LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE

Prezentacja na temat: "LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE"— Zapis prezentacji:

1 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie ZSOiZ w Pogorzeli ID grupy: 97/2_mf_g1 97/63_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Geometria w programie C.a.R. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

3 Geometria w programie C.a.R.
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Geometria w programie C.a.R.

4 Spis treści Compasses and Ruler 7 Środowisko C.a.R. 9
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Compasses and Ruler 7 Środowisko C.a.R. 9 MENU plik 10 MENU akcje 11 Menu settings 12 Menu pomoc 13 Tworzenie obiektów 14 Konstrukcje – punkt na obiekcie 15 Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów 17 Konstrukcje w praktyce 19 Rozwiązanie zadania 20 Konstrukcje krok po kroku 21 Dynamiczne konstrukcje euklidesowe 28

5 Spis treści Zadania maturalne i C.a.r 29
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Zadania maturalne i C.a.r 29 Matura 2010 poziom podstawowy zad Rozwiązanie 30 Matura 2010 poziom rozszerzony zadanie 1 31 Rozwiązanie 32 Dynamiczne konstrukcje analityczne 34 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 3 35 Rozwiązanie 36 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 8 38 Rozwiązanie 39 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 9 41 Rozwiązanie 42

6 Spis treści Odcinki i proste w trójkącie 44 Okrąg i trójkąt 48
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Odcinki i proste w trójkącie 44 Wysokość 44 Symetralna 45 Dwusieczna 46 Środkowa 47 Okrąg i trójkąt 48 Okrąg wpisany w trójkąt 48 Okrąg opisany na trójkącie 49 Koniec 50

7 WPROWADZENIE >STATYSTYKA
Compasses and Ruler C.a.R. (Compasses and Ruler) to narzędzie do badania fragmentów wiedzy matematycznej wywodzących się z geometrii euklidesowej i analitycznej. Program umożliwia tworzenie dynamicznych konstrukcji geometrycznych (dynamic geometry software, w skrócie DGS). Tworząc jedną figurę tworzy się całą rodzinę figur. Można zmieniać położenie punktów konstrukcyjnych, całość może być animowana w czasie rzeczywistym. Pozwala to na obserwację figury w świetle wielu różnych przypadków jej istnienia.

8 WPROWADZENIE > ZBIOROWOŚĆ STATYSTYCZNA, DANE STATYSTYCZNE
Compasses and Ruler Program C.a.R (z ang. Cyrkiel i Linijka) autorstwa doktora R.Grothmanna jest bezpłatny. Program ten działa w systemie Windows i jest bardzo prosty w obsłudze.

9 Środowisko C.a.R. Praca w programie to praca w oknach.
Figury są rysowane w oknie arkusza rysunkowego, który nie jest ograniczony do rozmiarów ekranu. Arkusz można przesuwać. Komendy operacji są zgrupowane w menu. Do wielu komend możliwy jest szybki dostęp poprzez ikonki.

10 MENU plik Służy do: tworzenia nowej, otwierania istniejącej oraz zapisywania konstrukcji, czyszczenia bądź dołączania makroprogramów, kompresowania, drukowania, eksportowania plików, kończenia pracy z programem.

11 MENU akcje Służy do rysowania punktów, prostych, półprostych, kątów, prostych prostopadłych, równoległych, okręgów, środków odcinków. Pozwala przesuwać obiekty. Umożliwia pracę z obiektami ozdobnymi, funkcjami. Pozwala na edytowanie, ukrywanie, usuwanie, rysowanie myszą obiektów, wprowadzanie nazewnictwa, oraz czyszczenia rysunku.

12 WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu settings Umożliwia wszelkie ustawienia aplikacji, np. ustawienia języka w jakim ma pracować program, ustawienia okna,. Pozwala pracować w dwóch trybach, trybie szkolnym oraz dla początkujących.

13 Menu pomoc informuje o wersji programu, jego autorze.
WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE > ZASADY DOBREJ ANKIETY LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu pomoc informuje o wersji programu, jego autorze. oferuje pomoc kontekstową, łączy z internetem, konfiguruje przeglądarkę. Informuje o nowościach w bieżącej wersji. Nie wszystkie polecenie menu zostały przetłumaczone na język polski.

14 Tworzenie obiektów Komendy: punkt, prosta, półprosta, odcinek, okrąg, trójkąt pozwalają na tworzenie obiektów. Figury są określane w czasie naciskania, trzymania i zwalniania przycisku myszy.

15 Konstrukcje – punkt na obiekcie
Punkt na obiekcie tzn. punkt jest zależny od obiektu - przy wskazywaniu punktu obiekt musi się podświetlić. Punkt X jest punktem na obiekcie, punkt Y nie.

16 Konstrukcje – punkt na obiekcie
Po zmianie położenia punktu B wielokąta ABCDEFG, punkt X nadal pozostał punktem położonym na odcinku BC. Zmiana położenia punktu H drugiego wielokąta spowodowała, że punkt Y leży na zewnątrz wielokąta HIJKL.

17 Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów
Punkt A jest punktem przecięcia trójkąta i okręgu (przy jego zaznaczaniu obie figury były podświetlone), natomiast punkt B nie jest punktem przecięcia obiektów.

18 Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów
Zmiana położenia trójkąta i okręgu jednoznacznie wykazała, że punkt B nie był związany z żadnym obiektem.

19 Konstrukcje w praktyce
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Konstrukcje w praktyce Zadanie W trójkącie ABC poprowadź: wysokości, środkowe, symetralne, dwusieczne kątów. Wpisz okrąg w trójkąt ABC (okrąg wpisany) oraz opisz na tym trójkącie okrąg (okrąg opisany).

20 Rozwiązanie zadania

21 Konstrukcje krok po kroku
Tworzymy trójkąt ABC

22 Konstrukcje krok po kroku
Prowadzimy wysokości kolorem czerwonym, Zaznaczamy punkty przecięcia wysokości i boków: A*, B*, C* Tworzymy odcinki AA* (hA), BB* (hB), CC* (hC) kolorem czerwonym, linią pogrubioną,

23 Konstrukcje krok po kroku
Zaznaczamy środki boków trójkąta: M1 środek odcinka BC, M2 środek odcinka AC, M3 środek odcinka AB Tworzymy środkowe - odcinki AM1, BM2, CM3 kolorem niebieskim.

24 Konstrukcje krok po kroku
Prowadzimy symetralne boków trójkąta kolorem zielonym,

25 Konstrukcje krok po kroku
Zaznaczamy kolorem zielonym punkt S1 – punkt przecięcia symetralnych Tworzymy kolorem zielonym okrąg o środku w punkcie S i promieniu r1 równym długości odcinka o końcach S,A.

26 Konstrukcje krok po kroku
Prowadzimy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta – półproste dA, dB, dC

27 Konstrukcje krok po kroku
Zaznaczamy punkt S2: przecięcie dwusiecznych. Wyznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt - prowadzimy prostą prostopadła do boku AB przechodzącą przez punkt S2, zaznaczmy odcinek r2 Tworzymy okrąg o(S2,r2)

28 Dynamiczne konstrukcje euklidesowe
Animacja pozwala na obserwowanie własności różnych trójkątów: ostrokątnych, rozwartokątnych, równobocznych.

29 Zadania maturalne i C.a.r
Matura 2010 poziom podstawowy Zadanie 31. (2 pkt) W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

30 ROZWIĄZANIE Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego ABC (linia przerywana kolor czerwony) Wówczas AE=3 i stąd CD=AE=3 (odcinki zaznaczone kolorem zielonym) Następnie zapisujemy, że BC=AB=6 oraz  DA=CE= (kolor czerwony) Stąd obwód trapezu jest równy = 15+

31 Zadanie maturalne i C.a.r
Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι ≤ 6

32 Rozwiązanie graficzne
Rysujemy wykresy funkcji f(x)= Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι i prostą o równaniu y=6

33 Rozwiązanie graficzne
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (-∞,-2), <-2,1), <1,∞) Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej l: x=-3, x=1. Podajemy argumenty, dla których f(x)≤6: xЄ<-3,1> Rysujemy wykres funkcji f i prostą l o równaniu y = 6

34 Dynamiczne konstrukcje analityczne
Prosta l nie musi być prostą stałą, może być malejąca, rosnąca

35 Zadanie maturalne i C.a.r
Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by ΙCEΙ = 2ΙDFΙ. Oblicz wartość x = ΙDFΙ, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

36 ROZWIĄZANIE Program pozwala problemy w zadaniach optymalizacyjnych doświadczalnie rozwiązywać i weryfikować.

37 Rozwiązanie ΙBEΙ=1-2x, ΙCFΙ=1-x Pole trójkąta AEF jest funkcja zmiennej x i jest równe: Pole trójkąta AEF jest najmniejsze dla

38 Zadanie maturalne i C.a.r
Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 8. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji Poprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecina wykres danej funkcji w punktach A, B. Niech C=(3, -1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2

39 ROZWIĄZANIE Animacja pozwala zaobserwować cechę, którą należy wykazać.

40 Rozwiązanie Dla dowolnej liczby a>0 zachodzi nierówność

41 Zadanie maturalne i C.a.r
Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, że ΙACΙ= ΙFGΙ.

42 rozwiązanie

43 Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc ΙABΙ= ΙCDΙ= ΙCFΙ. W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe. Niech α oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas kąt BCD wynosi 180o – α. W kwadratach CDEF oraz CBHG kąty DCF są równe 90o, więc kąt FCG jest równy α. Trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb). Stąd wnioskujemy, że Ι ACΙ = ΙFGΙ

44 Odcinki i proste w trójkącie wysokość
WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Odcinki i proste w trójkącie wysokość Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek prostopadły do boku trójkąta, przechodzący przez przeciwległy wierzchołek. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Powrót do zadania

45 Odcinki i proste w trójkącie symetralna
WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Odcinki i proste w trójkącie symetralna Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków,( przecinające się w jednym punkcie), który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Powrót do zadania

46 Odcinki i proste w trójkącie dwusieczna
WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > WYWIĄZYWANIE SIĘ Z … Odcinki i proste w trójkącie dwusieczna Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Powrót do zadania

47 Odcinki i proste w trójkącie Środkowa
WYNIKI ANKIETY > CZAS POŚWIĘCONY NA NAUKĘ > ŚREDNIA CZASU POŚWIĘCANEGO … Odcinki i proste w trójkącie Środkowa Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Powrót do zadania

48 Okrąg i trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt
WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … Okrąg i trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt: rysujemy symetralne boków trójkąta, punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta. Powrót do zadania

49 OkrĄg i trójkąt Okrąg opisany na trójkącie
WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … OkrĄg i trójkąt Okrąg opisany na trójkącie . Okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na tym okręgu. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie: rysujemy symetralne boków trójkąta, punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta. Powrót do zadania

50 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE
LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI DZIĘKUJEMY