Współczynnik beta Modele jedno-, wieloczynnikowe Model jednowskaźnikowy Sharpe’a Linia papierów wartościowych.

Prezentacja na temat: "Współczynnik beta Modele jedno-, wieloczynnikowe Model jednowskaźnikowy Sharpe’a Linia papierów wartościowych."— Zapis prezentacji:

1 Współczynnik beta Modele jedno-, wieloczynnikowe Model jednowskaźnikowy Sharpe’a Linia papierów wartościowych

2 Regresja liniowa Dla stóp zwrotu z akcji X oraz zmian indeksu Y znajdziemy linię regresji liniowej - modelu teoretycznej zależności liniowej opartego na metodzie najmniejszych kwadratów między hipotetycznymi wartościami X i Y). Równania regresji liniowej Y względem X Y - EY = [COV(X,Y) / WAR X] (X-EX). X względem Y X – EX = [COV(X,Y) / WAR Y] (Y-EY).

3 Regresja liniowa

4 Regresja liniowa. Współczynnik β
RA= a + β R RA -teoretyczna stopa zwrotu z akcji A R - teoretyczna stopa zwrotu z indeksu Współczynnik β wskazuje, o ile procent hipotetycznie wzrasta stopa zwrotu z akcji A, gdy indeks giełdy wzrasta o 1 %, gdyż β = Δ RA / Δ R Jeżeli β > 1, to akcja A jest „agresywna” – akcja żywo reaguje na zachowanie rynku 0 < β < 1, to akcja A jest „defensywna”- stopa zwrotu z A w małym stopniu zależy od rynku β = 0 akcja nie reaguje na zachowanie rynku

5

6

7 Dlaczego wariancja populacji ?

8 Portfel wielu akcji. Model Sharpe’a
Dla portfela składającego się z n akcji potrzebna jest znajomość: n stóp zysku n odchyleń standardowych n(n-1)/2 współczynników korelacji (dla 100 akcji – współczynników korelacji) (dla 1000 akcji – współczynników korelacji) William Sharpe zaproponował tzw. jednowskaźnikowy model oparty na jednoczynnikowej analizie zmienności poszczególnych akcji, prowadzącej do analizy mniejszej liczby danych

9 Model jednoczynnikowy
W modelu jednoczynnikowym zmienna losowa y jest „wyjaśniana” zachowaniem się innej zmiennej losowej x y = a + bx + e a,b są współczynnikami obliczonymi w procedurze regresji liniowej, e jest zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej, ponadto zmienne x i e nie są skorelowane Z rozkładu t-Studenta wyznacza się przedziały ufności dla współczynników a,b

10 Model wieloczynnikowy
W modelu wieloczynnikowym zmienna losowa y jest „wyjaśniana” zachowaniem się pewnej liczby innych zmiennych losowych x1, x2 ,…,xn. y = a + b1x1 + b2x2 +…+ bnxn + e Liczby a,b1,…,bn są współczynnikami obliczonymi w procedurze analizy wariancji, e jest zmienną losową o zerowej wartości oczekiwanej, nieskorelowaną z żadną ze zmiennych wyjaśniających W przypadku zmiennej y rozważanej jako stopa zwrotu akcji wybranej spółki, zmiennymi wyjaśniającymi jej zachowanie mogą być np. stopa zwrotu indeksu akcji, produkt narodowy brutto,stopa zwrotu indeksu branżowego, współczynnik C/Z akcji tej spółki (lub stopa dywidendy)

11 Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a
Stopę zwrotu z akcji spółki A można wyznaczyć w oparciu o stopę zwrotu z rynku R (stopę zwrotu indeksu giełdowego lub portfela rynkowego) Model jednoczynnikowy daje równanie dla stopy zwrotu z akcji spółki A RA = a + β R + e w którym e jest składnikiem losowym (nieskorelowanym z rynkiem) o wartości oczekiwanej równej zero. Wówczas ERA = a + β ER + 0 Współczynniki β oraz a uzyskane są w procedurze regresji liniowej. Ponadto War RA = β2 War R + War e

12 Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a
Ryzyko papieru wartościowego związane z wielkością β2 War R nosi nazwę ryzyka rynkowego (systematycznego) zaś ryzyko związane ze składnikiem losowym - War e, to ryzyko specyficzne Uwaga. Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da się uniknąć, natomiast ryzyko specyficzne, związane z akcją lub portfelem, można minimalizować odpowiednim wyborem akcji oraz składem portfela

13 Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a
Rozważmy akcje n spółek, których stopy zwrotu oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei , R oznacza stopę zwrotu indeksu giełdowego Założenia: ei - losowy składnik o zerowej wartości oczekiwanej E(ei) = 0 ei nie jest skorelowany z R (dla każdego i) ei nie jest skorelowany z ej dla każdej pary różnych wskaźników Znane są wariancje War ei

14 Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a - podsumowanie
(1) Ri = ai + βi R + ei (2) ERi = ai + βi ER (3) War Ri = (βi)2 War R + War ei (4) Cor (Ri, Rj) = (βi βj War R) / σi σj Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy dwoma papierami można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

15 Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a - podsumowanie
Liczba danych n współczynników a, n beta, n wartości odchyleń std.składn. losowych, śr. stopa rynkowa, wariancja rynku. Przy przyjętych założeniach wariancja losowa portfela jest odwrotnie proporcjonalna do liczby aktywów w portfelu

16 Współczynnik efektywności Sharpe’a
Portfel rynkowy (σM , RM), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. czyli maksymalnym (E(RP) - RF)/σP

17 Linia papierów wartościowych Security Market Line SML
Można szukać współzależności między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu portfela rynkowego RM (nie zaś indeksem rynku, jak poprzednio ) Z równania regresji RA= a + β R wynika, że ΔRA= β ΔR podstawiając ΔRA = RA - RF oraz ΔR = RM - RF do ostatniej równości otrzymujemy RA – RF = β (RM - RF ), czyli RA = RF + β (RM – RF ) gdzie β = COV(RA, RM ) / War RM Ostatnia równość nosi nazwę linii papierów wartościowych (SML) Pierwszy składnik RF jest zwany „ceną czasu” zaś drugi – „premią za ryzyko”

18 Linia papierów wartościowych
Linia papierów wartościowych określa zależność stopy zwrotu akcji (portfela) od współczynnika beta tej akcji (portfela). Jest to zależność stopy zwrotu od ryzyka systematycznego reprezentowanego przez współczynnik beta

19 Linia papierów wartościowych. Układ (β,R)

20 Linia papierów wartościowych
Równanie SML jest równaniem rynku w stanie równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub portfela). Stopę zwrotu z aktywu o danym współczynniku β można odczytać z wykresu. Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej współrzędnej równej 1. Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przecięcia prostej SML z osią OY. Portfele leżące na SML są równie atrakcyjne ze względu na uzyskiwaną stopę zwrotu i ponoszone ryzyko

21 Linia papierów wartościowych

22 Model równowagi CAPM Parametry akcji (portfeli) mają tendencję do spełniania równania SML. (Punkty reprezentujące te portfele układają się na linii SML). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się powyżej tej linii – ma większy zwrot - jest więc bardziej atrakcyjna (niedowartościowana), zwiększony popyt wywołuje zwiększoną cenę, co obniża jej stopę zwrotu (powrót na linię). Jeżeli akcja (portfel) znajduje się poniżej tej linii – ma mniejszy zwrot - jest więc mniej atrakcyjna (przewartościowana), zmniejszony popyt wywołuje spadek ceny, co zwiększa jej stopę zwrotu (powrót na linię).