Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.

Prezentacja na temat: "Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski."— Zapis prezentacji:

1 Stochastyczne modele gier ewolucyjnych Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

2 Princeton meeting 1949 John von Neumann 1903-1957
John Forbes Nash 1928-

3 Jak grać? Równowaga Nasha
Przypisanie graczom strategii, tak iż żadnemu z graczy, przy ustalonych strategiach wszystkich innych graczy, nie opłaca się zmienić swojej strategii

4 problem wyboru równowagi
Formalnie gra w jelenia i zająca (St,St) równowaga efektywna (H,H) równowaga bezpieczna średnia St - 5/2 Średnia H problem wyboru równowagi

5 Dynamika populacji A i B - dwa możliwe zachowania,
czas A i B - dwa możliwe zachowania, fenotypy, strategie osobników

6 Prosty model ewolucji Selekcja
osobnicy oddziałują w parach – grają w gry uzyskują wypłaty = liczba potomstwa Fenotypy są dziedziczone Potomstwo może mutować

7 Dobór osobników do gry każdy gra z każdym losowe spotkania graczy
gry na grafach, populacje ze strukturą przestrzenną

8 selekcja mutacje Stochastyczna dynamika skończonych populacji
n - liczba osobników zt - liczba osobników grających A w czasie t Ω ={0,…,n} - przestrzeń stanów selekcja zt+1 > zt jeśli „średnia” z A > „średnia z B mutacje Każdy osobnik może zmienić swoją strategię z prawdopodobieństwem ε

9 Łańcuch Markowa z jedyną miarą stacjonarną μεn

10 Klasyczne wyniki Każdy gra z każdym, Kandori-Mailath-Rob 1993 A B
A a b B c d a>c i d>b, (A,A) i (B,B) – równowagi Nasha A jest stategią efektywną, a>d B jest strategią dominującą ze względu na ryzyko c+d>a+b

11 Losowy dobór graczy, Robson - Vega Redondo, 1996
pt liczba krzyżowych spotkań

12 JM J. Theor. Biol, 2005 Twierdzenie

13 Lemat drzewny (Freidlin and Wentzell)
ergodyczny łańcuch Markowa ze skończona przestrzenią Ω, macierzą przejścia Pε , i jedyną miarą stacjonarną με z1 z2 z3 Pε (z4|z1) z4 z5 x

14 Gry przestrzenne z lokalnymi oddziaływaniami

15 Dynamika deterministyczna
reguła najlepszej odpowiedzi i Br(St,St)=St Br(H,H)=H Br(H,St)=Br(St,H)=H

16 Dynamika stochastyczna
a) zaburzona najlepsza odpowiedź z prawdopodobieństwem 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się , b) reguła log-linear

17 Jeleń i zając na Z, z oddziaływaniem najbliższych
sąsiadów i zaburzoną najlepszą odpowiedzią liczenie błędów

18 Otwarty problem konstrukcja gry przestrzennej
z jedyną miarą stacjonarną μεΛ która ma następujące własności

19 Dylemat Więźnia na grafach losowych
wspólna praca z Bartoszem Sułkowskim C D C D (D,D) jest jedyną równowagą Nasha

20 Bezskalowe grafy typu Barabasi-Alberty
Grafy Poissona Każdą parę wierzchołków łączymy krawędzią z prawdopodobieństwem p Rozkład stopni wierzchołków jest rozkładem Poissona Bezskalowe grafy typu Barabasi-Alberty Reguła preferencyjnego linkowania Rozkład stopni wierzchołków ~ k-λ

21

22 dynamika imitacji C C D C 3 0 D 5 1 C 2 -1 D 4 0
gracze z lewej dostają 3 środkowy gracz prawy gracz dostaje gracze z lewej dostają 2 środkowy gracz prawy gracz dostaje D zmienia się w C środkowe C zmienia się w D

23 C D C D T C D C γ γ D T-γ γ γ koszt połączenia dynamika imitacji najlepszej strategii z otoczenia średni poziom współpracy w stanie stacjonarnym

24

25

26 Co dalej? gry na grafach losowych
koewolucja sieci powiązań i strategii

27 Deterministyczna dynamika replikatorowa
A B A a b U = B c d pA(t) – liczba osobników grających A w czasie t pB(t) – liczba osobników grających B w czasie t Proponujemy UA = ax + b(1-x) UB = cx + d(1-x) Uav = xUA +(1-x)UB pA(t+ε)=(1-ε)pA(t) + εpA(t)UA(t)

28 pA(t+ε) = (1-ε)pA(t) + εpA(t)UA(t)
pB(t+ε) = (1-ε)pB(t) + εpB(t)UB(t) p(t+ε) = (1-ε)p(t) + εp(t)Uav(t)

29 ∙←←←←←∙→→→∙ ∙→→→→∙←←←←∙ Jeleń - Zając Jastrząb - Gołąb J G
dx/dt = x(1-x)(UA – UB) Jeleń - Zając J Z J Z ∙←←←←←∙→→→∙ / mieszana równowaga jest niestabilna Jastrząb - Gołąb J G J G ∙→→→→∙←←←←∙ / mieszana równowaga jest stabilna

30 Opóźnienia ( dla Jastrzębia i Gołębia)
→→→→x*←←←← opóźnienie społeczne Zakładamy, że osobnicy w czasie t naśladują strategie, które miały większe wypłaty w czasie t- τ. Proponujemy

31 odpowiednie równanie replikatorowe w czasie ciągłym ma postać
Twierdzenie (Jan Alboszta i JM, J. Theor. Biol. 231: , 2004) x* jest asymptotycznie stabilny jeśli τ jest odpowiednio małe x* jest niestabilny dla odpowiednio dużego τ

32 Biologiczne opóźnienie
Zakładamy,że osobnicy rodzą się τ czasu po tym jak ich rodzice grali i uzyskali wypłaty. Proponujemy Twierdzenie (JA i JM, JTB 2004) x* jest asymptotycznie stabilny dla każdego opóźnienia τ

33 Stochastyczna dynamika z opóźnieniem na grafach
a) zaburzona najlepsza odpowiedź na stan w t-τ , z prawdopodobieństwem 1-ε gracz wybiera najlepszą odpowiedź z prawdopodobieństwem ε gracz myli się b) zaburzona imitacja stanu w t-τ z prawdopodobieństwem 1-ε gracz imituje najlepszego gracza z prawdopodobieństwem ε gracz myli się

34 Dziękuję za uwagę