OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Prezentacja na temat: "OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW"— Zapis prezentacji:

1 OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW
Politechnika Rzeszowska Katedra Samolotów i Silników Lotniczych Ćwiczenia Laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów Temat ćwiczenia: OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

2 BŁĘDY WZGLĘDNE I BEZWZGLĘDNE
W wyniku pomiarów otrzymujemy liczby, które są obarczone pewnym błędem w stosunku do dokładnych wartości mierzonych wielkości. Te przybliżone wielkości nazywane są liczbami przybliżonymi.

3 BŁĄD BEZWZGLĘDNY 𝒂− 𝒂 𝟎 ≤∆𝒂 PRZYKŁADY:
Błędem bezwzględnym Δa przybliżonej liczby a nazywamy liczbę spełniającą warunek: 𝒂− 𝒂 𝟎 ≤∆𝒂 𝑎 0 – dokładna wartość mierzonej wielkości Liczba Δa nie jest określona jednoznacznie. Nas interesuje najmniejsza liczba Δa spełniająca powyższą zależność. PRZYKŁADY: 𝑃= 100±1 𝑘𝑁 𝑃= 100,0±0,1 𝑘𝑁 𝑃= 100,00±0,01 𝑘𝑁

4 BŁĄD WZGLĘDNY Błędem względnym δa przybliżonej liczby a nazywamy stosunek błędu bezwzględnego tej liczby do wartości bezwzględnej liczby a: 𝜹𝒂= ∆𝒂 𝒂 PRZYKŁAD: 𝑃=100𝑘𝑁±1%

5 Zatem jest to różniczka zupełna funkcji y.
OBLICZANIE BŁĘDU FUNKCJI Granice błędu bezwzględnego dowolnej różniczkowalnej funkcji , spowodowanego przez dostatecznie małe błędy argumentów, obliczamy jako sumę bezwzględnych wartości pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie błędny bezwzględne ∆ 𝑎 1 ,∆ 𝑎 2 ,…,∆ 𝑎 𝑛 ∆𝑦= 𝛿𝑓 𝛿 𝑎 1 ∆ 𝑎 1 + 𝛿𝑓 𝛿 𝑎 2 ∆ 𝑎 𝛿𝑓 𝛿 𝑎 𝑛 ∆ 𝑎 𝑛 Zatem jest to różniczka zupełna funkcji y.

6 Błędy bezwzględne: Błędy względne:
OBLICZANIE BŁĘDU FUNKCJI - PRZYKŁADY Błędy bezwzględne: ∆ sin x = cos x ∆x ∆ cos x = sin x ∆x ∆ tg x =(1+ tg 2 x )∆x Błędy względne: δsin x = ctg x ∆x δcos x = tg x ∆x δtg x =( 𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) )∆x

7 OBLICZANIE BŁĘDU FUNKCJI
Jeżeli funkcja f ma w badanym miejscu pochodną cząstkową względem jednej zmiennej ai równą zeru ( 𝛿𝑓 𝛿 𝑎 𝑖 =0), to do obliczenia błędu bezwzględnego stosujemy drugą pochodną cząstkową funkcji względem zmiennej ai pomnożoną przez kwadrat błędu ∆ 𝑎 𝑖 2 : ∆𝑓 𝑎 𝑖 = 𝛿 2 𝑓 𝛿 𝑎 𝑖 ∆ 𝑎 𝑖 2

8 OBLICZANIE BŁĘDU FUNKCJI
Dla funkcji potęgowej 𝑦= 𝑥 𝑛 : 𝛿𝑦= ∆𝑦 𝑦 = 𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝛿𝑥 Dla funkcji wykładniczej 𝑦= 𝑎 𝑥 : 𝛿𝑦= ∆𝑦 𝑦 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 ∆𝑥 𝑎 𝑥 = ln 𝑎 ∆𝑥

9 DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB PRZYBLIŻONYCH
Dla sumy algebraicznej liczb przybliżonych błąd bezwzględny jest równy sumie błędów bezwzględnych poszczególnych składników, czyli jeśli 𝑦= 𝑎 1 + 𝑎 𝑎 𝑛 , to: ∆𝒚=∆ 𝒂 𝟏 +∆ 𝒂 𝟐 ∆ 𝒂 𝒏 Tak obliczony błąd dla większej liczby składników daje zazwyczaj wartość zawyżoną. Odpowiedniejsze jest wtedy zastosowanie wzoru: ∆𝒚= ∆ 𝒂 𝟏 𝟐 + ∆ 𝒂 𝒏 𝟐 ∆ 𝒂 𝒏 𝟐 Błąd względny różnicy 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 dwóch liczb: 𝜹 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 = ∆𝒂 𝟏 + ∆𝒂 𝟐 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 , 𝜹 𝒂 𝟏 −𝒂 𝟐 >𝒎𝒂𝒙 𝜹 𝒂 𝟏 ,𝜹 𝒂 𝟐

10 Mnożenie i dzielenie liczb przybliżonych
Przy mnożeniu i dzieleniu liczb przybliżonych wygodniej jest operować błędem względnym. Błąd względny wyrażenia 𝑦= 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑚 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛 jest równy: 𝜹𝒚=𝜹 𝒂 𝟏 +𝜹 𝒂 𝟐 𝜹 𝒂 𝒎 +𝜹 𝒃 𝟏 +𝜹 𝒃 𝟐 𝜹 𝒃 𝒏 Dla dużej liczby 𝒎+𝒏 czynników można posłużyć się następującym wzorem: 𝜹𝒚= 𝜹 𝒂 𝟏 𝟐 𝜹 𝒂 𝒎 𝟐 + 𝜹 𝒃 𝟏 𝟐 𝜹 𝒃 𝒏 𝟐 Wzór ten uwzględnia częściową kompensację błędów o różnych znakach.

11 PRZYKŁAD 1 Obliczyć naprężenie maksymalne i oszacować błąd dla swobodnie podpartej belki obciążonej siłą skupioną w środku rozpiętości. 0,5l P b h Z pomiaru uzyskano następujące wyniki: rozpiętość belki 𝑙= 100,0±0,1 𝑐𝑚, siła skupiona 𝑃= 20,00±0,01 𝑘𝑁, wysokość przekroju h= 15,0±0,1 𝑐𝑚, szerokość przekroju b= 10,0±0,1 𝑐𝑚.

12 PRZYKŁAD 1 𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 𝒈 𝒎𝒂𝒙 𝑾 ; 𝝈 𝒎𝒂𝒙 =𝟏𝟑,𝟑𝟑 𝑴𝑷𝒂
Maksymalne naprężenia gnące określone są zależnością: 𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝑴 𝒈 𝒎𝒂𝒙 𝑾 ; Maksymalny moment gnący belkę wynosi: 𝑀 𝑔 𝑚𝑎𝑥 = 𝑃 𝑙 4 Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie: 𝑊= 𝑏 ℎ 2 6 stąd: 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 3 𝑃 𝑙 2 𝑏 ℎ 2 = 3∙20∙100 2∙10∙ =1,333 𝑘𝑁 𝑐𝑚 2 𝝈 𝒎𝒂𝒙 =𝟏𝟑,𝟑𝟑 𝑴𝑷𝒂

13 ∆𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ∙𝛿 𝜎 𝑚𝑎𝑥 =1,333 ∙0,025=0,033 𝑘𝑁 𝑐𝑚 2 =0,33 [𝑀𝑃𝑎]
PRZYKŁAD 1 Błąd względny: 𝛿 𝜎 𝑚𝑎𝑥 =𝛿𝑃+𝛿𝑙+𝛿𝑏+2𝛿ℎ 𝛿 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 0,01 20,00 + 0,1 100,0 + 0,1 10,0 +2∙ 0,1 15,0 =0,025=2,5% Błąd bezwzględny: ∆𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ∙𝛿 𝜎 𝑚𝑎𝑥 =1,333 ∙0,025=0,033 𝑘𝑁 𝑐𝑚 2 =0,33 [𝑀𝑃𝑎] Ostatecznie: 𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟑,𝟑±𝟎,𝟑 𝐌𝐏𝐚

14 PRZYKŁAD 1 Błąd bezwzględny liczona przy użyciu różniczki zupełnej funkcji: ∆𝜎= 𝜕𝜎 𝜕𝑃 ∙∆𝑃+ 𝜕𝜎 𝜕𝑙 ∙∆𝑙+ 𝜕𝜎 𝜕𝑏 ∙∆𝑏+ 𝜕𝜎 𝜕ℎ ∙∆ℎ ∆𝜎= 3 𝑙 2 𝑏 ℎ 2 ∙∆𝑃+ 3 𝑃 2 𝑏 ℎ 2 ∙∆𝑙+ − 3 𝑃 𝑙 2 𝑏 2 ℎ 2 ∙∆𝑏+ −2∙ 3 𝑃 𝑙 2 𝑏 ℎ 3 ∙∆ℎ ∆𝜎=0,33 [𝑀𝑃𝑎] 𝝈 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟑,𝟑±𝟎,𝟑 𝐌𝐏𝐚

15 BŁĘDY POMIARÓW WIELOKROTNYCH
Dokonując n pomiarów wielkości fizycznej, której wartość wynosi a otrzymamy n wyników 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 . Poszczególne wyniki pomiarów różnią się między sobą, a więc są obarczone błędami. Błędem pomiaru (niepewnością) nazywam różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru x i wartością rzeczywistą a mierzonej wielkości. Jednym z głównych zadań matematycznego opracowania wyników eksperymentu jest ocena wartości średniej mierzonej wielkości i ocena dokładności, z jaką ta wartość została obliczona.

16 KLASYFIKACJA BŁĘDÓW BŁĘDY GRUBE (OMYŁKI)
Powstają z braku uwagi eksperymentatora lub na skutek zmiany podstawowych warunków pomiaru. Wynik pomiaru zawierający błąd gruby należy odrzucić. BŁĘDY SYSTEMATYCZNE Błędy zniekształcające wynik w określonym kierunku, skutek ich działania może być obliczony. Zaliczamy do nich błędy spowodowane przez aparaturę pomiarową oraz przez metodę wykonywania doświadczeń. Usuwa się je przez wprowadzenie odpowiednich poprawek do wyników pomiarów. BŁĘDY PRZYPADKOWE Błędy te są wynikiem działania bardzo wielu najczęściej drobnych i zmiennych czynników o charakterze losowym. Z tego powodu nie można ich uwzględnić w wynikach pomiaru. Korzystając z matematycznej teorii prawdopodobieństwa możemy określić prawdopodobną wartość mierzonej wielkości.

17 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
Dokonując pomiaru wielkości fizycznej otrzymamy n wyników 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 . Obrazem pomiaru mierzonej wielkości może być wykres rozkładu cechy skokowej – histogram. Histogram podaje procentowy udział φi lub liczbę wyników pomiarów w przedziale od 𝑥 𝑖 −1 do 𝑥 𝑖 . Przy zwiększaniu liczby pomiarów, tzn. gdy 𝑛→∾ i przy przyjęciu 𝑥 𝑖−1 − 𝑥 𝑖 =∆ 𝑥 𝑖 →0 histogram przechodzi w krzywą ciągłą f(x) gęstości rozkładu zmiennej losowej X. Zauważmy, że histogram dotyczy częstości wystąpienia cechy x dla danej próby o liczebności n, która stanowi podzbiór całej populacji. Gęstość rozkładu f(x) dotyczy natomiast całej populacji.

18 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
WARTOŚĆ ŚREDNIĄ wyników 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 określimy z wyrażenia: 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑥 𝑥 𝑛 𝑛 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 ŚREDNIE ODCHYLENIE KWADRATOWE lub ODCHYLENIE STANDARDOWE wyników 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 od ich wartości 𝑥 określa się jako: 𝑆= 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 WARIANCJĄ wyników 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 nazywamy kwadrat odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe i wariancja są miarą rozrzutu wyników pomiarów względem wartości średniej. Są one tym mniejsze, im mniej wyniki pomiaru różnią się między sobą.

19 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
Jeżeli z pomiarów otrzymujemy wyniki o niejednakowej dokładności, to trzeba uwzględnić wagi pomiarów. ŚREDNIA WAŻONA określana jest wzorem: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 ŚREDNIE WAŻONE ODCHYLENIE STANDARDOWE: 𝑆= 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 gdzie 𝑝 𝑖 waga pomiaru 𝑥 𝑖 .

20 OCENA WARTOŚCI ŚREDNIEJ MIERZONEJ WIELKOŚCI
Aby oszacować wartość średnią mierzonej wielkości, która pomierzono n razy, należy: podać taką funkcję 𝒈( 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 ,. . . , 𝒙 𝒏 ) zależną od wyników pomiaru, która daje dobre przybliżenie wartości a; funkcja taka nazywa się oceną wartości a, wskazać przedział 𝒈−𝝐,𝒈+𝝐 , który z zadanym prawdopodobieństwem P zawiera wartość a. ocena taka nazywa się oceną ufności, prawdopodobieństwo P – poziomem ufności, przedział 𝒈−𝝐,𝒈+𝝐 – przedziałem ufności. wielkość 𝜶=𝟏−𝑷 – poziomem istotności.

21 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
Do oceny ufności pomiaru wykorzystuje się rozkład t Studenta. Miarę odchylenia od hipotetycznej wartości a definiujemy następująco: 𝑡= ( 𝑥 −𝑎) 𝑛−1 𝑆 gdzie: 𝑥 - średnia arytmetyczna wyników, a – wartość średnia (oczekiwana) dla całej populacji S – odchylenie standardowe n – liczba pomiarów w próbie. Zmienną losową t zdefiniowaną powyższym wzorem nazywamy zmienną losową t Studenta z 𝒌=𝒏−𝟏 stopniami swobody.

22 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
Tablica zawiera wartości t jako funkcje poziomu ufności P i k stopni swobody 𝑡=𝑡 𝑃,𝑘

23 WARTOŚCI ŚREDNIE I DOKŁADNOŚĆ POMIARU
Ocena ufności pomiaru ma postać: 𝑎− 𝑥 =𝜖<𝑡 𝑃,𝑘 𝑆 𝑛−1 UWAGA: Wielkość przedziału ufności zależy od przyjętego poziomu ufności P i liczby pomiarów n. Zazwyczaj P przyjmuje się 0,95 lub 0,99. Zwiększenie liczby pomiarów prowadzi do zmniejszenia przedziału ufności.

24 PRZYKŁAD 2 Średnia arytmetyczna wyników:
Określić na poziomie ufności 0,95 przedział, w którym zawiera się siła zrywająca F dla pewnej partii prętów stalowych. Do badania użyto 10 próbek. Uzyskano następujące wyniki: Pomiar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Siła [kN] 16 21 18 23 19 22 25 17 20 Średnia arytmetyczna wyników: 𝐹 = 𝐹 1 + 𝐹 𝐹 = =20𝑘𝑁 Odchylenie standardowe próby: 𝑆= 𝑖=1 10 ( 𝐹 𝑖 − 𝐹 ) 2 = =2,65𝑘𝑁

25 𝟏𝟖;𝟐𝟐 𝒌𝑵 z prawdopodobieństwem 0,95.
PRZYKŁAD 2 W tablicach t Studenta dla P=0,95 i k=n-1=9 znajdujemy wartość t=2,262. Średnia wartość siły zrywającej F znajduje się w przedziale w granicach: 𝐹 −𝑡 𝑆 𝑛−1 <𝐹< 𝐹 +𝑡 𝑆 𝑛−1 Czyli: 𝐹=20±2,262∙ 2, = 20±2 𝑘𝑁 Siła zrywająca zawiera się w przedziale: 𝟏𝟖;𝟐𝟐 𝒌𝑵 z prawdopodobieństwem 0,95.

26 WYZNACZANIE PARAMETRÓW WZORÓW OPISUJĄCYCH WYNIKI EKSPERYMENTU
Wyniki pomiarów wielkości y dla różnych wartości x można przedstawić graficznie. Należy wyznaczyć funkcję y=f(x) która możliwie dokładnie opisze wyniki eksperymentu. Funkcję y=f(x) przyjmujemy zwykle w postaci wielomianu 𝑦= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 . Postać tej funkcji daje się nieraz wyznaczyć z rozważań teoretycznych agadnienia. Wybraną zależność funkcyjną można ogólnie zapisać w postaci: 𝑦=𝑓 𝑥; 𝑎 0 , 𝑎 1 ,. . ., 𝑎 𝑚 , Parametry 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑚 musimy wyznaczyć na podstawie empirycznych wartości 𝑦 1 , 𝑦 2 ,…, 𝑦 𝑛 .

27 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Oceny parametrów 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑚 dokonuje się na podstawie warunku, aby suma kwadratów odchyleń mierzonych wartości 𝑦 𝑖 od wartości obliczonych 𝑓 𝑥 𝑖 ; 𝑎 0 , 𝑎 1 ,. . ., 𝑎 𝑚 przyjmowała wartość najmniejszą: 𝑆= 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 −𝑓 𝑥 𝑖 ; 𝑎 0 , 𝑎 1 ,. . ., 𝑎 𝑚 2 =𝑚𝑖𝑛 gdzie: 𝑦 𝑖 – wyniki eksperymentu, 𝑓 𝑥 𝑖 ; 𝑎 0 , 𝑎 1 ,. . ., 𝑎 𝑚 -wartość teoretyczna.

28 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Warunek ten prowadzi do układu równań: 𝛿𝑆 𝛿 𝑎 0 =0; 𝛿𝑆 𝛿 𝑎 1 =0; …; 𝛿𝑆 𝛿 𝑎 𝑛 =0 Jeżeli przyjmiemy: 𝑓 𝑥 𝑖 ; 𝑎 0 , 𝑎 1 ,. . ., 𝑎 𝑚 = 𝜑 0 𝑥 𝑎 0 + 𝜑 1 (𝑥) 𝑎 𝜑 𝑚 (𝑥) 𝑎 𝑚 To różniczkując sumę kwadratów odchyleń: 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝜑 0 𝑥 𝑎 0 − 𝜑 1 𝑥 𝑎 1 −. . . − 𝜑 𝑚 (𝑥) 𝑎 𝑚 2 Względem 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑚 i przyrównując do zera pochodne cząstkowe otrzymujemy: 2 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝜑 0 𝑥 𝑎 0 − 𝜑 1 𝑥 𝑎 1 −. . . − 𝜑 𝑚 (𝑥) 𝑎 𝑚 − 𝜑 0 𝑥 =0 2 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝜑 0 𝑥 𝑎 0 − 𝜑 1 𝑥 𝑎 1 −. . . − 𝜑 𝑚 (𝑥) 𝑎 𝑚 − 𝜑 1 𝑥 =0 …………………………………………………………………… 2 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 − 𝜑 0 𝑥 𝑎 0 − 𝜑 1 𝑥 𝑎 1 −. . . − 𝜑 𝑚 (𝑥) 𝑎 𝑚 − 𝜑 𝑚 𝑥 =0

29 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Wprowadzając oznaczenia: 𝛿 𝑟,𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝜑 𝑟 ( 𝑥 𝑖 )∙ 𝜑 𝑠 ( 𝑥 𝑖 ) ; 𝛿 𝑟,𝑦 = 𝑖=1 𝑛 𝜑 𝑟 𝑥 𝑖 ∙ 𝑦 𝑖 ; 𝛿 𝑟,𝑟 = 𝑖=1 𝑛 𝜑 𝑟 2 𝑥 𝑖 ; ( 𝑟,𝑠=0,1,2,…,𝑚 ) Układ równań można przedstawić w postaci 𝛿 0,0 𝑎 0 + 𝛿 0,1 𝑎 𝛿 0,𝑚 𝑎 𝑚 = 𝛿 0,𝑦 𝛿 1,0 𝑎 0 + 𝛿 1,1 𝑎 𝛿 1,𝑚 𝑎 𝑚 = 𝛿 1,𝑦 …………………………… 𝛿 𝑚,0 𝑎 0 + 𝛿 𝑚,1 𝑎 𝛿 𝑚,𝑚 𝑎 𝑚 = 𝛿 𝑚,𝑦 Przy czym 𝛿 𝑟,𝑠 = 𝛿 𝑠,𝑟 - czyli macierz jest symetryczna

30 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
W zapisie macierzowym, układ równań ma postać: ∆ 𝑎 = ∆ 𝑦 gdzie: ∆ = 𝛿 0,0 𝛿 0,1 … 𝛿 0,𝑚 𝛿 1,0 𝛿 1,1 … 𝛿 1,𝑚 … … … … 𝛿 𝑚,0 𝛿 𝑚,1 … 𝛿 𝑚,𝑚 𝑎 = 𝑎 0 𝑎 1 … 𝑎 𝑚 , ∆ 𝑦 = 𝛿 0,𝑦 𝛿 1,𝑦 … 𝛿 𝑚,𝑦 Jest macierzą symetryczną o wymiarach (m+1)x(m+1)

31 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Jak już wspomniano funkcję 𝑦=𝑓(𝑥)przyjmujemy zwykle w postaci wielomianu: 𝑦= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 czyli 𝜑 0 𝑥 =1, 𝜑 1 𝑥 =𝑥, … , 𝜑 𝑚 𝑥 = 𝑥 𝑚 wtedy: 𝛿 𝑟,𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟 ∙ 𝑥 𝑖 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟+𝑠 ; 𝛿 𝑟,𝑟 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2𝑟 𝛿 𝑟,𝑦 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟 ∙ 𝑦 𝑖 ( 𝑟,𝑠=0,1,2,…,𝑚 )

32 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Granice przedziału ufności dla współczynników 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑚 znajdujemy ze wzoru: 𝑎 𝑟 ±𝑡 𝑃,𝑘 𝐶 𝑟𝑟 𝐴 𝑛− 𝑚+1 , 𝑟=0,1,2,…,𝑚 gdzie: 𝒕 𝑷,𝒌 - wartość z tablicy rozkładu t Studenta dla przyjętego poziomu ufności P i dla k=n-m-1 stopni swobody 𝑪 𝒓𝒓 - diagonalny element macierzy 𝐶 = ∆ −1 n – liczba wyników pomiaru m+1 – liczba współczynników 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑚

33 PRZYKŁAD 3 Wykonano pomiary wielkości y dla różnych wartości z. Za wzór empiryczny dla tej zależności przyjęto równanie paraboli drugiego stopnia: 𝑦= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑧−15 + 𝑎 2 𝑧−15 2 Posługując się metodą najmniejszych kwadratów obliczyć współczynniki 𝒂 𝟎 , 𝒂 𝟏 , 𝒂 𝟐 . L.p. 𝒛 𝒊 𝒚 𝒊 1 2 3 4 5 6 7 5,0 9,6 16,0 19,6 24,4 29,8 34,4 2,60 2,01 1,34 1,08 0,94 1,06 1,25

34 PRZYKŁAD 3 Ponieważ czynniki ( 𝑧 𝑖 −15) 2 są bardzo duże i współczynniki równań liniowych zmieniałyby się w szerokich granicach, to wprowadzimy w celu uproszczenia obliczeń nowe zmienne: 𝑎 0 = 𝑎 0 , 𝑎 1 =15 𝑎 1 , 𝑎 2 = 15 2 𝑎 0 = 225𝑎 0 wzór empiryczny przyjmie postać: 𝑦= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 , 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑥= 𝑧−15 15

35 Układ równań macierzowych:
PRZYKŁAD 3 Układ równań macierzowych: 𝛿 0,0 𝛿 0,1 𝛿 0,2 𝛿 1,0 𝛿 1,1 𝛿 1,2 𝛿 2,0 𝛿 2,1 𝛿 2, 𝑎 𝑎 𝑎 2 = 𝛿 0,𝑦 𝛿 1,𝑦 𝛿 2,𝑦 gdzie 𝛿 𝑟,𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟 ∙ 𝑥 𝑖 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟+𝑠 ; 𝛿 𝑟,𝑟 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2𝑟 ; 𝛿 𝑟,𝑦 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑟 ∙ 𝑦 𝑖 ( 𝑟,𝑠=0,1,2 ) np: 𝛿 0,0 = 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 2∙0 = 𝑖=1 7 1 ; 𝛿 1,0 = 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 (1+0) = 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 ; 𝛿 2,𝑦 = 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 2 𝑦 𝑖 stąd: 𝑖= 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑎 𝑎 𝑎 2 = 𝑖=1 7 𝑦 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑖=1 7 𝑥 𝑖 2 𝑦 𝑖

36 PRZYKŁAD 3 Po podstawieniu danych liczbowych: 7,000 2,254 3,712 2,254 3,712 3,055 3,712 3,055 4, 𝑎 𝑎 𝑎 2 = 10,280 1,215 5,017 Następnie po rozwiązaniu układu równań otrzymamy: 𝑎 0 =1,406; 𝑎 1 =−1,246; 𝑎 2 =0,874 stąd: 𝑎 0 =1,406; 𝑎 1 = −1, =−0,0831; 𝑎 2 = 0, =0,00388 Poszukiwany wzór ma zatem postać: 𝒚=𝟏,𝟒𝟎𝟔−𝟎,𝟎𝟖𝟑𝟏 𝒛−𝟏𝟓 +𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟗 (𝒛−𝟏𝟓) 𝟐

37 Wyniki pomiarów i wzór empiryczny
PRZYKŁAD 3 Wyniki pomiarów i wzór empiryczny