Równania konstytutywne

Prezentacja na temat: "Równania konstytutywne"— Zapis prezentacji:

1 Równania konstytutywne
Wykład 5 Równania konstytutywne Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

2 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem odkształceń w danym ciele. W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów , których właściwości opisywane są równie ogromną liczbą równań konstytutywnych. Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.: Lepki płyn Newtonowski Płyn nielepki Elastyczne ciało Hooka w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów. Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

3 Wykład 5 – Równania konstytutywne
PŁYN NIELEPKI Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać: skalar zwany ciśnieniem delta Kroneckera Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie stanu: Dla gazów rzeczywistych równanie to jest bardziej skomplikowane ale osiągalne. stała gazowa Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

4 Wykład 5 – Równania konstytutywne
przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego : równanie ruchu Eulera jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

5 Wykład 5 – Równania konstytutywne
PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do szybkości odkształcenia. Równanie konstytutywne przybiera postać: tensor szybkości odkształcenia tensor naprężenia ciśnienie statyczne tensor współczynników lepkości płynu Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

6 Wykład 5 – Równania konstytutywne
dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji . Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Nie wszystkie elementy są niezależne. Jeżeli założymy, że tensor Dijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch niezależnych stałych λ i μ : Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

7 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy: jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem izotropowym Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

8 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σkk są niezależne od szybkości deformacji Vkk to musimy przyjąć iż: i równanie konstytutywne przybiera postać: równanie to wyprowadził George G. Stokes płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

9 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to Vkk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych płynów lepkich: a przy zerowej lepkości otrzymujemy: po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamyrównanie N-S Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

10 Wykład 5 – Równania konstytutywne
w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik lepkości μ Newton zaproponował następującą relację naprężenie styczne Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m2] Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

11 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Rozpatrzmy objętość kontrolną wyodrębnioną z płynu, która ulega deformacji po przyłożeniu naprężenia: W chwili t1 kąt jaki tworzy ścianka pionowa elementu płynu względem położenia początkowego wynosi θ1. W chwili t2 kąt wzrasta do wartości θ2. Dla przedziału czasowego Δt = t2 – t1 kąt zmienił się o Δθ = θ2 – θ1. Dla płynów newtonowskich, przy stałej wartości interwału czasowego, zwiększenie wartości naprężenia zwiększa kąt θ, będący miara deformacji elementu płynu. Naprężenia są proporcjonalne do szybkość deformacji elementu płynu wyrażonej jako dθ/dt, a nie do wartości samej deformacji θ. Z prostych zależności geometrycznych wynika: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

12 Wykład 5 – Równania konstytutywne
gdzie: Δx i Δy są przesunięciami w kierunku x i y punktu należącego do deformującego się elementu płynu w czasie Δt. Dla małych odkształceń można przyjąć następujące uproszczenie: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

13 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Położenie punktu elementu płynu na kierunku x może być wyznaczone jako iloczyn prędkości vx i Δt. Pozwala to, korzystając z wcześniejszych równań, wyrazić deformację elementu płynu w kierunku x jako: Szybkość deformacji wyrażona jest zależnością: co w granicy dla Δt dążącego do 0 daje wyrażenie zwane często szybkością ścinania Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

14 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Równanie konstytutywne wiąże szybkość deformacji z naprężeniami je wywołującymi. Dla płynów newtonowskich spełniona jest liniowa zależność w postaci: Płyny, które nie spełniają zależności zwane są płynami nienewtonowskimi. Istnieje grupa płynów niespełniających powyższego równania, dla których zależność szybkości ścinania od naprężenia przybiera bardziej skomplikowaną postać. Działem mechaniki płynów zajmującym się strukturą deformacji płynów podczas ich przepływów jest reologia Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

15 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Do grupy tej należą wszelkiego rodzaju zawiesiny, pasty i układy dyspersyjne, dla których szybkość ścinania jest funkcją wielu parametrów m.in. wartości naprężenia, czasu działania naprężenia, wielkości odkształcenia i innych. Ogólna zależność funkcyjna przyjmuje postać: Bazując na tej zależności można wydzielić kilka najważniejszych grupy płynów Skupimy się na Płynach czysto lepkich, dla których równanie przybiera postać: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

16 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Krzywe płynięcia dla płynów czysto lepkich: b – płyn newtonowski; a, c –płyny pseudoplastyczne; d,e - płyny plastyczno–lepkie (Binghama) krzywa płynięcia: Znając przebieg krzywej płynięcia można wyznaczyć dla danej wartości szybkości ścinania parametr zwany lepkością pozorną z następującej zależności: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

17 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Na rys. można wyodrębnić dwie grupy płynów: płyny z wyraźną granicą płynięcia tzw. płyny plastyczno–lepkie Binghama (krzywe e, d) oraz płyny bez granicy płynięcia tzw. płyny pseudoplastyczne. Pierwsza grupa płynów charakteryzuje się tym, że dopóki naprężenia nie przekroczą pewnej wartości (tzw. granicy płynięcia τ0), płyny te zachowują się jak ciało stałe a dopiero po przekroczeniu tej granicy następuje przepływ. Zależność konstytutywna dla takich płynów opisana jest równaniem modelowym: gdzie: µp = tg(δ) i τ0 są parametrami reologicznymi wyznaczanymi doświadczalnie. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

18 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Druga grupa płynów spełnia tzw. model potęgowy Ostwalda–de Waele’a w postaci: gdzie: stała k (współczynnik konsystencji) i wykładnik n (indeksem płynięcia) są parametrami reologicznymi wyznaczanymi doświadczalnie Dla płynów pseudoplastycznych wykładnik n przybiera wartości mniejsze od jedności (krzywa c). Przyjmując n = 1 i k = 1 otrzymujemy relację jak dla płynu newtonowskiego (krzywa b). Istnieją również płyny nienewtonowskie, dla których wykładnik n przyjmuje wartości wyższe od jedności (krzywa a). Płyny te noszą nazwę płynów dylatacyjnych. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

19 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Pomiary lepkości płynów Jedna z fundamentalnych metod pomiaru lepkości cieczy bazuje na wykorzystaniu cylindrycznego wiskozymetru. Płyn, którego lepkość chcemy oszacować umieszczany jest pomiędzy dwoma współosiowymi cylindrami. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

20 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Zewnętrzny cylinder pod wpływem działania siły obraca się, natomiast wewnętrzny pozostaje nieruchomy. Moment siły działający na wewnętrzny cylinder mierzony jest za pomocą specjalnego urządzenia. Jednocześnie mierzona jest siła działająca na zewnętrzny cylinder oraz prędkość jego ruchu. Naprężenia ścinające w płynie można oszacować jako: gdzie: F to siła działająca na zewnętrzny cylinder, A to powierzchnia wewnętrznego cylindra. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

21 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Szybkość odkształcenia płynu w szczelinie pomiędzy cylindrami wyznaczyć można z relacji: gdzie: V to prędkość zewnętrznego cylindra a h to szerokość szczeliny pomiędzy cylindrami. Prędkość płynu przy powierzchni wewnętrznego cylindra można obliczyć znając prędkość obrotową zewnętrznego cylindra: gdzie: D to średnica wewnętrznego cylindra a ω to prędkość obrotowa cylindra zewnętrznego wyrażona w rad/s. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

22 Wykład 5 – Równania konstytutywne
Moment siły mierzony na cylindrze wewnętrznym wynosi: Łącząc równania dostajemy zależność na lepkość badanego płynu będącą funkcją liniową mierzonego momentu siły na cylindrze: Wiskozymetr wykorzystujący przepływ płynu pomiędzy dwoma rotującymi cylindrami nazywany jest wiskozymetrem Couette’a. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

23 Wykład 5 – Równania konstytutywne
(Chien et al. 1966) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów