opracowanie: Ewa Miksa

Prezentacja na temat: "opracowanie: Ewa Miksa"— Zapis prezentacji:

1 opracowanie: Ewa Miksa
Własności trójkątów opracowanie: Ewa Miksa

2 Spis treści: Klasyfikacja trójkątów Pole trójkąta Konstrukcje trójkąta
Suma kątów w trójkącie Kąt zewnętrzny trójkąta Okręgi wpisane i opisane na okręgu Twierdzenie Pitagorasa

3 Ze względu na długość boków trójkąty dzielimy na:
równoboczne równoramienne różnoboczne

4 a a a Trójkąt równoboczny
ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary. a a a Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki (ramiona) równej długości. ramię ramię podstawa Trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.

5 ostrokątne prostokątne rozwartokątne
Ze względu na miary kątów trójkąty dzielimy na: ostrokątne prostokątne rozwartokątne

6 ma wszystkie kąty ostre.
Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Boki przylegające do kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego – przeciwprostokątną. przeciwprostokątna przyprostokątna przyprostokątna Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty.

7 Trójkąt równoramienny prostokątny
Trójkąt równoramienny rozwartokątny Trójkąt równoramienny ostrokątny Trójkąt różnoboczny prostokątny Trójkąt różnoboczny rozwartokątny Trójkąt różnoboczny ostrokątny Trójkąt równoboczny – zawsze ostrokątny

8 Pole równoległoboku h a P = a · h

9 h a P = a · h

10 h a P = a · h

11 h a P = a · h

12 Pole trójkąta h a a · h P = 2

13 Konstrukcja trójkąta z :
trzech odcinków; dwóch odcinków i kąta; odcinka i dwóch kątów;

14 Konstrukcja trójkąta z trzech odcinków:
b c C b c a A B

15 Długości boków trójkąta mogą być różne, jednak nie mogą być zupełnie dowolne. Spróbuj zbudować trójkąt z odcinków o długościach: 8cm, 2cm, 3cm. Czy Ci się to udało ? Suma długości każdych dwóch odcinków musi być większa od długości trzeciego.

16 Nierówność trójkąta: a b a + b > c b + c > a a + c > b c

17 Konstrukcja trójkąta z dwóch odcinków i kąta
b  C a  b A B

18 Konstrukcja trójkąta z dwóch odcinków i kąta jest wykonalna, gdy kąt ma miarę mniejszą od 180°.

19 Konstrukcja trójkąta z odcinka i dwóch kątów.
  C   a B A

20 Konstrukcja jest wykonalna, gdy suma miar danych kątów jest mniejsza niż 180°.
 

21 Czy pamiętasz, jaki związek zachodzi między miarami kątów trójkąta ?
Suma miar kątów trójkąta wynosi 180°.

22 Kąt zewnętrzny trójkąta – to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.
Czy wiesz, jaki jest związek między kątem zewnętrznym, a kątami wewnętrznymi tego trójkąta?

23  +  =  Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar
kątów wewnętrznych, nie przyległych do tego kąta.

24 Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

25 Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

26 W trójkącie równobocznym symetralne boków i dwusieczne kątów pokrywają się. Dlatego środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Zależności pomiędzy promieniem r okręgu wpisanego, promieniem R okręgu opisanego a bokiem a trójkąta przedstawiają wzory: a3 a3 R = r = 6 3

27 Twierdzenie Pitagorasa
P1 + P2 = P3 P 2 P 1 W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P 3

28 Jeden z dowodów twierdzenia Pitagorasa :
c a b a b a a P2 = b2 b P3 = c2 b P1 = a2 a b

29 Inna postać: a2 + b2 = c2 c a b Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

30 Zastosowania twierdzenia Pitagorasa:
Przekątna kwadratu: a2 + a2 = d2 2a2 = d2 d = 2a2 d = a2 d a a

31 Wysokość trójkąta równobocznego:
h2 + (½ a)2 = a2 h2 + ¼ a2 = a2 h2 = a2 – ¼ a2 h2 = ¾ a2 h = a a h ½ a ½ a a3 2

32 Zależności pomiędzy bokami w trójkątach o kątach:
30°, 60°, 90° oraz 45°, 45°, 90° 30° 2a 45° a2 a3 a 90° 45° 90° 60° a a