STATYSTYKA OPISOWA.

Prezentacja na temat: "STATYSTYKA OPISOWA."— Zapis prezentacji:

1 STATYSTYKA OPISOWA

2 1. Podstawowe pojęcia statystyki
Statystyka to nauka o ilościowych metodach badania własności zbiorowości. Zajmuje się badaniem, czyli gromadzeniem, porządkowaniem i analizowaniem danych o własnościach zbiorowości. Populacja statystyczna (zbiorowość) jest to zbiór elementów podlegających badaniu statystycznemu. Jednostka statystyczna to każdy element populacji statystycznej. Liczebność populacji to liczba jednostek statystycznych. Próba statystyczna to podzbiór populacji, zbiór tych jednostek statystycznych, które bezpośrednio poddajemy badaniu statystycznemu i które w określony sposób zostały wybrane z populacji. Cecha statystyczna (zmienna) to właściwość elementów populacji będąca przedmiotem badania statystycznego.

3 Przykład 1.1. Wśród studentów AMW przeprowadzono ankietę, pytając o: wzrost, czas dojazdu na uczelnię, płeć. Populacja – zbiór wszystkich studentów AMW. Jednostka statystyczna – student AMW. Cechy statystyczne – wzrost, czas dojazdu na uczelnię, płeć.

4 Klasyfikacja cech statystycznych:
- cecha mierzalna: - ciągła – może przyjmować każdą wartość z pewnego przedziału zmienności, np. wiek, miesięczny dochód pracownika, waga ciała, wzrost, itp. - skokowa –może przyjmować skończoną lub przeliczalną liczbę wartości, w pewnym przedziale zmienności może przyjąć tylko niektóre wartości, np. liczba dzieci w rodzinie, liczba egzaminów w sesji itp. - quasi-ciągła – to cecha skokowa, która ze względu na dużą liczbę wartości traktowana jest jak cecha ciągła. cecha niemierzalna: cecha, której warianty (kategorie) opisane są słownie, np.kolor oczu, rodzaj wykształcenia, itp..

5 SKALE POMIAROWE Podstawą uznania cechy za mierzalną lub niemierzalną jest sposób jej pomiaru, czyli zastosowanie odpowiedniej skali pomiarowej. Jeżeli np. badaną cechą będzie wiek osób pewnej zbiorowości, to możemy wyrażać go liczbą ukończonych lat (czyli stosujemy tzw. skalę ilorazową) i cechę uznamy za mierzalną. Jeżeli interesuje nas tylko, czy osoby tej zbiorowości są młode, w wieku średnim, czy stare (stosujemy tzw. skalę porządkową), to cechę uznamy za niemierzalną. Skale pomiarowe stosowane w statystyce i ich własności przedstawia poniższa tabela. Skale są w niej uporządkowane od najsłabszej do najsilniejszej, tzn., że każda z nich ma wszystkie własności skali poprzedniej oraz własności dodatkowe.

6 Nominalna Skala pomiaru Własności PyPrzykłady Porządkowa Przedziałowa
Pozwala jedynie podzielić elementy zbiorowości na rozłączne podzbiorowości (kategorie, warianty) Płeć – kobieta, mężczyzna Rodzaj ukończonych studiów – medyczne, techniczne, ekonomiczne, itd.. Porządkowa Dodatkowo pozwala uporządkować elementy według intensywności występowania cechy, nie ustalając odległości między nimi Wykształcenie – podstawowe, zawodowe, średnie, wyższe. Rodzaj miasta – gminne, powiatowe, wojewódzkie. Przedziałowa (interwałowa) Dodatkowo pozwala mierzyć różnice w intensywności występowania cechy między elementami zbiorowości. Nie pozwala określić ilorazu intensywności cechy wybranych jednostek. Początek skali to tzw. zero względne (umowne) Temperatura w ℃ Rok urodzenia Ilorazowa (stosunkowa) Dodatkowo pozwala określić iloraz intensywności występowania cechy między jednostkami. Posiada zero bezwzględne. Dochód, cena, wiek, wydatki, temperatura w °𝐾,

7 Przykład 1.2. Wśród studentów AMW przeprowadzono ankietę, pytając o: wzrost, płeć, liczbę rodzeństwa Populacja – zbiór wszystkich studentów AMW. Jednostka statystyczna – student AMW. Cechy statystyczne – wzrost, płeć, liczba rodzeństwa. wzrost - cecha mierzalna ciągła, płeć cecha niemierzalna, liczba rodzeństwa – cecha mierzalna skokowa.

8 2. Prezentacja rozkładu cechy statystycznej
Rozkładem cechy statystycznej nazywamy uporządkowany zbiór par (xi, ni), gdzie xi oznacza wartości (kategorie, odmiany) cechy a ni liczbę jednostek statystycznych przyjmujących wartość xi. Rozkłady cech statystycznych można przedstawiać w postaci tabel, zwanych szeregami rozdzielczymi lub graficznie w postaci wykresów różnych typów.

9

10 W szeregu rozdzielczym liczebności można zastąpić częstościami względnymi wi= ni/n, z jakimi wartości cechy występują w rozkładzie. Wówczas szereg rozdzielczy punktowy ma postać:

11 Graficzną prezentacją takiego rozkładu jest
Histogram Diagram liczebności

12 Przykład 2.1. W grupie 15 studentów zanotowano następujące ilości wypalanych dziennie papierosów: 8, 15,10,17,15,18,10,5,8,17,15,18,17,15,10. Sporządzamy szereg rozdzielczy punktowy diagram liczebności

13

14 Przy budowie szeregu rozdzielczego przedziałowego będziemy kierowali się następującymi zasadami:
wyznaczone przedziały obejmują wszystkie wartości cechy występujące w populacji, wyznaczone przedziały są rozłączne (żaden element nie może należeć do dwóch różnych klas, w szeregu nie powinno być przedziałów pustych ( o zerowej liczbie jednostek), przedziały mają tę samą rozpiętość (nie jest to wymóg konieczny ale wygodny w analizie statystycznej), pierwszy przedział ma ustaloną dolną granicę a ostatni górną granicę (jeżeli pierwszy lub ostatni przedział jest nieograniczony, to sami ustalamy ograniczenia), ustalamy rozstęp R=xmax – xmin między największą i najmniejszą wartością cechy, ustalamy rozpiętość przedziałów h jako przybliżenie z nadmiarem liczby R/k, gdzie k oznacza liczbę utworzonych przedziałów (dokładność przybliżenia nie powinna być wyższa niż dokładność, z jaką podane są wartości badanej cechy),

15 Ustalanie liczby klas szeregu rozdzielczego przedziałowego

16 (w Excelu wykresy punktowe )
Do graficznej prezentacji rozkładu cechy ciągłej stosujemy: - histogramy ( w Excelu wykres kolumnowy) - wieloboki liczebności krzywe liczebności (w Excelu wykresy punktowe )

17 Przykład 2.2. Badając ilość spożywanych w ciągu roku ryb przez jedną osobę, pobrano 50- elementową próbę i otrzymano następujące wyniki (w kg ): 3,6 ; 5,0 ; 4,0 ; 4,7 ; 5,2 ; 5,9 ; 4,5 ; 5,3 ; 5,5 ; 3,9 ; 5,6 ; 3,5 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,0 ; 5,0 ; 3,1 ; 5,8 ; 4,8 ; 4,4; 4,6 ; 5,1 ; 4,7 ; 3,0 ; 5,5 ; 6,1 ; 3,8 ; 4,9 ; 5,6 ; 6,1 ; 5,9 ; 4,2 ; 6,4 ; 5,3 ; 4,5 ; 4,9 ; 4,0 ; 5,2 ; 3,3 ; 5,4; 4,7 ; 6,4 ; 5,1 ; 3,4 ; 5,2 ; 6,2 ; 4,4 ; 4,3 ; 5,8 ; 3,7. Sporządzimy dla tego rozkładu szereg rozdzielczy przedziałowy. Przyjmujemy liczbę klas k=6. Określamy rozstęp R=6,4 – 3,0 = 3,4. Wyznaczamy rozpiętość przedziału h = 3,4/6 = 0,566… Dla h bierzemy przybliżenie z nadmiarem, czyli h = 0,6. Szereg przedziałowy ma postać: Histogram rozkładu:

18 Prezentacja rozkładu cechy niemierzalnej
Podobnie jak dla cech mierzalnych sporządzamy szereg rozdzielczy Kategoria xi Liczebność ni Kategoria 1 n1 Kategoria 2 n2 . Kategoria k nk Suma n Graficznie prezentujemy rozkład zazwyczaj na wykresach słupkowych lub kołowych.

19 Prezentację rozkładu cechy „źródło informacji" podajemy w postaci
Przykład 2.3. W sondzie ulicznej zapytano 20 osób, skąd głównie czerpią informacje o wydarzeniach w kraju i na świecie. Odpowiedzi były następujące: TVP, TVN, TVP, Polsat, TVP prasa, TVN, TVP, TVN, TVN, TVP, prasa, TVP, Polsat, TVN, TVP, Polsat, prasa, TVP. Prezentację rozkładu cechy „źródło informacji" podajemy w postaci szeregu rozdzielczego oraz wykresu słupkowego i kołowego Źródło informacji Liczba osób TVP 8 TVN 5 Polsat 4 prasa 3 Razem 20

20 Rozkłady różniące się położeniem
3. Własności jednowymiarowych rozkładów cech statystycznych Rozkłady cech statystycznych analizuje się ze względu na cztery własności: położenie, dyspersję,, asymetrię, koncentrację. Położenie (przeciętny poziom) – to własność, która określa, w którym miejscu na osi liczbowej położone są wartości badanej cechy. Do oceny położenia rozkładu będziemy używali jednej z trzech wielkości: średniej wartości cechy (średniej arytmetycznej), wartości środkowej M(x) (mediany), najczęściej występującej wartości D(x) (dominanty, mody). Rozkłady różniące się położeniem

21 Rozkłady różniące się dyspersją
Dyspersja (zróżnicowanie, rozrzut ) – to własność, która określa, jak przeciętnie wartości cechy odchylają się od wartości typowych, np. od wartości średniej 𝑥 , mediany M(x). Rozkłady różniące się dyspersją

22 Rozkłady różniące się asymetrią
Asymetria – to własność, która określa czy w rozkładzie przeważają jednostki o wartościach większych niż wartość średnia (asymetria lewostronna ), czy mniejszych niż wartość średnia (asymetria prawostronna). Jeżeli tyle samo jednostek przyjmuje wartości mniejsze i większe od wartości średniej, to rozkład nazywamy symetrycznym (brak asymetrii). Rozkłady różniące się asymetrią

23 Rozkłady różniące się kurtozą
Koncentracja (kurtoza) – to własność określająca jak silnie wartości cechy skupiają się wokół wartości średniej. Rozkłady różniące się kurtozą

24 Typy rozkładów cech statystycznych
Rozkłady typowe Wzorcem rozkładu typowego jest rozkład normalny (rozkład Gaussa) o wykresie: Rozkłady o umiarkowanej asymetrii, w których nie występują wartości znacznie odbiegające od przeciętnych, bardziej lub mniej spłaszczone zaliczamy do rozkładów typowych.

25 Przykłady rozkładów nietypowych
Rozkłady nietypowe

26 4. Badanie własności rozkładów jednowymiarowych
Miary położenia: - miary klasyczne - średnia arytmetyczna - miary pozycyjne - dominanta D(x) - mediana M(x) - kwartyle Qk(x) Miary dyspersji: - wariancja s2(x) - odchylenie standardowe s(x) - klasyczny współczynnik zmienności V(x) - odchylenie ćwiartkowe Q(x) - pozycyjny współczynnik zmienności Vp(x)

27 Miary asymetrii: - klasyczny współczynnik asymetrii A(x) - pozycyjny współczynnik asymetrii Ap(x) Miary koncentracji: - współczynnik koncentracji K(x) - współczynnik ekscesu g(x) Miary klasyczne stosujemy w rozkładach typowych. Miary pozycyjne można stosować w rozkładach dowolnych.

28 Średnia arytmetyczna Dla szeregu rozdzielczego punktowego gdzie: - wartości cechy dla i=1,2,3,…,k - liczba jednostek przyjmujących wartość dla i=1,2,3,…,k, Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego - środek przedziału <xi-1 ; xi) dla i=1,2,3,…,k. Interpretacja: gdyby wszystkie jednostki zbiorowości miały taką samą wartość, to byłaby ona równa średniej arytmetycznej

29 Średnia arytmetyczna obliczana na podstawie szeregu punktowego.
Przykład 4.1. Średnia arytmetyczna obliczana na podstawie szeregu punktowego. Szereg przedstawia rozkład liczby wypalanych dziennie papierosów w 50 osobowej grupie. Przeciętnie każdy w tej grupie wypalał dziennie 16 papierosów.

30 Przykład 4.2. Średnia arytmetyczna obliczana na podstawie szeregu przedziałowego Szereg przedstawia rozkład ilości spożywanych w ciągu roku ryb (w kg) w 50 osobowej grupie konsumentów. Średnie spożycie ryb przez osobę w ciągu roku wynosi w badanej grupie 4,9 kg.

31 Graficzna interpretacja mediany
Mediana (wartość środkowa) Mediana to taka liczba, która dzieli zbiorowość na dwie części: połowa jednostek przyjmuje wartości mniejsze lub równe, natomiast druga połowa wartości większe lub równe medianie. Graficzna interpretacja mediany

32 Sposób wyznaczania mediany na podstawie szeregu punktowego
wartości cechy w szeregu porządkujemy rosnąco wyznaczamy pozycję mediany p=n/2, czyli jednostki środkowej jeżeli p nie jest liczbą całkowitą, to medianą jest jednostka o numerze (n+1)/2, czyli jeżeli p jest liczbą całkowitą , to: - dla cechy ciągłej i quasi-ciągłej - dla cechy skokowej wyznaczamy dwie mediany

33 Sposób wyznaczania mediany na podstawie szeregu przedziałowego
wyznaczamy pozycję mediany p=n/2 wskazujemy przedział mediany, czyli przedział, w którym leży jednostka o numerze [p]+1 przybliżoną wartość mediany obliczamy z wzoru gdzie: - początek przedziału mediany - rozpiętość przedziału mediany - liczebność przedziału mediany - suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany.

34 Przykład 4.3. Wyznaczymy medianę rozkładu z przykładu 4.1. Pozycja mediany p=50/2=25. Jednostka o numerze 25 oraz 26 ma wartość 15. Zatem M(x)=15 Przynajmniej 25 osób wypala dziennie 15 lub mniej papierosów i przynajmniej 25 osób wypala ich 15 lub więcej.

35 Przykład 4.4. Wyznaczymy medianę z przykładu 4.2. Pozycja mediany p=50/2=25. Jednostka o numerze 25 oraz 26 leży w przedziale <4,8 ; 5,4), więc jest to przedział mediany. 25 osób spożywa rocznie co najwyżej 5 kg ryb i 25 osób co najmniej 5 kg.

36 Graficzna interpretacja kwartyli
Kwartyle Kwartyle dzielą zbiorowość na cztery części po 25% jednostek każda. Graficzna interpretacja kwartyli

37 Sposób wyznaczania kwartyli na podstawie szeregu punktowego
wartości cechy w szeregu porządkujemy rosnąco wyznaczamy pozycję kwartyla pk=k∙n/4 jeżeli pk nie jest liczbą całkowitą, to kwartyl Qk(x) przyjmuje taką wartość, jak jednostka o numerze następnym za pozycją kwartyla jeżeli pk jest liczbą całkowitą , to: - dla cechy ciągłej i quasi-ciągłej - dla cechy skokowej wyznaczamy dwa kwartyle

38 Sposób wyznaczania kwartyli na podstawie szeregu przedziałowego
wyznaczamy pozycję mediany pk=k∙n/4 wskazujemy przedział kwartyla, czyli przedział, w którym leży jednostka o numerze [pk]+1 przybliżoną wartość kwartyla obliczamy z wzoru gdzie: - początek przedziału kwartyla - rozpiętość przedziału kwartyla - liczebność przedziału kwartyla - suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział kwartyla

39 Wyznaczanie kwartyli na podstawie szeregu punktowego
Przykład 4.5. Wyznaczanie kwartyli na podstawie szeregu punktowego Wyznaczymy kwartyle z przykładu 4.1. Wyznaczamy pozycje kwartyli: p1=1∙50/4=12,5 p2=2∙50/4=25 p3=3∙50/4=37,5 Stąd: Q1(x)=x13=15 Q2(x)=x25=15 - mediana Q3(x)=x38=17 Przynajmniej 25% palaczy wypala 15 papierosów lub mniej, przynajmniej 25% palaczy wypala 17 lub więcej papierosów. L. papierosów xi Liczba osób ni 10 3 12 7 15 16 Q1,Q2 17 14 Q3 20 8 24 2 Suma 50

40 Przykład 4.6. Wyznaczanie kwartyli na podstawie szeregu przedziałowego Wyznaczymy kwartyle rozkładu z przykładu 4.2. Wyznaczamy pozycje kwartyla pierwszego i trzeciego (kwartyl drugi, czyli medianę już wyznaczaliśmy): p1=1∙50/4=12,5 p3=3∙50/4=37,5 Wynika stąd, że kwartyle leżą w przedziałach zaznaczonych w tabeli. 25% badanych spożywa rocznie co najwyżej 4,3 kg ryb i 25% badanych spożywa ich co najmniej 5,6 kg.

41 Dominanta (moda) Dominanta D(x) jest to wartość cechy najczęściej występująca w zbiorowości (najwięcej jednostek przyjmuje wartość D(x) ). Wyznaczanie dominanty ma sens dla rozkładów typowych oraz nietypowych wielomodalnych. Wyznaczanie dominanty na podstawie szeregu punktowego polega na wskazaniu wartości cechy występującej w rozkładzie najczęściej. Dla szeregu przedziałowego dominantę wyznaczamy z wzoru przybliżonego: gdzie: - początek przedziału dominanty - liczebność przedziału dominanty -odpowiednio liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty i następującego po nim. - rozpiętość przedziału dominanty

42 Przykład 4.7. Wyznaczanie dominanty na podstawie szeregu przedziałowego Wyznaczymy dominantę rozkładu z przykładu 4.2. Najczęściej występująca ilość spożywanych ryb przez jedną osobę w ciągu roku to 5,1kg.

43 Klasyczne miary dyspersji Odchylenie standardowe s(x)
Wariancja s2(x) to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń wartości cechy od wartości średniej. Jeżeli wariancja jest równa 0, to znaczy, że wszystkie jednostki zbiorowości miały tę samą wartość. Dla szeregu rozdzielczego punktowego wariancję obliczamy z wzoru: Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego z wzoru: Odchylenie standardowe s(x)

44 Klasyczne miary dyspersji
Klasyczny współczynnik zmienności V(x) jest miarą siły dyspersji gdyż porównuje odchylenie standardowe ze średnią wartością cechy. V(x) przyjmuje zazwyczaj wartości z przedziału <0;1> (chociaż może się zdarzyć, że przekroczy wartość 1) Jeżeli V(x)=0 to brak zróżnicowania wartości cechy w populacji. Przyjmujemy, że dyspersja rozkładu jest: - słaba, gdy V(x)∈(0; 0,30>, - umiarkowana, gdy V(x)∈(0,30; 060>, - silna, gdy V(x)> 0,60.

45 Pozycyjne miary dyspersji
Odchylenie ćwiartkowe Q(x) – ocenia zróżnicowanie wartości dla 50% środkowych jednostek (między kwartylem trzecim a pierwszym). Pozycyjny współczynnik zmienności Vp(x) Pozycyjny współczynnik zmienności ocenia siłę dyspersji, którą interpretujemy tak samo jak w przypadku współczynnika klasycznego. Uwaga: Klasyczny współczynnik zmienności jest dokładniejszą miarą dyspersji niż współczynnik pozycyjny, ponieważ uwzględnia wszystkie wartości cechy (współczynnik pozycyjny tylko 50%). Klasyczny współczynnik zmienności stosujemy w ocenie dyspersji tylko rozkładów typowych, pozycyjny zaś w dowolnych rozkładach.

46 Przykład 4.7. Wyznaczymy miary dyspersji dla rozkładu z przykładu 4.1. Zarówno klasyczny jak i pozycyjny współczynnik zmienności wskazują, że dyspersja rozkładu jest słaba, tzn., że badana grupa jest mało zróżnicowana pod względem liczby wypalanych papierosów.

47 Przykład 4.8. Wyznaczymy miary dyspersji dla rozkładu z przykładu 4.2. Zarówno klasyczny jak i pozycyjny współczynnik zmienności wskazują, że dyspersja rozkładu jest słaba, tzn., że badana grupa jest mało zróżnicowana pod względem ilości spożywanych ryb w ciągu roku.

48 Miary asymetrii Jeżeli liczba jednostek o wartościach mniejszych i większych od wartości średniej jest taka sama, to rozkład jest symetryczny. Asymetria prawostronna (dodatnia) ma miejsce wtedy, gdy w rozkładzie przeważają jednostki o wartościach mniejszych od wartości średniej. Asymetrię lewostronną (ujemną) wykazuje rozkład, w którym więcej jest jednostek o wartościach większych od wartości średniej. Miarą siły asymetrii jest klasyczny współczynnik asymetrii: gdzie: dla szeregu rozdzielczego punktowego oraz dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

49 Miary asymetrii Bezwzględna wartość współczynnika asymetrii zazwyczaj nie przekracza wartości 2. Mówimy, że asymetria rozkładu jest: - słaba, jeżeli - umiarkowana, jeżeli - silna, jeżeli Klasyczny współczynnik asymetrii stosujemy tylko do oceny siły asymetrii rozkładów typowych.

50 Przykład 4.9. Wyznaczymy asymetrię rozkładu z przykładu 4.1. Rozkład charakteryzuje się nieznaczną asymetrią prawostronną. W grupie jest więcej niż połowa osób wypalających mniej papierosów, niż wynosi średnia 16.

51 Przykład 4.10. Wyznaczymy asymetrię rozkładu z przykładu 4.2. Rozkład charakteryzuje się nieznaczną asymetrią lewostronną. W grupie jest więcej niż połowa osób spożywających więcej ryb, niż wynosi średnia 4,9 kg.

52 Miary koncentracji (kurtozy)
Kurtoza to stopień skupienia wartości cechy wokół wartości średniej. Oceny kurtozy dokonujemy tylko dla rozkładów typowych symetrycznych lub o nieznacznej asymetrii. Miarą kurtozy jest współczynnik koncentracji gdzie dla szeregów rozdzielczych punktowych dla szeregów rozdzielczych przedziałowych Przy ocenie kurtozy za wzorzec przyjmujemy rozkład normalny standardowy, dla którego K(x)=3.

53 Miary koncentracji Różnica zwana współczynnikiem ekscesu, wskazuje, czy skupienie jednostek wokół wartości średniej jest silniejsze, czy słabsze niż w rozkładzie normalnym standardowym. Jeżeli =0, to stopień skupienia jest taki sam, jak w rozkładzie normalnym standardowym. Jeżeli <0, to wykres rozkładu jest bardziej spłaszczony niż rozkładu normalnego standardowego. Jeżeli >0, to wykres jest bardziej wysmukły.

54 Przykład 4.11. Wyznaczymy koncentrację rozkładu z przykładu 4.1. Wartości cechy są nieznacznie bardziej skoncentrowane wokół średniej niż w rozkładzie normalnym.

55 Przykład 4.12. Wyznaczymy koncentrację rozkładu z przykładu 4.2. Wartości cechy są mniej skoncentrowane wokół średniej niż w rozkładzie normalnym.

56 5.OCENA RÓWNOMIERNOŚCI ROZŁOŻENIA OGÓLNEJ SUMY WARTOŚCI
Ocena koncentracji będącej przeciwieństwem rozdrobnienia dotyczy rozkładów typowych i nietypowych, przedstawionych w formie szeregu rozdzielczego. Możemy jej dokonać graficznie sporządzając krzywą koncentracji Lorenza lub analitycznie obliczając współczynnik koncentracji Giniego. Graficzna metoda oceny koncentracji – krzywa Lorenza. Już na podstawie szeregu rozdzielczego, porównując liczebności klas ( 𝑛 𝑖 ) z cząstkowymi sumami wartości ( 𝑥 𝑖 ∙ 𝑛 𝑖 ), można wstępnie ocenić, czy koncentracja jest słaba czy silna. Jeżeli w szeregu występują klasy o małej liczebności, którym odpowiadają duże cząstkowe sumy wartości, natomiast klasom o dużej liczebności odpowiadają małe cząstkowe sumy wartości, świadczy to o nierównomiernym rozłożeniu ogólnej sumy wartości, czyli dużej koncentracji. Zależności te dużo wygodniej jest przedstawić na wykresie.

57 Krzywa Lorenza Krzywą koncentracji (krzywą Lorenza) sporządzamy w prostokątnym układzie współrzędnych. Na osi poziomej umieszczamy skumulowane częstości względne (𝑤 𝑠𝑘 𝑖 ), które pokazują, jak przyrastają liczebności wraz ze wzrostem wartości cechy. Natomiast na osi pionowej umieszczamy skumulowane względne przyrosty ogólnej sumy wartości (𝑧 𝑠𝑘 𝑖 ), pokazujące przyrost ogólnej sumy wartości wraz ze wzrostem wartości cechy. Ponieważ maksymalna wartość skumulowanych częstości .wynosi 1, wykres zawiera się w kwadracie o boku równym 1.

58 Krzywa Lorenza Porównując położenie krzywej Lorenza względem linii równomiernego podziału, oceniamy siłę koncentracji: jeżeli krzywa Lorenza pokrywa się z linią równomiernego podziału, oznacza to brak koncentracji, czyli każda jednostka zbiorowości dysponuje taką samą częścią ogólnej sumy wartości; jest to sytuacja skrajna, oznacza również brak dyspersji (np. każde gospodarstwo rolne ma taką samą część ogólnego areału użytków rolnych); jeżeli krzywa Lorenza odchyla się od linii równomiernego podziału znaczy to, że występuje koncentracja, tym silniejsza im odchylenie jest większe (im większe jest pole a ); jeżeli krzywa Lorenza przebiega wzdłuż boków kwadratu AB i BC (pole a jest równe polu trójkąta ABC), oznacza to koncentrację zupełną. Sytuacja taka zachodzi wtedy, gdy jedna jednostka dysponuje całą sumą wartości (np. jedno gospodarstwo rolne dysponuje całym areałem użytków rolnych).

59 Współczynnik koncentracji Giniego
Bardziej precyzyjną ocenę koncentracji niż na podstawie wykresu uzyskamy, wyznaczając współczynnik koncentracji Giniego. Pozwala on jednoznacznie, za pomocą jednej wartości liczbowej, ocenić koncentrację jednego rozkładu jak również porównać koncentrację kilku rozkładów. W konstrukcji tej miary wykorzystuje się wykres krzywej Lorenza. Współczynnik koncentracji jest ilorazem pola figury utworzonej przez linię równomiernego podziału i krzywą Lorenza (pole a ), ora pola całego trójkąta ABC, równego 0,5: 𝐾 𝐺 𝑥 = 𝑎 0,5 . W praktyce łatwiej jest obliczyć pole pod krzywą Lorenza (pole figury b ), dopełnające pole a. Dzielimy je na trapezy (wliczając trójkąt leżący najbliżej początku układu współrzędnych), których równoległe podstawy (ustawione pionowo) wynoszą odpowiednio 𝑧 𝑠𝑘 𝑖−1 oraz 𝑧 𝑠𝑘 𝑖 , natomiast wysokość 𝑤 𝑖 . Trapezów jest tyle, ile wierszy w szeregu rozdzielczym. Pole b obliczamy jako sumę pól trapezów 𝑏= 𝑖=1 𝑘 𝑧 𝑠𝑘 𝑖 +𝑧 𝑠𝑘 𝑖−1 2 ∙ 𝑤 𝑖 gdzie 𝑧 𝑠𝑘 0 =0.

60 Współczynnik koncentracji Giniego
Ostatecznie wzór na współczynnik Giniego przyjmie postać: 𝐾 𝐺 𝑥 =1−2𝑏. Jest to miara niemianowana i unormowana, przyjmuje wartości od 0 do 1. Do oceny siły koncentracji można zastosować następującą skalę: 𝐾 𝐺 𝑥 w przedziale: 0,00-0, słaba koncentracja, 0,31-0, umiarkowana koncentracja, 0,61-1, silna koncentracja

61 Przykład 5.1. Ocenić koncentrację powierzchni użytków rolnych w indywidualnych gospodarstwach w Polsce w 2001 roku.

62

63

64 6. NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY
Ze względu na koszty badania statystycznego chcielibyśmy ograniczyć liczebność próby statystycznej do niezbędnego minimum. W niektórych przypadkach określenie tego minimum jest możliwe. Do najczęściej szacowanych parametrów populacji generalnej należy wartość oczekiwana 𝜇. Załóżmy, że badana cecha ma rozkład normalny 𝑁(𝜇,𝜎) i znana jest wariancja 𝜎 2 populacji generalnej. Wówczas 𝑛= 𝑢 1− 𝛼 2 𝜎 2 𝑑 2 oznacza niezbędną liczebność próby, przy której z dużym prawdopodobieństwem 1−𝛼 (zwanym poziomem ufności), przy szacowaniu wartości oczekiwanej 𝜇 popełnimy błąd nie większy niż z góry założony błąd szacuku 𝑑. Wartość 𝑢 1− 𝛼 2 odczytujemy z tablic rozkładu 𝑁(0,1) dla prawdopodobieństwa 1− 𝛼 2 .

65 Niezbędna liczebność próby
Podobnie postępujemy w przypadku szacowania parametru 𝜇 cechy o rozkładzie 𝑁(𝜇,𝜎) , gdy nie znamy wariancji 𝜎 2 populacji generalnej. Nieznaną wariancję szacujemy na podstawie małej próby wstępnej (pilotującej) o liczebności 𝑛 0 następująco 𝑆 2 = 1 𝑛 0 −1 𝑖=1 𝑛 0 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 Wówczas niezbędną liczebność próby wyznaczamy z wzoru 𝑛= 𝑡 1− 𝛼 2 𝑆 2 𝑑 2 . Wartość 𝑡 1− 𝛼 2 odczytujemy z tablic rozkładu 𝑡−𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 dla prawdopodobieństwa 1− 𝛼 2 i 𝑛 0 −1 stopni swobody. Jeżeli wyznaczona liczebność próby jest ze względów praktycznych za duża, możemy ją zmniejszyć, zwiększając odpowiednio maksymalny dopuszczalny błąd szacunku 𝑑.

66 Szacowanie wskaźnika struktury
Innym często szacowanym parametrem jest wskaźnik struktury, czyli procentowy udział jednostek o pewnej własności w całej populacji. Minimalną liczebność próby potrzebną do oszacowania tego parametru z żądaną z góry dokładnością 𝑑 przy przyjętym poziomie ufności 1−∝ wyznaczamy z wzoru 𝒏= ( 𝑢 1− 𝛼 2 ) 𝟐 𝟒 𝒅 𝟐 Wartość 𝑢 1− 𝛼 2 odczytujemy z tablic rozkładu 𝑁(0,1) dla prawdopodobieństwa 1− 𝛼 2 . Jeżeli wyznaczona liczebność próby jest ze względów praktycznych za duża, możemy ją zmniejszyć, zwiększając odpowiednio maksymalny dopuszczalny błąd szacunku 𝑑.

67 Przykład 6.1. Odchylenie standardowe błędu jednego wysokościomierza wynosi 𝜎=15𝑚. Ile takich przyrządów należy mieć w samolocie aby z prawdopodobieństwem 0,99 błąd oceny wysokości nie przekroczył 30 m, jeżeli błędy wysokościomierzy mają rozkład normalny? Ponieważ znamy odchylenie standardowe 𝜎, korzystamy z wzoru 𝑛= 𝑢 1− 𝛼 2 𝜎 2 𝑑 2 . Wartość 𝑢 1− 𝛼 2 odczytujemy z tablic rozkładu 𝑁(0,1) dla prawdopodobieństwa 1− 𝛼 2 =1− 0,01 2 =1−0,005=0,995 𝑢 0,995 =2,5758 Stąd 𝑛= 2,5758∙ =1,66 Wynika stąd, że w samolocie powinny być co najmniej 2 wysokościomierze.

68 Przykład 6.2. Ustalić minimalną liczebność próby, aby możliwe było oszacowanie średniego czasu, jaki robotnik zużywa na każdorazowe uruchomienie mechanizmu, jeżeli przyjmiemy, że maksymalny błąd szacunku średniej wynosi 0,74 min oraz że poziom ufności jest równy 0,95. Na podstawie próby wstępnej 𝑛 0 =8 ustalono, że odchylenie standardowe czasu rozruchu mechanizmu wynosi 𝑆=3 𝑚𝑖𝑛. Zakładamy, że czas rozruchu mechanizmu ma rozkład normalny. Odchylenie standardowe zostało oszacowane na podstawie próby wstępnej więc niezbędną liczebność próby wyznaczamy z wzoru 𝑛= 𝑡 1− 𝛼 2 𝑆 2 𝑑 2 Wartość 𝑡 1− 𝛼 2 = 𝑡 0,975 =2,365 odczytujemy z tablic rozkładu 𝑡−𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 dla prawdopodobieństwa 0,975 i 𝑛 0 −1=8−1=7 stopni swobody i mamy 𝑛= 2,365∙ ,74 2 =91,92. Trzeba wykonać 92 pomiary.

69 Prezentacja przygotowana na podstawie pozycji:
Maksimowicz-Ajchel A., Wstęp do statystyki, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2007. King B.M., Minium E.W., Statystyka dla psychologów i pedagogów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.