Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Prezentacja na temat: "Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa."— Zapis prezentacji:

1 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Czy są prostokątne? Opracowanie: Beata Szabat

2 Twierdzenie Pitagorasa.
Przypomnienie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

3 Części twierdzenia: Zwróć uwagę, że zdanie to wyraźnie składa się z dwóch części: „Jeżeli trójkąt jest prostokątny” (oznacza to, że wszystko co dalej będzie podane dotyczy tylko i wyłącznie trójkątów mających kąt prosty); „to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej” ( ta część opisuje własność jaka zachodzi dla ściśle określonych w pierwszej części zdania trójkątów)

4 Założenie i teza. Jeżeli…(założenie), to…(teza).
Część pierwsza- od „Jeżeli…” do przecinka nazywana jest założeniem. Część druga – od „to…” do kropki nazywana jest tezą. Jeżeli…(założenie), to…(teza).

5 Boki w trójkącie prostokątnym.
Przeciwprostokątna – zawsze najdłuższy bok Przyprostokątne- zawsze krótsze boki

6 Twierdzenie Pitagorasa.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch krótszych jego boków jest równa kwadratowi długości jego najdłuższego boku.

7 twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.
A teraz zamiana: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku Założenie i teza twierdzenia Pitagorasa „zamieniły się miejscami”- tak powstałe twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

8 Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi najdłuższego boku, to taki trójkąt jest prostokątny. A jeżeli ta równość nie zachodzi ? To o jakim trójkącie wtedy mówimy? Okazuje się, że słuszne jest bardziej ogólne twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa.

9 A to ciekawe… Jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta oraz
i , to trójkąt ten jest: prostokątny, gdy rozwartokątny, gdy ostrokątny, gdy

10 A to ciekawe… Jeżeli n i k są liczbami naturalnymi i n>k, to liczby: a = n2 – k2 b = 2nk c = n2 + k2 spełniają zależność c2 = a2 + b2. Zależność pozwala znaleźć trójki pitagorejskie.

11 Sprawdź. Niech n=5, k=2 a= 52 – 22 = 25 – 4 = 21 b = 2·5·2 = 20 c = = = 29 Czy odcinki 20cm, 21cm, 29cm mogą być bokami trójkąta prostokątnego? 202= 400 212= 441 841 =292 292= 841 Zachodzi równość, więc odcinki mogą być bokami trójkąta prostokątnego

12 Przykład 1. Czy kąt α ma miarę 60º? α
3 30o Kąt α będzie miał 60º jeżeli trójkąt będzie prostokątny. Trójkąt jest prostokątny, więc kąt ma 60º.

13 Przykład 2. Czy równoległobok o bokach 9 i 6 oraz przekątnej długości 12 jest prostokątem? Równoległobok będzie prostokątem jeżeli trójkąt o bokach 6,9 12 jest prostokątny. 9 6 12 Trójkąt o bokach 6,9,12 nie jest prostokątny, więc równoległobok nie jest prostokątem.

14 Nie zapomnij o zadaniach!!