Rozwiązywanie równań Podstawowa komenda do rozwiązywania układów równań Solve[eqns,vars] -równania i układy równań -nierówności Równania mogą być sformułowane.

Prezentacja na temat: "Rozwiązywanie równań Podstawowa komenda do rozwiązywania układów równań Solve[eqns,vars] -równania i układy równań -nierówności Równania mogą być sformułowane."— Zapis prezentacji:

1 Rozwiązywanie równań Podstawowa komenda do rozwiązywania układów równań Solve[eqns,vars] -równania i układy równań -nierówności Równania mogą być sformułowane poprzez przynależność do zbiorów (RegionIntersection) -Niekiedy rozwiązanie są podane w formie uwikłanej. Podobna komenda: Reduce

2 Podstawowe opcje Cubics,Quatrics- włączanie rozwiązań z pierwiastkami sześciennymi i czwartego stopnia InverseFunctions-pozwolenie na użycie abstrakcyjnej funkcji odwrotnej (nie musi ona istnieć analitycznie) Modulus->N-rozwiązuje równania (wielomianowe) w pierścieniu liczb modulo N

3 Inne sposoby rozwiązywania
NSolve[#,{x}]-rozwiązanie numeryczne Root[p,k]-znajduje k-ty pierwiastek równania wielomianowego p=0 (nawet jeśli ma on postaci analitycznej) FindInstance-znajduje jeden pierwiastek FindRoot-rozwiązanie w pobliżu danego punktu Eliminate[{…},x]-wyrugowuje zmienną z układu równań SolveAlways znajduje wartości parametrów swobodnych, dla których równania są zawsze spełnione RowReduce-buduje macierz trójkątną. LinearSolve-rozwiązuje układ równań linowych

4 Rozwiązywanie ciągów iteracyjnych
RSolve[{a[i]==f[a[i-1],a[i-2],…],a[0]==…,a[1]==…},a[i],i] 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,… 1,2,4,8,16,32,64,…. 1,1,2,6,24,120,720, 1,4,6,4,1 RecurrenceTable[exp,a,Iterator]

5 Wykresy Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]
Ogólnie-reprezentacja graficzna przebiegu funkcji, wizualizacja jej przebiegu, głównie poprzez przypisywanie współrzędnych punktom. Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]

6 Podstawowe opcje AspectRatio-> Określa proporcje wykresu
Axes->True, False, {#,#}-pokazuje i ukrywa osie PlotRange->Automatic, All, {…,…} opisuje zakres, w którym pokazane są wartości funkcji ClippingStyle->… styl łączenia ze sobą punktów, w którym funkcja wychodzi poza zakres wykresu. Prolog->… Element grafiki będący tłem wykresu Epilog-> Element grafiki umieszczony na wierzchu grafiki Ticks-> znaczniki na osiach

7 Optymalizacja wykresów
PlotPoints-liczba punktów, w których program zaczyna rysować Mesh-pokazuje punkty, w których Wykres był rysowany MaxRecursion-ile razy funkcja była wygładzana PerformaceGoal->”Quality”,”Speed”-wybiera strategię rysowania wykresu WorkingPrecision->Precyzja obliczeń EvaluationMonitor-> wskaźnik, że rysowana funkcja była obliczona

8 Estetyka Exclusions-usuwanie punktów (asymptot) z dziedziny
Style-styl linii wykresu ExclusionStyle->… Styl Asymptot Filling-wypełnianie kolorem obszaru między krzywymi ColorFunction-funkja koloru krzywej (może zależeć od obu współrzędnych) PlotLegends-legenda (nie jest częścią wykresu)

9 Wykresy jako obiekty Wykres jest w Mathematice grafiką i może być mu przypisana zmienna lub funkcja A:=Plot[f[x],{x,5,20}] B:=Plot[g[y],{y,2,5}] Show[A,B]

10 Inne rodzaje wykresów ListPlot-wykres listy danych
DiscretePlot- Rysuje funkcję ciągłą w równo rozłożonych punktach ParametricPlot-wykres funkcji zadanych parametrycznie. {x[t],y[t]} ContourPlot-wykres funkcji uwikłanej (nie opisanej relacją y=f(x)) PolarPlot-wykres we współrzędnych biegunowych ArrayPlot/ReliefPlot-graficzna wizualizacja macierzy

11 Wykresy Funkcji dwóch i trzech zmiennych
Plot3D-podstaswowy wykres 3D DiscretePlot3D –Wykres 3D dla dyskretnych wartości. ContourPlot-wykres poziomicowy ContourPlot3D-trójwymiarowy wykres poziomicowy (dla ustalonych wartości funkcji) ListPlot3D-wykres na podstawie listy ParametricPlot3D-wykres parametryczny, ListPointPlot3D[#]-Wyświetlenie punktów z listy DensityPlot-podobnie jak CountourPlot DestinyPlot3D-Półprzeźroczysty wykres warstwowy SphericalPlot3D-wykres we współrzędnych sferycznych

12 Który wykres jest najprzydatniejszy
Funkcje (poszukiwanie miejsc zerowych, ekstremów, osobliwości, itp) Plot,Plot3D Badanie ogólnego przebiegu DiscretePlot, DiscretePlot3D Funkcje biegunowe, np. emisja światła, orbity PolarPlot Funkcje sferyczne, np. mapy pogody, kształt orbitali atomowych SphericalPlot 3D Znajdywanie rozwiązań skomplikowanych równań ContourPlot, ContourPlot3D DensityPlot n.p. Mapy Regionów Dane nieciągłe – finansowe, statystyczne ListPlot,ListLinePlot Analiza grafiki ArrayPlot Ruch ParametricPlot, ParametricPlot3D, ListPointPlot3D

13 Przydatne opcje PlotStyle gromadzi opcje wykresu (kolor, teksturę, przeźroczystość, itp.) ColorFunction->Function[{x,y,z},f[x,y,z]]-przypisuje kolor każdemu punktowi w przestrzeni wykresu (jednowymiarowa-szarości, trójwymiarowa->Kolory rgb) ColorFunctionScaling-skalowanie funkcji kolorów RegionFunction-> -określa region, w którym funkcja jest rysowana (poprzez funkcję logiczną) Texture -nakładanie tekstury na wykres TextureCoordinatesFunction… ViewPoint, ViewAngle, ViewCenter…->Ustawienia kamery

14 Składanie ze sobą wykresów
Niektóre typy wykresów przyjmują jako argumenty listy, i rysują wiele funkcji naraz. Możemy zdefiniować wykresy jako obiekty Graphics, lub Graphics3D Obiekty graficzne możemy pokazywać komendą Show[#1,…] #1 może być listą Zakresy na wykresach są dopasowywane. Nie można łączyć ze sobą obiektów różnych typów Polecenie Show może zmieniać zakres argumentów funkcji na wykresie

15 Grafika 2D Dwa źródła danych graficznych -generowane w programie
-importowane Import[filename,type] Zaimportowana grafika może pełnić dwojaką funkcję: obrazu i tablicy wartości SetDirectory[„C:\\Users\\...”] Directory[]-aktualny katalog

16 Podstawowe obiekty Disk[…] –podobnie jak Circle, ale z wypełnieniem
Grafika składa się z kombinowanych ze sobą obiektów Składnia: Graphics[Styl, Kolor,Obiekt[…], wymiary] Line[{{…},…,{…}]-linia Arrow[{{…},{…}]-strzałka Rectagle[{…},{…}] Polygon[{…}]-wielokąt rozpięty pomiędzy kolejnymi Circle[{x,y},r]-koło środku w punkcie x,y i promieniu r Circle[{x,y},{a,b}]-elipsa o środku w punkcie x,y i osiach a i b Circle[{x,y},{a,b},{e,f}], łuk elipsy rozpięty między kątami e i f Point[{…}] Możliwe jest tworzenie grafiki ręcznie Disk[…] –podobnie jak Circle, ale z wypełnieniem RegularPolygon[n]-n-kąt foremny

17 Przekształcenia Rotate[…,a]-obrót obiektu (niekoniecznie graficznego) o kąt a Translate[b,{x,y}]-Przesunięcie obiektu graficznego (nie grafiki!) Scale-przeskalowanie obiektu graficznego Magnify[#,s]-powiększanie wyświetlanego obiektu. Inset[s,{x,y}]-wstawianie obiektu (n.p. formuły) do grafiki Text[t,{x,y}]-wstawianie tekstu

18 Niektóre elementy aktywne
Tooltip[#]-przypisuje do obiektu etykietę tymczasową Tooltip[#,”label”] TooltipDelay->t-opóźnienie Mouseover[#1,#2]-wyświetla obiekt #2 zamiast #1 po najechaniu myszką StatusArea[#1]-po najechaniu myszką na obiekt zmieni się status w dolnym lewym rogu

19 Grafika3D Domyślnie obiekty 3D widzimy pod określonym kątem. Możemy go zmieniać Możemy zdefiniować punkt widzenia kamery, środek obrazu i kąt widzenia-ViewPoint, ViewCenter, ViewAngle Możemy również zmieniać ustawienia światła Lighting->None, „Automatic”, „Spot”, „Ambient”, „Directional”

20 Elementarne Obiekty Arrow[] Ball[{…}] Ellipsoid[{…}] Cone[{pt1,pt2},r]
Cuboid[…] Cylinder[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},r] Sphere[{x,y,z},r] Tube[…] Polygon Line[{…}] Point[] Text[…]

21 Przekształcenia geommetryczne grafiki 3D
Translate[#,v] przesuwa obiekt o wektor v. Rotate[#,a,v,p] obraca obiekt 3D # o kąta a wzdłuż wektora v względem punktu p GeometricTransformation[#,{m,v}]-przekształcenie każdego punktu objektu # macierzą m, a następnie przesunięcie o wektor v.

22 Właściwości (głównie) obiektów 3D
EdgeForm[{styl,kolor,grubość}] FaceForm[{…}]-format (głównie kolor) ścian. JoinForm[{„Bevel”,”Round”,Miter”}] Capform[{„Butt”,”Round”}] Opacity[r]-przezroczystość Specularity[a,b]- obcicie Światła w stopniu a od powierzchni o gładkości b.

23 GraphicsComplex[{v},#[n1,n2,…]
Zastępuje jeden wiele obiektów graficznym jednym Punkty użyte w obiekcie są zebrane w tablicy w. Do tworzących obiekt punktów odwołujemy się poprzez ich numer porządkowy Zaimportowane obiekty 3D mają formę kompleksów graficznych

24 Objętość Tworząc obiekt 3D warto pamiętać, czy tworzymy obiekt złożony z wielościanów, czy ma objętość. Przykład Sphere-Ball Tube-Cylinder