Złoty Podział i Złota Liczba

Prezentacja na temat: "Złoty Podział i Złota Liczba"— Zapis prezentacji:

1 Złoty Podział i Złota Liczba
Kinga Kulpa Małgorzata Źrebiec Złoty Podział i Złota Liczba Historia. Złota liczba wśród nas. Złoty podział w naturze.

2 Troszkę teorii … Złoty podział— podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. φ = (a+b) : a = a : b Złoty podział w sztuce Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

3 Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... co daje kolejno: 0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001. Liczby Fibonacciego Zloty podzial w przyrodzie

4 Złoty podział w sztuce Leonardo da Vinci. Interesował się inżynierią, wykonywał projekty techniczne. A tworząc je często korzystał z Złotego podziału. *** Złoty podział (zwany też boska proporcją – divina proportio) wyrażał się liczbą niewymierną, wynoszącą w przybliżeniu 0,618. W starożytności, a także w okresie renesansu i klasycyzmu w oparciu o złoty podział wyznaczano plany świątyń, wysokość i szerokość portyków, otworów okiennych, drzwi, kształty detali architektonicznych, obrazów i ksiąg.

5 Inne znane dzieło Leonarda to Ostatnia Wieczerza
Inne znane dzieło Leonarda to Ostatnia Wieczerza. Jak łatwo zauważyć, cała kompozycja tego fresku zasadza się na regule złotego podziału.

6 Wiele lat później pod koniec XIX w
Wiele lat później pod koniec XIX w. pojawił się we Francji artysta, dla którego złoty podział stał się (jak dla della Francesci) podstawowym narzędziem konstrukcji swoich obrazów - Georges Seurat. Jego obrazy przybierały często format złotego czworoboku, a kompozycja jak widzicie tej regule była podporządkowana bez reszty.

7 Złoty Podział w sztuce Magia
Złoty podział podziwiany był nie zawsze tylko dla jego estetycznych, harmonijnych walorów. W liczbie złotego podziału dopatrywano się niekiedy własności magicznych. Znajdowało to nieraz swe odbicie w sztuce i budownictwie (zwłaszcza na Bliskim Wschodzie, gdzie magia liczb była niezmiernie rozpowszechniona).

8 Złoty podział w sztuce Wielka Piramida
Herodot 2500 lat temu informował, że piramida ta została skonstruowana w taki sposób, że kwadrat jej wysokości H równy jest powierzchni ściany S, a jej objętość V wynosi 18 milionów jednostek sześciennych jakich używano przy jej budowie. Były to łokcie królewskie ( ł k ), których długość wynosiła około 0.52 m. Z informacji tej wynika, że Wielka Piramida powinna mieć następujące parametry - długości podawane są w łokciach ( łk ) , a powierzchnie w ( ł k. kw.) Przedstawione parametry Wielkiej Piramidy pozwalają na potwierdzenie zależności tajemniczych jak na przykład występowanie w tej budowli zasady złotego podziału. Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był juz w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano np. w planach budowli na Akropolu.

9 Złoty podział w technice
W czasach współczesnych, w dyscyplinach z pozoru odległych od sztuki - w projektowaniu i budowie maszyn - znajdziemy również piękne przykłady konstrukcji zgodnych z boską proporcją.

10 Złoty podział w przyrodzie
Gdy przyjrzymy się sposobie ułożenia powtarzających się elementów budowy roślin (liści, pędów, kwiatów, płatków, ziaren) zauważymy, że często przyjmują one kształt spiralny. Doskonale widać to na poniższym zdjęciu - nasiona sosnowej szyszki układają się w 13 prawoskrętnych i 8 lewoskrętnych spiral.

11 Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż spiral
Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż spiral. Liczby nasion w tych spiralach to też liczby Fibonacciego. Podobnie "upakowane" są nasiona w szyszkach.

12 Taką samą prawidłowość wykazują ananasy: 8 rzędów łusek nachylających się w lewo i 13 w prawo. Ziarna słonecznika układają się w spirale, których liczba, w zależności od gatunku, wynosi 34 (prawoskrętnych) i 55 (w przeciwną stronę) lub 55 i 89, a nawet 89 i 144. Te same liczby znajdziemy licząc płatki kwiatów – mają one ich zwykle 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 lub 89 (tak wieloma płatkami obdarzone są stokrotki). Żadne inne liczby nie powtarzają się tak często Zbieżność obu obserwacji nie jest przypadkowa - w koszyczkach kwiatów na końcu każdej spirali powstaje płatek. Również nie są przypadkowe liczby - tworzą one znany od ośmiu wieków ciąg Fibonacciego. Jego elementy posiadają tę własność, że każdy kolejny wyraz ciągu utworzony jest poprzez zsumowanie dwóch poprzednich. Obliczając ilorazy sąsiednich liczb z ciągu Fibonacciego otrzymujemy kolejne przybliżenia tzw. złotej liczby. Dlaczego natura wyróżnia akurat takie liczby?

13 Istotnie zdumiewające jest również umiejscowienie złotego podziału wśród roślin. Jeśli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze, to okaże się, iż między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.

14 Żyjąc w geometrycznym świecie przyrody, gdzie każda gałązka i każdy liść wyraża Złotą Zasadę, ludzie przesiąknęli boską estetyką. To, co się im wydawało piękne i harmonijne, było efektem wykorzystania przez naturę Złotego Cięcia. Malarze i budowniczowie obserwowali dzieła przyrody i starali się odzwierciedlać je w swojej sztuce. W 1202 roku słynny matematyk Leonardo Fibonacci na podstawie obserwacji wzrostu roślin odkrył ciąg liczbowy, zwany teraz ciągiem Fibonacciego. Rządzi nim zasada, która mówi, że każda liczba całkowita w ciągu jest sumą poprzednich dwóch liczb: 1, (1+1) 2, (2+1) 3, (3+2) 5, (5+3) 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd. A teraz najciekawsze: gdy podzielimy którąkolwiek z liczb ciągu przez jej poprzedniczkę, otrzymamy... f, czyli złotą liczbę! A im wyższa jest wartość liczb, tym wynik jest dokładniejszy, np. 8 : 5 = 1, , 13 : 8 = 1, , 233 : 144 = 1, , 377 : 233 = 1,

15 Trutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę - królową, powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już dwoje rodziców - inną królową i trutnia. Niech Tn oznacza liczbę n - praprzodków. Widać już, że na poziomie pierwszych pradziadków truteń ma dwie prababcie i jednego pradziadka, łącznie troje; piętro wyżej, na poziomie drugich pradziadków - pięcioro. Ogólnie na poziomie n - tych pradziadków ma dokładnie Tn-1   n - prababć oraz Fn-2   n - pradziadków; łącznie Tn= Tn-1 + Tn-2   n - praprzodków. Zachodzi równość Tn = Fn+3 , gdzie n Î N. Bardzo ciekawe własności i szerokie zastosowanie ma granica, ściśle związana z ciągiem Fibonacciego

16 Wzajemna zależność między odległością Wenus i Ziemi od Słońca:

17 Ciało ludzkie a Złoty podział
Jeśli ciało ludzkie (starożytni mówili tu o ciele mężczyzny, bo uważali je za lepiej uformowane od ciała kobiety) podzielimy na dwie części linią narysowaną na wysokości pępka, to okazuje się, że stosunek długości całego ciała do długości dolnej jego części jest taki sam, jak stosunek długości dolnej części do górnej. Podobnie rzecz ma się z ręką. Jeśli podzielimy ją na wysokości łokcia, to długość całej ręki do długości jej dolnej części ma się tak, jak długość dolnej części ręki do górnej. Jest to tzw. "złoty podział", albo inaczej "złote cięcie", albo - jak mawiali starożytni i średniowieczni matematycy - "boska proporcja". Stosunek złotego podziału odcinka o długości a na dwie części wyraża się w sposób słowny następująco: cały odcinek tak się ma do swej większej części, jak większa część do mniejszej.

18 Wydaje się być rzeczą zastanawiającą dlaczego przez tysiące lat ludzie tak uparcie w przejawach swojej twórczości odwoływali się do tej wyjątkowej reguły matematycznej dostrzegając w jej wizualizacjach przejaw naturalnego piękna, doskonałej równowagi i harmonii. Częściową odpowiedź na to pytanie dał nam już Leonardo w swoim Homo Vitruvius. Złota proporcja jest po prostu częścią człowieka. Ale nie tylko proporcje naszego ciała (kończyny, korpus, głowa) zbudowane są wg tej reguły. Odnajdziemy ją również w proporcjach naszego uzębienia...

19 Typowymi przykładami boskiego kanonu piękna są:
Liczby rozgałęzień wyrastających z łodygi rośliny. Liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin Budowa muszli niektórych skorupiaków (Nautilius Pompilius). Wzrost populacji królików Struktura atomowa Molekuły DNA Struktura kryształu Orbity planet i galaktyk Układ zwojów w szyszce sosny Proporcje powstające w wirach wodnych Układ spiral tworzonych przez nasion słonecznika Proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany

20 Ciekawostki Liczba złota ma ciekawe własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

21 Złoty prostokąt Jak on się ma do prostokąta z trójpodziałem i mocnymi punktami - sami sobie odpowiedzcie. Z jasnej definicji, przytoczonych liczb i rysunków już na pierwszy rzut oka jasno widać, że podział 1:3 (który inni „eksperci” niefrasobliwie nazywają złotym podziałem) w istocie swej ze złotym podziałem nie ma NIC wspólnego!

22 Konstrukcja Złotego trójkąta
1) Wyznaczamy środek odcinka AB. 2) Z punktu A kreślimy łuk o promieniu AB. 3) Z punktu C kreślimy łuk o promieniu CD. 4) Z punktu A i B kreślimy łuk o promieniu AE. Łuk o1 i o3 przecięły się w punkcie G, natomiast łuk o2 i o3 przecięły się w punkcie F. 5) Z punktu B kreślimy łuk o promieniu AB. Łuk o2 i o4 przecięły się w punkcie H. Punkty: A, G, F, H, B utworzyły pięciokąt foremny. 6) Przekątne pięciokąta foremnego wyznaczyły "złoty trójkąt".

23 Złoty trójkąt, wykonany w programie Cinderella
Dowód Złoty trójkąt, wykonany w programie Cinderella

24 Linki