Przestrzeń P’ jest rzutem punktu P na płaszczyznę XOY

Prezentacja na temat: "Przestrzeń P’ jest rzutem punktu P na płaszczyznę XOY"— Zapis prezentacji:

1 Przestrzeń P’ jest rzutem punktu P na płaszczyznę XOY
wektor wodzący punktu P długość wektora

2 Wersory osi układu współrzędnych

3 Wektory swobodne

4 𝑢 𝑢 𝑧 ∙ 𝑘 𝑢 𝑥 ∙ 𝑖 𝑢 𝑦 ∙ 𝑗

5 długość wektora Działania w zbiorze wektorów 1) Mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą dla dla

6 2) Dodawanie i odejmowanie wektorów
3) Iloczyn skalarny , gdy oba wektory nie są zerowe. , gdy co najmniej jeden wektor jest wektorem zerowym. Przykład: Obliczyć miarę kąta zawartego między między wektorami Rozwiązanie:

7 Twierdzenie: Przykład: Sprawdzić, że wektory: są prostopadłe. Rozwiązanie: 4) Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektora i wektora które nie są zerowe i nie są równoległe nazywamy wektor spełniający warunki a) długość wektora jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach i czyli b) wektor jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i tzn. c) zwrot wektora jest taki, aby wektory tworzyły układ prawoskrętny Jeżeli wektor lub wektor jest wektorem zerowym lub to przyjmujemy

8 Uwaga: Mnożenie wektorowe nie jest przemienne
Twierdzenie

9 Twierdzenie: 5) Iloczyn mieszany Iloczynem mieszanym wektorów nazywamy liczbę i oznaczamy Twierdzenie: leżą w jednej płaszczyźnie.

10 Równoległościan zbudowany
na wektorach Czworościan zbudowany na wektorach

11 Przykład: Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach Rozwiązanie: Odp.

12 Przykład: Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach Rozwiązanie: Odp.

13 Równanie płaszczyzny Wektor normalny płaszczyzny jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, to znaczy jest wektorem prostopadłym do każdej prostej na niej leżącej Dane: Wektor normalny płaszczyzny Równanie ogólne płaszczyzny

14 Szczególne przypadki płaszczyzn
płaszczyzna płaszczyzna płaszczyzna

15 Szczególne przypadki płaszczyzn

16 Szczególne przypadki płaszczyzn

17 Szczególne przypadki płaszczyzn

18 Przykład Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora Rozwiązanie:

19 Przykład Napisać równanie płaszczyzny równoległej do wektorów i przechodzącej przez punkt Rozwiązanie: Szukamy Odp.:

20 Przykład Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: Rozwiązanie: Szukamy Odp.:

21 II sposób leżą w jednej płaszczyźnie.

22

23 Równanie prostej Dane: wektor kierunkowy prostej Równanie parametryczne prostej

24 Przykład: Napisać równanie prostej równoległej do wektora i zawierającej punkt Rozwiązanie Przykład: Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny i zawierającej punkt Rozwiązanie

25 Przykład: Napisać równanie prostej prostopadłej do prostych i zawierającej punkt Rozwiązanie szukamy wektora kierunkowego prostej

26 Można przyjąć

27 Zadanie . Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach
(1) Znaleźć równanie płaszczyzny: a) przechodzącej przez punkt i równoległej do ściany b) zawierającej krawędź oraz równoległej do krawędzi c) prostopadłej do ściany i zawierającej krawędź (2) Napisać równanie prostej: a) zawierającej krawędź b) prostopadłej do ściany i zawierającej punkt

28 Zadanie Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach

29 (1) Znaleźć równanie płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkt i równoległej do ściany Szukamy

30 (1) Znaleźć równanie płaszczyzny:
b) zawierającej krawędź oraz równoległej do krawędzi Szukamy

31 (1) Znaleźć równanie płaszczyzny:
c) prostopadłej do ściany i zawierającej krawędź Szukamy

32 (2) Napisać równanie prostej:
a) zawierającej krawędź Szukamy:

33 (2) Napisać równanie prostej:
b) prostopadłej do ściany i zawierającej punkt Szukamy:

34 Powierzchnie stopnia drugiego
Przykład: Narysować zbiór punktów opisany równaniem: Rozwiązanie: zbiór pusty elipsa leżąca na płaszczyźnie

35 parabola paraboloida eliptyczna

36 elipsoida walec eliptyczny stożek eliptyczny paraboloida eliptyczna hiperboloida dwupowłokowa paraboloida hiperboliczna

37 Przesunięcie

38 Przykład. Rozpoznać i narysować powierzchnię
Rozwiązanie walec eliptyczny