ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

Prezentacja na temat: "ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH"— Zapis prezentacji:

1 ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
WYKŁAD 15 Problemy trudne informatyki Grażyna Mirkowska PJWSTK

2 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Plan wykładu Wieże Hanoi Generowanie permutacji Problem komiwojażera Scieżki Hamiltona (ścieżki Eulera) Problem kolorowania grafu Problem P= NP? Problemy NP -zupełne Rozstrzygalność Nierozstrzygalność Problemu stopu G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

3 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Przypomnienie Powiemy, że problem jest wielomianowy, tzn. jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym, tzn. istnieje algorytm rozwiązujący ten problem dla danych rozmiaru n w czasie O(n k), dla pewnego ustalonego k. Wyszukiwanie Sortowanie w tablicy Sortowanie z użyciem struktur drzewiastych Kompresja danych Najdłuższy wspólny podciąg Najkrótsze ścieżki Przykłady G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

4 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Ścieżki Eulera Dla danego grafu niezorientowanego zbadać, czy istnieje ścieżka Eulera, tzn. Droga lub cykl w grafie przechodzący przez każdą krawędź i to tylko raz. Koszt O(m), gdzie m jest liczbą krawędzi grafu Nie istnieje ścieżka Eulera. Istnieje ścieżka Eulera. Algorytm 1. Zbadać, czy graf jest spójny 2. Zbadać, czy graf wszystkie, z wyjątkiem co najwyżej dwóch wierzchołków, mają rząd parzysty. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

5 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Wieże Hanoi Danych jest n krążków, umieszczonych w porządku rosnących średnic, na drążku A. Zadanie polega na przeniesieniu wszystkich krążków na drążek B z wykorzystaniem pomocniczego drążka C (oba drążki B i C są początkowo puste), ale mniejszy krążek musi zawsze leżeć na większym. Problem A B C G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

6 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Algorytm Procedure przenies(n, A,B, C); {przenieś n krążków z A na B wykorzystując C} begin if (n<>0) then przenies(n-1, A,C,B); przeloz (A,B); {przełóż jeden krążek z A na B} przenieś(n-1, C, B, A) fi end Koszt wykładniczy Koszt T(1) = 1 T(n) = T(n-1) +1 +T(n-1) Rozwiązanie : T(n) = 2 n -1 T(64) = 0.5 miliona lat G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

7 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Permutacje Dla danej liczby naturalnej n wygenerować wszystkie permutacje liczb {1,2,...,n}. Problem Wywołanie:generuj(0) z now =-1 i tab[i]=0 dla i=1..n daje Procedure generuj(k : integer); var t : integer; begin now := now +1; tab[k] := now; if now =n then wypisz(tab);fi; for t:= 1 to n do if tab[t] = 0 then generuj(t); od; now := now-1; tab[k] := 0; end; Algorytm wzięty z R. Sedgewicka ALGORITHMS Koszt rzędu n! G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

8 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Problemy decyzyjne Problem, którego rozwiązanie ma dawać odpowiedź binarną tak lub nie nazywać będziemy problemem decyzyjnym. Danych jest n kart, na których wydrukowane są kolorowe obrazki. Czy można z nich ułożyć kwadrat tak, by wszystkie obrazki pasowały do siebie kształtem i kolorem? Koszt (n!) Przykład Można przypuszczać, że duży koszt wiąże się z długim rozwiązaniem przedstawionych problemów. Algorytm naiwny: przeglądamy wszystkie możliwe ułożenia. Odpowiadamy TAK, jeśli jakieś ułożenie jest poprawne, odpowiadamy NIE, gdy żadne ułożenie nie było poprawne. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

9 Pierwsza „klasyfikacja”
Algorytmy wymagające nierozsądnie dużo czasu „Małpia układanka” Ale ... Który z dwóch algorytmów o koszcie (n 100) i (2 n) dla małych n, jest lepszy? Algorytmy rozsądne Algorytmy sortowania Algorytmy wyszukiwania Kompresja danych G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

10 Klasy problemów decyzyjnych
P - klasa problemów decyzyjnych rozwiązywalnych w czasie wielomianowym NP P NP = klasa problemów decyzyjnych, dla których dowód, że podane rozwiązanie (algorytm) jest poprawne można zweryfikować w czasie wielomianowym. Tzn. rozwiązywalnych przez algorytm niedeterministyczny w czasie wielomianowym. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

11 Problem NP Problem komiwojażera
Zadanie komiwojażera polega na odwiedzeniu wszystkich miast z danego zbioru i powrót do punktu wyjścia, tak by pokonana droga była najkrótsza. 6 4 7 8 9 3 5 10 Algorytm naiwny : wygenerować wszystkie możliwe cykle. Problem NP Koszt (n!) A może zastosować metodę programowania dynamicznego? Koszt=28 Wbrew pozorom nie jest to problem błahy. Warianty tego problemu pojawiają się w związku z projektowaniem układów scalonych, w sieciach różnego typu, np. telefonicznej, w planowaniu linii montażowych, w robotyce. Algorytm naiwny polega na przeszukaniu wszystkich możliwych cykli. Zatrzyma się, gdy znajdzie cykl o koszcie <=k.Koszy takiego algorytmu wynosi dla grafu o n wierzchołkach O(n!). W wersji decyzyjnej Czy dla danego k istnieje cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki danego grafu taki, że suma kosztów jego krawędzi nie przekracza k. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

12 Czy programowanie dynamiczne może pomóc?
Niech C(i,j) będzie kosztem drogi od i do j, gdzie i, j {1,2,...n}. Niech T(i;j1,...jk) będzie kosztem optymalnej drogi z i do 1, która prowadzi przez wierzchołki j1,...,jk dokładnie raz w dowolnym porządku. Przy tym oznaczeniu koszt optymalnej drogi komiwojażera jest równy T(1; 2,3,...n). Ta rekursja wymaga jednak zapamiętania rozwiązań dla dowolnego podzbioru j1,...,jk, tzn. wykładniczo dużo miejsca i czasu. Mamy następującą zależność rekurencyjną: T(i;j1,...,jk) = min 1 m  k {C(i,jm) + T(jm;j1,...,jk/jm)} T(i;j) = C(i,j) + C(j;1) i jm 1 przez j1,..., jk G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

13 Problem spełnialności
Język Semantyka p q r v: ((p q)  r) ((p q)  r) (v) = 1 Problem Czy dla danej formuły istnieje wartościowanie, które spełnia tę formułę? Koszt : 2 n dla formuły o długości n Rozwiązanie Metoda zero-jedynkowa Ale ... G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

14 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Ścieżki Hamiltona Czy w danym niezorientowanym grafie istnieje ścieżka przechodząca przez każdy wierzchołek dokładnie raz? Nie ma ścieżki Hamiltona Istnieje ścieżka Hamiltona Euler Algorytm naiwny : sprawdzić wszystkie ścieżki. Koszt (n!) G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

15 żaden algorytm wielomianowy znajdowania liczby chromatycznej grafu.
Kolorowanie grafów Zadanie Pokolorować wierzchołki niezorientowanego grafu G , tak by wierzchołki sąsiednie miały różne kolory. Nie jest znany żaden algorytm wielomianowy znajdowania liczby chromatycznej grafu. Najmniejszą liczbę kolorów jakich trzeba użyć do pokolorowania grafu G nazywamy liczbą chromatyczną grafu , ozn. (G) Problem decyzyjny: Dany jest graf G. Ustalić, czy k kolorów wystarczy do pokolorowania tego grafu. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

16 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Inne problemy Dany jest ciąg obiektów s1,...sn (0) oraz pojemność plecaka C. Problem polega na znalezieniu podzbioru T {1,2,...,n} aby Ssi dla i T przyjmowała wartość największą oraz Ssi  C. Problem plecakowy Dana jest nieograniczona liczba kontenerów o pojemności 1 oraz n obiektów rozmiaru s1,...sn, gdzie 0  si  1. Jaka jest najmniejsza liczba kontenerów, potrzebna do zapakowania wszystkich obiektów? Problem pakowania Niech J1,...,Jn będą zadaniami do wykonania, t1,...,tn - czasem koniecznym do wykonania zadania, a d1,...,dn terminami wykonania zadań, p1,...,pn karą za przekroczenie terminu. Znaleźć taką kolejność wykonywania zadań, by zminimalizować kary. Problem planowania pracy G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

17 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
P = NP ? Klasa NPC = problemy NP-zupełne Problem p jest NP-zupełny, jeśli 1. należy do klasy NP i 2. każdy inny problem z tej klasy jest wielomianowo redukowalny do p. redukcja Przykład: Problem ścieżek Hamiltona redukuje się do problemu komiwojażera. Problem p Problem p’ Dane do problemu p wielomianowo f Dane do problemu p’ Problem P=NP? postawiony w 1971 roku jest do dziś otwarty. Większość informatyków uważa, że odpowiedź jest negatywna. O klasie P wiadomo, że jest zamknięta na składanie uzupełnianaie, nic jednak nie wiadomo o klasie NP poza dużą liczbą przykładów do niej należących. Istotnym argumentem na rzecz tezy P<>NP jest istnienie problemów NPC- zupełnych. Odpowiedzią dla danych x jest TAK Odpowiedzią dla danych f(x) jest TAK wttw G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

18 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Wszystko albo nic Gdyby udowodniono wykładnicze dolne ograniczenie dla jakiegoś problemu klasy NPC, to żadnego z problemów NPC nie można by rozwiązać wielomianowo. klasa NPC Gdyby istniało wielomianowe rozwiązanie dla jakiegokolwiek problemu z klasy NPC, to istniałby wielomianowy algorytm dla wszystkich problemów klasy NP. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

19 Rozstrzygalność i nierozstrzygalność
Powiemy, że problem jest rozstrzygalny, jeśli istnieje algorytm, który dla dowolnych danych x po skończonej liczbie kroków daje rozwiązanie problemu. W przeciwnym przypadku problem jest nierozstrzygalny Dany jest dowolny algorytm i dane do tego algorytmu. Pytamy, czy ten algorytm kończy obliczenia dla tych danych czy nie? Twierdzenie Problem stopu jest nierozstrzygalny (halting problem). Problem Czy istnieje algorytm Q, który dla dowolnego algorytmu A napisanego w pewnym ustalonym języku programowania i dla ustalonych danych x, po skończonej liczbie kroków odpowiada na pytanie, czy A zapętla się dla danych x, czy nie. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

20 Nierozstrzygalność problemu „Stopu”
W S Program wejściowy Program S S S W W Hipotetyczny program Q dla problemu stopu Odpowiada Tak, gdy program dany zatrzymuje się i Nie, jeśli program ma nieskończoną pętlę Q Sprzeczność while true do od; TAK (stop) NIE (pętla) Sprzeczność wyjście G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

21 Kolorowanie grafów planarnych
B C D E F G Twierdzenie o 5 barwach Każdą mapę można pokolorować co najwyżej 5 kolorami w taki sposób, że dwa sąsiadujące obszary mają różne kolory. < 26 państw < 96 państw A E G B C D F H 1977  Appel, Haken Twierdzenie Dowolny graf planarny można pokolorować co najwyżej 4 kolorami. G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

22 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Algorytm 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sekwencyjne wierzchołkowe kolorowanie grafu Wejście: Dany jest graf G = <V, E>, gdzie V ={v1,v2,...,vn} definiująca poprawne kolorowanie Wyjście: funkcja f : V{1,2,3...} for i :=1 to n do f(vi):= najmniejszy numer koloru, który jeszcze nie został użyty do pokolorowania sąsiadów wierzchołka vi o mniejszych indeksach; od; Przykład kolory Nie jest to jednak optymalne kolorowanie! G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne

23 G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne
Algorytm 2 Kolorowanie wierzchołkowe - „najpierw największy rząd” Wejście: Graf G o n wierzchołkach Wyjście: Pokolorowanie f grafu G while istnieje niepokolorowany wierzchołek grafu G do v := wierzchołek niepokolorowany o maksymalnym rzędzie ; f(v):= najmniejszy numer koloru, który nie został użyty do pokolorowania sąsiadów tego wierzchołka od; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Złożoność O(n*n) G. Mirkowska, ASD_15 Problemy trudne