Metody matematyczne w inżynierii chemicznej

Prezentacja na temat: "Metody matematyczne w inżynierii chemicznej"— Zapis prezentacji:

1 Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Wykład 4. Całkowanie numeryczne

2 Całki i kwadratury czyli odrobina teorii

3 Kwadratury Newtona-Cotese’a
Metoda trapezów i Simpsona należy do kwadratur Newtona-Cotese’a Mają one równoodległe węzły

4 Kwadratury Newtona-Cotese’a
Dla w(x)=1

5 Kwadratury Gause’a – Legendre’a
Wielomian Legendre’a Konwersja liniowa całki gdzie wówczas

6 Kwadratury Gause’a – Legendre’a

7 Kwadratury Gause’a – Legendre’a
Gause’a – Legendre’a - błąd Pn (x) – wielomian Legendre’a

8 Metoda Monte Carlo

9 Zasada metody fmax(x) a b

10 Generowanie punktów Generuje się współrzędne x i y
Wykorzystuje się liczby losowe (l.l.) o rozkładzie jednostajnym Domyślny generator ma zakres 0-1 Współrzędna x = a + l.l.*(b-a) Współrzędna y = l.l.*fmax(x)

11 Obliczanie ilości trafień
Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:

12 Dokładność Dokładność metody zależy od: Ilości wygenerowanych punktów
Jakości generatora liczb losowych

13 Algorytm Podaj granice całkowania i funkcję f Podaj ilość losowań N
I,j=0 Znajdź wartość fmax w przedziale <a,b> X=a+rnd*(b-a) Y=rnd*f.max I=I+1 Jeżeli Y<=f(X) to j=j+1 Jeżeli i<N to idź do 5 P=j/n*(b-a)*fmax Drukuj P

14 Numeryczne obliczanie pochodnych

15 Pochodne funkcji w punkcie
x2 x0 x1

16 Pochodne centralne -

17 Pochodne centralne O(h2)

18 Pochodne centralne O(h3)

19 Pochodne w przód/w tył O(h)

20 Pochodne w przód/w tył O(h2)

21 Pochodne w przód/w tył O(h3)

22 Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona

23 Algorytm metody Newtona
Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność  Obliczyć y1 Obliczyć y'1 Obliczyć Jeżeli |x2- x1 |  todrukuj x2, koniec. x1= x2 Powrót do punktu 2 Koniec.

24 Algorytm obliczenia pochodnej
3.1 Przyjąć krok h = 0.001 3.2 Obliczyć y0 = f(x-h) 3.3 Obliczyć y2 = f(x+h) 3.4 Obliczyć y' = (y2- y0 )/(2h) 3.5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.