Przepływ płynów jednorodnych

Prezentacja na temat: "Przepływ płynów jednorodnych"— Zapis prezentacji:

1 Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych c.d. Płyny rzeczywiste Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

2 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Omówimy przepływ płynu oraz siły jakie działają na płyn podczas przepływu. Aby opisać przepływ płynu musimy scharakteryzować jego własności tj. prędkość, w czasie i przestrzeni. Musimy wybrać układ odniesienia: Nieruchomy układ odniesienia Podejście Eulera Układ odniesienia poruszający się wraz z płynem Podejście Lagrangea Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

3 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Znajomość prędkości płynu w funkcji położenia i czasu Pozwala na wyznaczenie gradientów prędkości naprężeń i sił pojawiających się w płynie podczas przepływu. W czasie t cząstka płynu jest w pozycji określonej wektorem r (x1,y1,z1) W czasie t + dt cząstka przesuwa się w położenie r + dr (x2,y2,z2) Prędkość elementu płynu jest wyrażona miarą zmiany położenia w czasie. Prędkość Jest wektorem ma wartość i kierunek: Wektory jednostkowe Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

4 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W ujęciu Eulera każdemu punktowi przestrzeni można przypisać wartość prędkości Jeżeli dx, dy, dz  0 to otrzymamy prędkość W punkcie: Kiedy znana jest prędkość w każdym punkcie układu to można wyznaczyć wartość prędkości średniej: strumień i strumień masowy: wektor normalny do powierzchni Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

5 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Znając wektor prędkości płynu możemy wyznaczyć wektor przyspieszenia a. Przyśpieszenie jest miarą zmiany prędkości: różniczka zupełna: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

6 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Gdy znana jest wartość prędkości to istnieje kilka metod jej prezentacji linie prądu – fluid stream lines linie do której w każdym punkcie wektor prędkości jest prostopadły . Dla przepływu ustalonego element płynu porusza się wzdłuż linii prądu. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

7 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przykład. Dla przepływu dwuwymiarowego opisanego równaniami. Wyznaczyć równanie linii prądu. podstawiamy rówania do równania na linie prądu całkujemy równanie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

8 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
linie prądu dla różnych wartości stałej C Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

9 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
1) Lepkość Przepływowi płynu rzeczywistego towarzyszą straty energii. Występują one również podczas przepływu przewodami o zupełnie gładkich ścianach. Straty te występują nie tylko z powodu tarcia o ścianki przewodu ale na skutek tarcia wewnętrznego płynu zwanego lepkością. Zjawisko to polega na tym iż dla podtrzymania gradientu prędkości niezbędne jest przyłożenie siły ścinającej Fx do powierzchni S Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

10 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Doświadczenie wykazuje że naprężenie styczne: Jest tym większe im większy jest gradient prędkości. Zależność tą przedstawia równanie lepkości Newtona Współczynnik proporcjonalności μ nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości (lepkość dynamiczna). Dla większości płynów współczynnik lepkości μ nie zależy od wielkości naprężenia stycznego  płyny Newtonowskie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

11 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wszystkie płyny nie spełniające zależności Newtona to płyny nie newtonowskie. Do grupy tej należą różnego rodzaju układy dyspersyjne np.. Zawiesiny, pasty, roztwory koloidalne itp. Zajmuje się nimi reologia tj. nauka o odkształceniach i przepływie materiałów. Jednostkę lepkości dynamicznej w układzie SI jest  [kg / m *s] [ Pa * s ] Istnieje jednostka zwana puazem – operuje się jednostkami 100 mniejszymi czyli centipuazem (cP). Lepkość wody w 20 C jest niemal równa 1 cP . Dzieląc Wartość lepkości wyrażoną w cP przez 1000 otrzymamy lepkość wyrażoną w [Pa s] Stosunek lepkości dynamicznej do gęstości płynu ρ, jest określany mianem lepkości kinematycznej: Miano w SI [m2/s] – stosuje się też 1 stoks = 1 cm2/s Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

12 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
2) Różniczkowy bilans pędu. Równanie ruchu. Równanie Naviera - Stokesa Równanie ruchu płynu wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyraża różniczkowy bilans sił i pędu dla wybranej objętości kontrolnej w płynie. Na element różniczkowy o krawędziach dx, dy, dz działają 3 siły: ciężkości, parcia i tarcia wewnętrznego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

13 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozpatrzmy siły działające na kierunku osi x: Siła ciężkości: Siła parcia: Na ściankę działa parcie Na przeciwległą ściankę działa parcie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

14 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wypadkowa tych obu parć wynosi: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

15 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Siły tarcia wewnętrznego: Siła działająca na ściankę: i na ściankę przeciwległą: ( gdyby prędkość ux zależała tylko od wartości y  płaski ruch cieczy) Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

16 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wypadkowa tych sił: Stosownie do równania lepkości Uwzględniając to i różniczkując: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

17 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Ruch cieczy nie jest „płaski”, prędkość ux może zmieniać się w każdym z kierunków współrzędnych. Stąd sumując wszystkie siły pochodzące od tarcia wewnętrznego (dla kierunku x) otrzymamy: Stąd suma wszystkich sił dla kierunku x : Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

18 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Zgodnie z drugim prawem Newtona, suma tych sił jest równa iloczynowi masy elementu i jego przyspieszenia w kierunku osi x. Przy określaniu przyśpieszania należy uwzględnić fakt iż ux jest funkcją położenia i czasu: Stąd różniczka prędkości: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

19 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Stąd przyśpieszenie: Uwzględniając masę elementu otrzymamy iloczyn masy i przyspieszenia: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

20 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
masa elementu płynu przyśpieszenie elementy płynu Ostatecznie: Gdzie ν to lepkość kinematyczna. Analogiczne równania można zapisać dla osi y i z Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

21 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

22 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Lub stosując pojęcie pochodnej wędrownej: RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

23 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla płynów doskonałych, tj. nie lepkich, które cechuje brak naprężeń stycznych równanie ruchu sprowadza się do : Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów doskonałych otrzymane przez Eulera w 1755 r. Całkowanie równania Eulera dla ruchu ustalonego prowadzi do równania: Bernoulliego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

24 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przepływ izotermiczny płynu nieściśliwego opisany jest czterema równaniami: Równaniem ciągłości Wektorowym równaniem ruchu dla trzech składowych. Celem rozwiązania jest wyznaczenie wartości ciśnienia i trzech składowych prędkości w dowolnym punkcie obszaru przepływu. Ilość niewidomych jest równa ilości równań różniczkowych a więc istnieje możliwość analitycznego rozwiązania problemu. W praktyce możliwe jest tylko dla prostych układów geometrycznych. Dla układów bardziej skomplikowanych stosuje się metody numeryczne  CFD (Computational Fluid Dynamics) W celu znalezienia rozwiązania wykorzystujemy warunki brzegowe sformułowane na podstawie fizycznego opisu zjawiska. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

25 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przykładowe wyniki obliczeń CFD: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

26 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozpatrzmy je dla przepływu cieczy w kanale: (*) Płyn nie może penetrować w głąb ciała stałego: Warstwa płynu bezpośrednio przylegająca do ścianki jest względem niej nieruchoma w wyniku działania sił adhezji. (*) Zachowana symetria i ciągłość Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

27 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przykład 1. Zastosowanie równania ruchu do rozwiązania zagadnień przepływowych Spływ warstwy cieczy po nachylonej płaskiej powierzchni: Wykorzystamy równanie N-S. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

28 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Użyjemy współrzędnych prostokątnych Jest to ruch płaski uwarstwiony i ustalony więc: Równanie dla składowej x: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

29 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Składowa x przyśpieszenia ziemskiego g : Teraz z równania ciągłości: Które dla rozpatrywanego przypadku upraszcza się do: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

30 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Równanie ruchu dla tego przypadku sprowadza się do: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

31 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dostaliśmy równanie różniczkowe : Warunki brzegowe: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

32 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozwiązujemy równanie przez scałkowanie, pierwszy raz: Wykorzystujemy pierwszy warunek brzegowy do wyznaczenia C1: Następnie całkujemy równanie ponownie i korzystamy z drugiego warunku brzegowego: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

33 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Prędkość maksymalna dla y=0 : Wprowadźmy definicję prędkości średniej jako średnia całkowa: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

34 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Natężenie objętościowe przepływu na jednostkę szerokości warstwy można obliczyć: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

35 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przykład 2. Ustalony laminarny przepływ płynu nieściśliwego rura o przekroju kołowym o promieniu R pod wpływem gradientu ciśnienia DP/L Najlepiej operować układem współrzędnych cylindrycznych Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

36 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Równanie N-S w układzie cylindrycznym: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

37 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wiemy że przepływ jest ustalony a więc wszystkie pochodne czasowe się zerują Płyn jest nieściśliwy a więc gęstość jest stała. Pomijamy efekty wlotowe ( rura jest dużo dłuższa niż jej średnica) przepływ jest jedno kierunkowy: Równanie ciągłości w układzie cylindrycznym: a więc prędkość na kierunku z nie zależy od z a tylko od r Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

38 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Składowa Vr Składowa Vq Składowa Vz Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

39 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
całkujemy całkujemy czyli : dla r=R Vz = 0 Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

40 Inżynieria Chemiczna i Procesowa
przepływ o profilu parabolicznym z maksimum dla r=0 prawo Poiseuillea Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych