Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.

Prezentacja na temat: "Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d."— Zapis prezentacji:

1 Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wykład 4 Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

2 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Ruchem ośrodka ciągłego rządzą prawa Newtona wraz z prawem zachowania masy: Bilans pędu W stanie równowagi dla ciała stałego: Bilans momentu pędu Bilans masy Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

3 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Na poprzednim wykładzie rozpatrzyliśmy przypadek równowagi: masa *przyspieszenie x2 V r r+dr x1 x3 funkcja czterech zmiennych Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

4 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
x2 V Wektor przyśpieszenia: r r+dr x1 x3 Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

5 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

6 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Pochodna wędrowna: Czyli masa * przyspieszenie ( na jednostkę masy ) : Gęstość płynu ( kg/m3) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

7 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Ostatecznie : Dla płynów siły powierzchniowe oddziałują tylko na powierzchnię objętości kontrolnej. Przykładem sił powierzchniowych są siły ciśnieniowe oraz naprężenia lepkie. Ciśnienie działa zawsze normalnie do powierzchni ścianki i reprezentuje naprężenia działające na element płynu w spoczynku. Naprężenia lepkie pojawiają się podczas ruchu elementu płynu i działają normalnie, oraz stycznie do powierzchni. Sumaryczny tensor naprężeń jest definiowany jako: naprężenia lepkie ciśnienie Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

8 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Sumaryczna siła działająca na element kontrolny związana jest z pojawieniem się gradientu naprężeń. Dla rozpatrywanego układu składowa x sił powierzchniowych może być wyznaczona z bilansu Pozostałe składowe wyznacza się analogicznie: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

9 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Przeliczając składowe siły na jednostkę objętości i mnożąc przez objętość elementu kontrolnego otrzymujemy: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

10 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Dla dx, dy, dz  0: Siła powierzchniowa na Jednostkę objętości: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

11 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Ostatecznie równanie bilansu pędu można zapisać: Gdzie siła masowa to grawitacja Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

12 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Zbiornik wypełniony nieruchomym płynem: Z=0 Z=h Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

13 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

14 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

15 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Pod wpływem działania naprężeń w ośrodku ciągłym pojawiają się odkształcenia. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

16 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Kinematyka reologiczna . Odkształcenia W danej chwili czasu t, położenie i prędkość wszystkich cząstek określają stan kinematyczny danego ciała. Do określenia stanu cząstki ciała w chwili t potrzeba 6 wielkości Ciało składa się z olbrzymiej liczby cząstek Czy potrzeba więc olbrzymiej liczby danych aby kreślić stan ciała ? Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

17 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Ciało jest ośrodkiem ciągłym więc: Cząstki mogą tworzyć jedno ciało tylko wtedy, gdy wszystkie te, które sąsiadowały ze sobą w pewnej chwili t, pozostaną w sąsiedztwie w czasie następującym po t. Prędkości dwu cząstek o wsp. (x,y,z) i (x+dx, y+dy, z+dz) różnią się ze sobą bardzo niewiele, co do wielkości i kierunku. Prędkości są ciągłymi funkcjami współrzędnych. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

18 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Rozpatrzmy mały przyrost czasu W tym czasie wszystkie cząstki ciała zmieniają swoje położenie doznając przemieszczeń u a ich prędkość wynosi v Prędkości są funkcjami ciągłymi współrzędnych więc i przesunięcia też muszą być ciągłe. Dlatego gdy przejdziemy od jednej cząsteczki do drugiej, sąsiedniej zmiana składowych przesunięcia wyniesie: (x, y, z) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

19 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Jeżeli przejście od jednej cząstki do drugiej odbędzie w kierunku s to otrzymamy: (x,y,z) I rów. Na składowe przesunięcia możemy zapisać: Składowe pochodnej Składowe przesunięcia względnego Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

20 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Przesunięcie względne obu cząstek przypadające na jednostkę długości : Tensor !!!! Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

21 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wyobraźmy sobie ciało o kształcie elementarnego prostopadłościanu: Działające siły generują naprężenia a te odkształcają ciało. Deformacja kształtu Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

22 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
x Wydłużenie w kierunku osi x. Przesunięcie u ma tylko ten kierunek Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

23 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Przy deformacji zmieniają się nie tylko długości ale i kąty Zmiana kąta pomiędzy płaszczyznami zx i zy: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

24 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Jeżeli: Obrót bryły sztywnej. To nas nie interesuje w reologii i mechanice płynów. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

25 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
W tym tensorze wszystkie składowe opisują odkształcenie. Nazywa się tensorem nieskończenie małego odkształcenia Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

26 Wykład 4 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
W taki sam sposób rozpatrując wektor prędkości v zamiast wektora przesunięcia u znajdziemy tensor prędkości odkształcenia: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów