Czy wiesz, że?.

Prezentacja na temat: "Czy wiesz, że?."— Zapis prezentacji:

1 Czy wiesz, że?

2 Czy wiesz, że? =?

3 Czy wiesz, że? =-1/12

4 Aby pokazać, że tak nie jest posłużymy się paroma sumami:
Suma liczb natualnych Z pozoru wydawać by się mogło, że suma wszystkich liczb naturalnych jest równa nieskończoności, lub co najmniej liczbie dodatniej. Aby pokazać, że tak nie jest posłużymy się paroma sumami:

5 S1= …=?

6 S1= …=? Sumę tę możemy obliczyć na kilka sposobów:

7 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów:
(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0

8 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów:
(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0 1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1

9 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów:
(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0 1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1 Tym sposobem dochodzimy do pewnego paradoksu, w którym suma ta jest równa jednocześnie 1 i 0. Popatrzmy dalej:

10 S1= …=? 1-S1=

11 S1= …=? 1-S1=1-( …)=

12 S1= …=? 1-S1=1-( …)= = …

13 S1= …=? 1-S1=1-( …)= = …=S1

14 S1= …=? 1-S1=1-( …)= = …=S1 1-S1=S1

15 S1= …=? 1-S1=1-( …)= = …=S1 1-S1=S1  1=2S1

16 S1= …=? 1-S1=1-( …)= = …=S1 1-S1=S1  1=2S1  S1= 1/2

17 S1= …=1/2 1-S1=1-( …)= = …=S1 1-S1=S1  1=2S1  S1= ½ Jest to tzw. Szereg Grandiego

18 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2 Wyobraźmy sobie, że zapalamy żarówkę
Czekamy 10 sekund i wyłączamy Czekamy 5 sekund i włączamy Czekamy 2,5 sekundy i wyłączamy Czekamy 1 i 1/4 sekundy i włączamy … Po upływie 20 sekund żarówka będzie zapalona, czy zgaszona?

19 S1= …=1/2 Można przyjąć, że żarówka będzie w połowie włączona i w połowie wyłączona. Po upływie 20 sekund żarówka będzie zapalona, czy zgaszona?

20 S2= …=? S1= …=1/2

21 S2= …=? 2S2= S1= …=1/2

22 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…=

23 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=

24 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1

25 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1

26 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1

27 S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1
2S2=S1  2S2=1/2  S2=1/4 S1= …=1/2

28 S2= …=1/4 2S2= … …= = =S1 2S2=S1  2S2=1/2  S2=1/4 S1= …=1/2

29 Przejdźmy do naszej sumy S:

30 S= …=? S-S2= S2= …=1/4 S1= …=1/2

31 S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)=

32 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= S2= …=1/4 S1= …=1/2

33 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= S2= …=1/4 S1= …=1/2

34 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …= S2= …=1/4 S1= …=1/2

35 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)= S2= …=1/4 S1= …=1/2

36 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)=4S S2= …=1/4 S1= …=1/2

37 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S S2= …=1/4 S1= …=1/2

38 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S  3S=-S2 S2= …=1/4 S1= …=1/2

39 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S  3S=-S2  3S = -1/4 S2= …=1/4 S1= …=1/2

40 S= …=? S-S2= … ( …)= = … …= = …= = …=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S  3S=-S2  3S = -1/4  S = -1/12 S2= …=1/4 S1= …=1/2

41 S= …=-1/12

42 S= …=-1/12 Szereg ten ma wiele zastosowań we współczesnej fizyce - jest używany w teorii strun, do obliczania poziomów energetycznych strun.

43 Przygotowali: Agnieszka Pastuszka kl. Ia Jakub Jasiołek kl. IIIa
Koniec Przygotowali: Agnieszka Pastuszka kl. Ia Jakub Jasiołek kl. IIIa LO Gilowice