przez wszystkie wewnętrzne powierzchni całki powierzchniowej (1) jest zatem równy zeru. Różny od zera przyczynek do strumieni pochodzi wyłącznie od elementarnych powierzchni tworzących zewnętrzną powierzchnię . objętości V. Pomimo to, że przyczynki od poszczególnych elementarnych powierzchni do całkowitego strumienia, zgodnie z (1), znoszą się dla wszystkich wewnętrznych objętości to strumień wyrażony, na podstawie (4), poprzez dywergencję sumuje się dla każdej z elementarnych objętości. Dodając do siebie wszystkie przyczynki wnoszone do całkowitego strumienia, pochodzące od każdej z infinitezymalnej objętości, otrzymujemy końcowi postać twierdzenia Gaussa:

32 gdzie objętość V otoczona powierzchnią S może mieć wymiary makroskopowe. To mocne twierdzenie umożliwia zamianę całki powierzchniowej na równoważną jej całkę objętościową i dlatego będziemy z niego wielokrotnie korzystać w toku naszego wykładu teorii pola elektromagnetycznego. Przykład 1.6. Twierdzenie Gaussa Sprawdzić poprawność twierdzenia Gaussa dla wektora A = xix+yiy+ziz = rir, porównując obie strony (12) dla prostopadłościennej objętości przedstawionej na rys. 1.18 Rozwiązanie Łatwiej jest obliczyć całkę objętościową po prawej stronie (12), gdyż dywergencja wektora A jest stałą. We współrzędnych prostokątnych otrzymujemy Rys Ilustracja do przykładu 1.6, sprawdzającego poprawność twierdzenia Gaussa dla przypadku strumienia radialnego wektora wypływającego z prostopadłościennej objętości

33 ROTACJA I TWIERDZENIE STOKESA
Kilkakrotnie już na przykładzie pojęcia pracy uzasadnialiśmy potrzebę wprowadzenia pewnych zależności wektorowych i całkowych. Postąpmy tak również i teraz, obliczając całkę krzywoliniową wektora A po krzywej zamkniętej L, zwaną całką okrężną lub cyrkulacją: (1) Rys (a) Infinitezymalny prostokątny kontur stosowany do zdefiniowania cyrkulacji (całki okrężnej). (b) Reguła prawej dłoni określa dodatni zwrot normalnej do konturu całkowania

34 gdzie, jeśli przyjmiemy, że C symbolizuje pracę, to A - siłę
gdzie, jeśli przyjmiemy, że C symbolizuje pracę, to A - siłę. Obliczmy wartość całki (1) dla infinitezymalnego konturu przedstawionego na rys. 1.19a (2) Składowe pola wektorowego A wzdłuż każdego z infinitezymalnych boków prostokąta są w przybliżeniu stałe, a zatem całkę (2) można aproksymować w następujący sposób (3) gdzie wspólne czynniki zostały wyprowadzone poza nawias, tak, aby po przejściu z x: oraz y do zera wyrażenie (3) stało się już dokładnym a nie przybliżonym wzorem, a wyrazy w nawiasach - pochodnymi cząstkowymi (4) Kontur przedstawiony na rys. 1.19a mógłby równie dobrze leżeć w płaszczyźnie xz lub yz i wówczas wyrażenie (4) przybierałoby następujące postacie: (5)

35 będące prostymi dodatnimi permutacjami współrzędnych x, y oraz z.
Pochodne cząstkowe we wzorach (4) i (5) są, jak można zauważyć, składowymi iloczynu wektorowego operatora nabla (patrz § 1.3.1) i wektora A. Ten iloczyn wektorowy nosi; nazwę rotacji (lub wirowości) wektora A i jest również wektorem (6) Postać wyrażenia (6) łatwo jest odtworzyć korzystając z cyklicznej permutacji współrzędnych x, y oraz z (patrz § 1.2.5). Posługując się definicją rotacji, można w zwięzły sposób zapisać całkę okrężną (cyrkulację) dla dowolnego infinitezymalnego konturu jako (7) gdzie dS = ndS jest elementem powierzchniowym skierowanym zgodnie z wektorem normalnym n do płaszczyzny drogi całkowania, którego zwrot określony jest regułą prawej dłoni. Reguła ta głosi mianowicie, że ułożenie czterech palców prawej dłoni zgodnie z kierunkiem obiegu konturu powoduje, że wyprostowany kciuk wskazuje zwrot normalnej n.

36 W celu uzmysłowienia sobie fizycznego sensu rotacji dogodnie jest posługiwać się w dalszym ciągu modelem pola prędkości cieczy, jednakże należy zauważyć, że ogólne wyniki i twierdzenia stosują się do dowolnego pola wektorowego. Wyobraźmy sobie zatem, że w strumieniu cieczy umieszczamy początkowo nieruchomy wiatraczek. Jeśli pole prędkości rozpatrywanej cieczy ma pewną cyrkulację, tzn. charakteryzuje się różną od zera rotacją, to wiatraczek ten zaczyna się obracać (patrz rys. 1.20). Wyznaczona składowa rotacji pokrywa się z osią wiatraczka. Rys Jeśli rotacja pola prędkości cieczy jest równa zeru, to całkowicie zanurzone w niej koło łopatkowe pozostaje w bezruchu. Jeśli natomiast rotacja ta jest różna od zera, to koło się obraca. Kciuk prawej dłoni, której zgięte palce pokrywają się z kierunkiem obrotów koła, wskazuje zwrot wyznaczonej składowej rotacji pola wektorowego prędkości cieczy

37 ROTACJA WE WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH
Niezależną od układu odniesienia definicję rotacji otrzymujemy podstawiając wyrażenie (7) do wzoru (1) (8) gdzie wskaźnikiem n oznaczono składową rotacji prostopadłą do konturu całkowania. Wyprowadzenie wzoru na rotację we współrzędnych walcowych i sferycznych jest proste, aczkolwiek pracochłonne. a) Współrzędne walcowe W celu wyrażenia każdej ze składowych rotacji we współrzędnych walcowych posłużymy się trzema wzajemnie prostopadłymi konturami przedstawionymi na rys

38 Rys Infinizytemalne kontury całkowania poprowadzone wzdłuż krawędzi cylindrycznych elementów powierzchniowych, służące do obliczenia wszystkich trzech składowych rotacji wektora we współrzędnych cylindrycznych

39 Obliczając całkę krzywoliniową wzdłuż konturu a
(9) otrzymujemy radialną składową rotacji w postaci: (10) Obliczając następnie całkę krzywoliniową wzdłuż konturu b

40 uzyskujemy składową  rotacji
(12) Składową z rotacji obliczamy posługując się konturem c (13) a zatem (14) Tak więc wyrażenie na rotację wektora w układzie współrzędnych walcowych przybiera następującą postać: (15)

41 b) Współrzędne sferyczne
Przeprowadzenie operacji analogicznych do powyższych na trzech infinitezymalnych konturach elementu sferycznego przedstawionego na rys prowadzi do wyrażenia na rotację w sferycznym układzie odniesienia. Rys Infinitezymalne kontury całkowania poprowadzone wzdłuż krawędzi sferycznych elementów powierzchniowych, służące do obliczenia wszystkich trzech składowych rotacji wektora we współrzędnych sferycznych

42 Do obliczenia składowej radialnej rotacji wykorzystujemy kontur a:
(16) z czego wynika, że (17) Składową  rotacji obliczamy korzystając z konturu b (18) jako (19)

43 Składową  rotacji obliczamy korzystając z konturu c
(20) i uzyskujemy (21) Na podstawie (17), (19) i (21) otrzymujemy zatem następujące wyrażenie na rotację dowolnego wektora we współrzędnych sferycznych: (22)

44 i utwórzmy z nich makroskopową powierzchnię S (patrz rys. 1.23).
TWIERDZENIE STOKESA Połączmy teraz ze sobą wiele takich infinitezymalnych płaskich konturów, jak przedstawione na rysunkach 1.19 oraz 1.21, i utwórzmy z nich makroskopową powierzchnię S (patrz rys. 1.23). Rys Niezerowy przyczynek do cyrkulacji wnoszą jedynie te fragmenty elementarnych konturów, które pokrywają się z granicznym konturem L

45 Każdy infinitezymalny kontur na tej powierzchni wnosi pewien przyczynek do cyrkulacji: (23)
a zatem całkowita cyrkulacja jest sumą składowych cyrkulacji pochodzących od wszystkich elementów powierzchniowych (24) Każde z wyrażeń (23) jest równoważne całce krzywoliniowej liczonej po dowolny z elementarnych konturów. Jednakże wszystkie wewnętrzne kontury mają wspólne boki z sąsiednimi konturami, wskutek czego boki te są obiegane dwukrotnie, lecz w przeciwnych kierunkach, co powoduje, że przyczynek od takiego boku do całki krzywoliniowej je; równy zeru (patrz rys. 1.23). Jedynie zewnętrzne kontury, których boki pokrywają się z brzegiem L powierzchni S, wnoszą niezerowy przyczynek do całki. Wynik, który otrzymujemy po dodaniu przyczynków od wszystkich konturów, nosi nazwę twierdzenia Stokesa Twierdzenie to umożliwia zamianę całki krzywoliniowej po konturze (krzywej zamkniętej) L tworzącej brzeg rozpatrywanego obszaru na całkę powierzchniową po dowolnej po wierzchni S ograniczonej tym konturem: (25) Zauważmy, że liczba powierzchni otoczonych takim samym konturem L jest nieograniczona. Założenia twierdzenia Stokesa są zatem spełnione dla wszystkich tych powierzchni

46 Sprawdzić poprawność twierdzenia Stokera (25) dla przedstawionego na rys kołowego konturu L leżącego na płaszczyźnie xy i znajdującego się w polu wektorowym yix+xiy-ziz = Rys Wartość całki powierzchniowej notacji wektora (tu z przykładu 1.7) po dowolnych powierzchniach ograniczonych tym samym konturem L jest, zgodnie z twierdzeniem Stokesa, zawsze taka samaPorównać wyniki obliczone dla:(a) płaskiej kołowej powierzchni położonej w płaszczyźnie xy, (b) półkolistej powierzchni ograniczonej konturem L,powierzchni cylindrycznej ograniczonej konturem L. Rozwiązanie

47 WYBRANE TOŻSAMOŚCI WEKTOROWE
Operacje obliczania rotacji, dywergencji i gradientu mają kilka prostych lecz . pożytecznych własności, które będą często wykorzystywane w dalszym toku naszego wykładu. a) Rotacja gradientu jest równa zeru Scałkujmy normalną składową wektora po dowolnej powierzchni i zastosujmy twierdzenie Stokesa: (26) co wynika ze wzoru (16) z § 1.3.3, w którym stwierdziliśmy, że całka krzywoliniowa gradientu dowolnej funkcji po drodze zamkniętej jest równa zeru. Warunek ten jest spełniony dla dowolnej powierzchni, a zatem współczynnik wektorowy przy dS w (26) musi być równy zeru: (27) Tożsamość tę można również łatwo wykazać korzystając z wyznacznika definiującego rotację (patrz § 1.5.1): (28) Każdy ze znajdujących się w nawiasach składników wzoru (28) jest równy zeru, ponieważ kolejność różniczkowania jest w tym przypadku nieistotna.

48 b) Dywergencja rotacji jest równa zeru
Nie należy dać się zwieść pokusie zastosowania twierdzenia Gaussa do całki powierzchniowej w twierdzeniu Stokesa (25). Założenia twierdzenia Gaussa mówią bowiem o powierzchni zamkniętej, natomiast twierdzenie Stokesa, w swojej ogólnej postaci, dotyczy powierzchni otwartej. Aby móc zastosować twierdzenie Stokesa do powierzchni zamkniętej, kontur całkowania L musi dążyć do zera. Całka krzywoliniowa po takim konturze równa się zatem zeru. Zastosowanie twierdzenia Gaussa do zamkniętej powierzchni znajdującej się w polu wektorowym  x A prowadzi do następującego wyniku: (29) co dowodzi słuszności postulowanej tożsamości, ponieważ objętość całkowania jest dowolna. Możemy również podejść do tego zagadnienia bardziej bezpośrednio, wykonując wymagane różniczkowania (30) gdzie również kolejność różniczkowania jest nieistotna.