D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5

Prezentacja na temat: "D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5"— Zapis prezentacji:

1 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Wykład 5: Zarządzanie projektami przy pomocy sieci. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG

2 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Podstawowe pojęcia (1) Projekt (przedsięwzięcie) – zorganizowane działanie ludzkie z wyróżnionym początkiem i końcem, zmierzające do osiągnięcia określonego celu i zawarte w skończonym przedziale czasu. Ogólne charakterystyki: - Należy wykonać więcej niż jedną czynność, - Niektóre czynności mogą być wykonywane równolegle, niezależnie, - Inne czynności mogą rozpoczynać się dopiero wówczas, gdy zakończone zostanie jakieś poprzedzające je działanie.

3 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Podstawowe pojęcia (2) Sieci wspomagają planowanie i kontrolę realizacji projektów. Sieci - stanowią graficzną reprezentację czynności wchodzących w skład projektu oraz zależności strukturalnych między nimi, czyli kolejności ich wykonania zgodnie z wymogami procesu pracy. Sieć składa się z uporządkowanego zbioru węzłów (wierzchołków) oraz łuków. Główne techniki sieciowe: 1) AOA (activities-on-arcs) – łuki reprezentują czynności, węzły reprezentują zdarzenia – graf czynności. 2) AON (activities-on-nodes) – węzły pokazują czynności, a łuki relacje poprzedzenia – graf zdarzeń.

4 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Sieć czynności – definicja Sieć czynności jest grafem: Skierowanym – składa się z połączeń o określonym kierunku, Antysymetrycznym – składa się z dróg umożliwiających przejście tylko w jednym kierunku: od węzła początkowego do końcowego, Spójnym – łączy wszystkie węzły i łuki, Acykliczny – pozbawiony jest obwodów zamkniętych wewnątrz sieci. Budowa sieci AOA wymaga znajomości wszystkich czynności wchodzących w skład projektu oraz zbioru czynności bezpośrednio je poprzedzających.

5 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Zasady konstrukcji sieci: 1) Nazwy czynności oznaczane są kolejnymi literami alfabetu, lub symbolem <i, j>, co oznacza, że i-te zdarzenie rozpoczyna daną czynność, a j-te zdarzenie kończy tę czynność. 2) Sieć zawiera dokładnie jedno zdarzenie początkowe i jedno zdarzenie końcowe. Wszystkie inne zdarzenia w sieci powinny być początkiem i końcem co najmniej jednej czynności. 3) Do zdarzenia rozpoczynającego daną czynność powinny dochodzić tylko te czynności, które bezpośrednio ją poprzedzają. 4) Dwie czynności mogą rozpoczynać się od tego samego zdarzenia tylko wtedy, jeżeli maja identyczny zbiór czynności poprzedzających.

6 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Zasady konstrukcji sieci (cd): 5) Dwa dowolnie wybrane węzły (zdarzenia) może łączyć bezpośrednio co najwyżej jeden łuk (czynność). 6) Każdy węzeł (zdarzenie) otrzymuje odrębny numer (liczbę całkowitą), zdarzenie początkowe numer 1, zdarzenie końcowe numer n. 7) Należy unikać sytuacji, w której łuki przecinają się ze sobą. Czasem, aby zachować wszystkie zasady należy wprowadzić czynności pozorne (fikcyjne), oznaczone w sieci przerywanymi strzałkami – nie oznaczają żadnego konkretnego działania.

7 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Etapy budowy sieci AOA Etap 1) Wypisać zbiory czynności poprzedzających, ich niepuste części wspólne oraz zbiory tych czynności, które nie wystąpiły w żadnym zbiorze – każdemu utworzonemu zbiorowi przypisać wierzchołek sieci. Etap 2) Narysować łuki odpowiadające czynnościom, tak aby rozpoczynały się od zbioru ich poprzedników, a kończyły w najmniejszym zbiorze zawierającym nazwę danej czynności. Etap 3) Jeżeli dany niepusty zbiór zawiera się w innym zbiorze, wprowadzić czynność pozorną zwrócona w kierunku bardziej licznego zbioru. Etap 4) Jeżeli dwa zbiory połączone są więcej niż jednym łukiem – dołączyć czynność fikcyjną. Etap 5) Ponumerować węzły tak, aby dla każdej czynności zdarzenie rozpoczynające miało numer niższy niż kończące.

8 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Możliwości wykorzystania grafu 1) Analiza czasowa – Metoda Ścieżki Krytycznej (CPM), (metoda deterministyczna). 2) Ocena i kontrola programu (PERT), (metoda probabilistyczna). 3) Analiza czasowo-kosztowa (CPM-COST). 4) Analiza zasobowa.

9 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. Ignasiak E. (2001), „Badania operacyjne” Celem realizacji projektu jest przygotowanie wystawy. W zadaniu można wskazać następujące czynności, które powinny być zrealizowane: A – wybór lokalizacji wystawy, B – przygotowanie eksponatów, C – przygotowanie terenu wystawy, D – przygotowanie stoisk, E – dostawa eksponatów, F – przygotowanie obsługi stoisk, G – urządzenie stoisk wystawowych, H – otwarcie wystawy.

10 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d. Należy określić kolejność wykonywania czynności: - czynności poprzedzające, - czynności równoległe, - czynności następujące. Czynność Bezpośrednio poprzedzające Bezpośrednio następujące A B C D E F G H - D, E F, G

11 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d. Należy określić kolejność wykonywania czynności: - czynności poprzedzające, - czynności równoległe, - czynności następujące. Czynność Bezpośrednio poprzedzające Bezpośrednio następujące A B C D E F G H - D, E F, G C, F

12 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d. Uporządkowanie czynności oraz stany (zdarzenia) jakie mają miejsce po ich zrealizowaniu, można przedstawić w następujący sposób: 4 5 3 6 7 1 2 A G F B E H C D

13 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia Metoda Ścieżki Krytycznej (CPM) Pomaga udzielić odpowiedzi na pytania: - Jaki jest najwcześniejszy możliwy do uzyskania czas realizacji projektu? - Opóźnienie których czynności przesunie moment zakończenia realizacji projektu? - Które działania można wykonać wolniej lub rozpocząć później, nie opóźniając przy tym realizacji całego projektu?

14 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Ścieżka – każdy ciąg kolejno następujących po sobie czynności. Ścieżka pełna – taka ścieżka, której pierwsza czynność zaczyna się w zdarzeniu początkowym, a ostatnia kończy się w zdarzeniu końcowym sieci. Czas trwania czynności – nakład czasu potrzebny na jej realizację. Warunkiem przeprowadzenia analizy czasowej jest znajomość czasu potrzebnego do realizacji poszczególnych czynności – czas jest zdeterminowany, nie zależy od czynników losowych – metoda deterministyczna.

15 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Metoda I 1) Wypisać wszystkie ścieżki pełne. 2) Obliczyć czas trwania każdej ścieżki przez dodanie czasów trwania wszystkich czynności na niej leżących. 3) Wybrać tę ścieżkę (ścieżki), która charakteryzuje się najdłuższym czasem trwania – określa ona najkrótszy możliwy czas realizacji projektu – T*.

16 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Metoda II Określmy: ti’ - najwcześniejszy możliwy moment zajścia zdarzenia – czyli moment zajścia i-tego zdarzenia, w którym najwcześniej ukończone zostaną wszystkie wchodzące do niego czynności. ti’’ – najpóźniejszy dopuszczalny moment zajścia zdarzenia –czyli moment, w którym najpóźniej ukończone muszą być wszystkie czynności wchodzące do i-tego zdarzenia, aby nie opóźnił się moment realizacji całego projektu.

17 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) k – zdarzenie początkowe czynności, które kończą się zdarzeniem i, tki – czas trwania czynności <k, i>.

18 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Moment najwcześniejszy ustalamy metoda „krok do przodu”, rozpoczynając od zdarzenia początkowego, dla którego t’1=0, a kończąc ma zdarzeniu n. Moment najpóźniejszy dopuszczalny wyznaczamy w sieci metodą „krok do tyłu”, rozpoczynając od zdarzenia końcowego, dla którego t’’n = t’n i kończąc na pierwszym zdarzeniu. Wystąpienie zdarzenia końcowego równoznaczne jest z zakończeniem projektu, dlatego:

19 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d. Poszczególnym czynnościom przyporządkowujemy odpowiednie czasy realizacji: A – wybór lokalizacji wystawy – 4 dni B – przygotowanie eksponatów – 5 dni C – przygotowanie terenu wystawy – 4 dni D – przygotowanie stoisk – 3 dni E – dostawa eksponatów – 1 dzień F – przygotowanie obsługi stoisk – 4 dni G – urządzenie stoisk wystawowych – 4 dni H – otwarcie wystawy - 1 dzień

20 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Wyznaczamy zapasy czasu dla poszczególnych działań. Całkowity zapas czasu: określa, o ile czas trwania czynności <i, j> może być wydłużony, lub moment jej rozpoczęcia opóźniony, aby najkrótszy czas realizacji projektu nie zmienił się. Zapas swobodny: Może być wykorzystany bez wpływu na zapasy czynności tej samej ścieżki.

21 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Zapas warunkowy: jego wykorzystanie, przy danej czynności, nie zmienia zapasów czasu czynności poprzednich znajdujących się na tej samej ścieżce. Niezależny zapas czasu: Informuje o rezerwie, której wykorzystanie nie ma wpływu na zapas jakiejkolwiek innej czynności.

22 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM) Czynności krytyczne - czynności o zerowym zapasie całkowitym – jakiekolwiek wydłużenie czasu trwania tych czynności opóźnia moment zakończenia inwestycji. Pozostałe zapasy czasu czynności krytycznej są również zerowe. Wykresy Gantta – inny sposób graficznej prezentacji struktury projektu oraz jego analizy czasowej.

23 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia Techniki Oceny i Kontroli Programu (PERT) Nie zawsze możliwe jest precyzyjne ustalenie czasów realizacji działań przed rozpoczęciem projektu. Stosujemy wówczas: metody niedeterministyczne – stochastyczne, probabilistyczne. Czasy trwania poszczególnych czynności traktowane są jako zmienne losowe o określonej funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

24 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Określamy: oczekiwany czas realizacji czynności: gdzie: a – czas optymistyczny realizacji czynności w okolicznościach sprzyjających, m – czas najbardziej prawdopodobny realizacji czynności w warunkach normalnych, b – czas pesymistyczny realizacji czynności w warunkach niesprzyjających. Formuła ma sens jeżeli:

25 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Najwcześniejszy oczekiwany czas realizacji projektu T0 wyliczamy dodając czasy oczekiwane dla czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej. Możemy określić również stopień niepewności związany z przewidywanym czasem realizacji czynności <i, j>, wynikający z różnicy między czasem optymistycznym i pesymistycznym. Definiujemy wariancję – miarę niepewności:

26 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Wariancja pozwala wyznaczyć możliwe odchylenie rzeczywistego momentu zakończenia inwestycji od momentu oczekiwanego : obliczamy wariancję oczekiwanego czasu realizacji projektu sumując wariancje czasu dla wszystkich czynności na ścieżce krytycznej. Z otrzymanego wyniku wyciągamy pierwiastek. Jeżeli graf składa się z kilku ścieżek krytycznych, wówczas możliwe odchylenie oblicza się na podstawie tej ścieżki, dla której suma wariancji jest największa.

27 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Możemy określić również błędy w oczekiwanych momentach zajścia poszczególnych zdarzeń. Wariancje najwcześniejszych momentów – sumujemy wariancje czasów trwania czynności począwszy od źródła grafu, dla którego v1’=0: gdzie: k – zdarzenie początkowe czynności, które kończą się zdarzeniem i, vki – wariancja czasu trwania czynności <k, i>.

28 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Wariancje najpóźniejszych momentów zajścia zdarzenia– sumujemy wariancje czasów trwania czynności począwszy od końca grafu, przy czym vn’’=0: gdzie: k – zdarzenie końcowe czynności rozpoczynającej się zdarzeniem i, vki – wariancja czasu trwania czynności <i, k>.

29 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT) Znając czas oczekiwany realizacji projektu oraz jego odchylenie standardowe, można określić prawdopodobieństwo zakończenia projektu w dowolnym zadanym czasie (Tz). Wyznaczamy parametr z, który wykorzystamy do odnalezienia tego prawdopodobieństwa w tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego: Gdy wartość prawdopodobieństwa znajduje się poniżej 0,25 stwierdzamy, że realizacja projektu w zadanym czasie jest obarczona znacznym ryzykiem.

30 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa Oprócz analizy czasowej przedsięwzięcia ważny jest aspekt ekonomiczny realizacji projektu. Kompresja sieci – wprowadzenie zmian czasu trwania niektórych czynności w taki sposób, aby skrócić łączny czas realizacji projektu. Wynika z potrzeby przyśpieszenia zakończenia przedsięwzięcia. Skrócenie czasu pracy pociąga za sobą wzrost kosztów – analiza czasowo-kosztowa umożliwia minimalizację wzrostu kosztów.

31 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST Minimalizujemy czas realizacji przedsięwzięcia (T), mając na względzie dostępne środki (Kd), które można przeznaczyć na koszty dodatkowe wynikające ze skrócenia czasu pracy (budget problem). gdzie to wektor czasów wykonania czynności danego przedsięwzięcia.

32 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST Koszty skrócenia danego działania o każdą kolejną jednostkę mogą wzrastać z tą samą lub różną prędkością. Jeżeli wzrastają z tą samą prędkością, to koszt jednostkowy (średni gradient kosztu): gdzie: sij – wzrost kosztu związany ze skróceniem czasu czynności <i, j> o jedną jednostkę, tijn – normalny czas trwania czynności <i, j>, tijg – graniczny czas trwania czynności <i, j>, kijn – koszt związany z realizacją czynności w czasie normalnym, kijg – koszt związany z realizacją czynności w czasie granicznym.

33 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST Czas graniczny – najkrótszy możliwy ze względów technicznych i technologicznych czas na wykonanie danego działania. W przypadku identycznych kosztów skrócenia, model można zapisać: gdzie: ti(tj) – moment zajścia i-tego (j-tego) zdarzenia, n – liczba zdarzeń, yij – liczba jednostek czasu, o jaką trzeba skrócić czynność <i, j>,

34 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST m – liczba czynności, sij – jednostkowy koszt skrócenia czasu <i, j>, Kd – dostępne środki, Pij – maksymalna liczba jednostek, o którą skrócenie czasu trwania czynności <i, j> jest możliwe (różnica miedzy czasem normalnym a czasem granicznym).

35 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST W przypadku różnych kosztów skrócenia, model można zapisać: gdzie: yijp – zmienna przyjmuje wartość 1, gdy czynność <i, j> zostanie skrócona po raz p-ty, kijp – koszt skrócenia po raz p-ty czynnosci <i, j>, Td – czas dyrektywny.

36 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST Główne zasady metody: 1) W celu skrócenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia należy rozpatrywać jedynie ścieżki krytyczne, ponieważ to one decydują o momencie zakończenia projektu, 2) Każde skrócenie momentu zakończenia przedsięwzięcia może wpłynąć na kształt podsieci krytycznej, czyli na liczbę ścieżek krytycznych, 3) Ścieżka krytyczna może przestać być krytyczna, jeżeli nie zachowa w następnej iteracji zerowego zapasu czasu,

37 D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST 4) Skracanie czasu realizacji przedsięwzięcia sukcesywnie o jedną jednostkę jest konieczne, zwłaszcza gdy w sieci występuje kilka ścieżek krytycznych; jeżeli siec składa się tylko z jednej drogi krytycznej, i to znacznie dłuższej od pozostałych ścieżek, wybraną czynność krytyczną można w danej iteracji skrócić od razu o kilka jednostek, pamiętając o ograniczeniach wynikających z ustalonego czasu granicznego oraz z dostępnych środków przeznaczonych na akcelerację działań.