Zadania z indywidualnością

Prezentacja na temat: "Zadania z indywidualnością"— Zapis prezentacji:

1 Zadania z indywidualnością

2 Zadanie 1. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
Rozwiązanie standardowe: Wzór na najmniejszą wartość funkcji kwadratowej: Najmniejsza wartość = ̶ Δ/4a Δ = 44, a = 1, zatem najmniejsza wartość = – 11

3 Zadanie 1. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
Rozwiązanie niestandardowe:

4 Zadanie 2. Rozwiąż równanie
Rozwiązanie standardowe: Rozpatrujemy przypadki:

5 Zadanie 2. Rozwiąż równanie
Rozwiązanie niestandardowe:

6 Zadanie 3. Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że
Oblicz Rozwiązanie standardowe: Przekształcamy do postaci skąd i dalej

7 Zadanie 3. Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że
Oblicz Rozwiązanie niestandardowe:

8 Zadanie 4. Rozwiąż równanie
Rozwiązanie standardowe: Podnosimy obie strony do kwadratu, otrzymujemy równanie kwadratowe Obliczamy pierwiastki.

9 Zadanie 4. Rozwiąż równanie
Rozwiązanie niestandardowe: Podstawiamy rozwiązujemy równanie a następnie równania

10 Zadanie 5. Wykaż, że jeśli wielomian
ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to a < 0. Rozwiązanie standardowe (???): Z założenia istnieją k, m, n takie, że wielomian można zapisać w postaci Stąd W rezultacie z czego wynika a < 0.

11 Zadanie 5. Wykaż, że jeśli wielomian
ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to a < 0. Rozwiązanie niestandardowe (?): Jeśli to wielomian jest funkcją rosnącą, a więc ma co najwyżej jeden pierwiastek.

12 Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych
Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d). Rozwiązanie standardowe: Niech Wówczas

13 Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych
Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d). Rozwiązanie niestandardowe: Z twierdzenia o reszcie: zatem

14 Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie standardowe: Niech Podstawiamy Układ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

15 Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie niestandardowe 1: Niech Z pierwszego warunku: d = 1. Z czwartego warunku:

16 Zadanie 7. Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2, w(2)=3 oraz w(3)=0. Rozwiązanie niestandardowe 2: Z pierwszego warunku: wyraz wolny = 1. Pierwiastek 3 musi dzielić wyraz wolny, czyli 1. Nie dzieli.

17 Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie standardowe: Podstawiamy: a stąd

18 Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie niestandardowe 1: Podstawiamy: a stąd czyli

19 Zadanie 8. Niech Znajdź wszystkie wartości x, dla których w(w(x))=w(x). Rozwiązanie niestandardowe 2: Jeśli w(a)=w(b), to a, b leżą symetrycznie względem osi symetrii wykresu w, czyli istnieje c takie, że x = ½ – c oraz w(x) = ½ + c . Stąd

20 DODATEK Zadanie bez numeru. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczba jest niewymierna. Rozwiązanie niestandardowe: Przypuśćmy, że Wtedy czyli wbrew Wielkiemu Twierdzeniu Fermata.

21 Zakończenie niestandardowe:
To już jest koniec, nie ma już nic, jesteśmy wolni, możemy iść! •